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Matem´atica Aplicada
Matem´aticas I
Graduado en Ingenier´ıa de la Energ´ıa
Curso 2013/
Relaci´on de ejercicios
Ejercicio 1 Resuelva las ecuaciones z^2 z = − 1 en C y 5 x^7 − x^6 + 5x − 1 = 0 en R y en C.
Ejercicio 2 Exprese cos 5θ y sen 5θ en funci´on de cos θ y sen θ.
Ejercicio 3 Represente, como aplicaci´on en C y matricialmente, un giro de ´angulo π/ 6 y centro (0, 0) seguido de una homotecia de centro (1, 1) y raz´on 2.
Ejercicio 4 Determine los subespacios nulo (n´ucleo), n´ucleo por la derecha, fila y columna de A =
Ejercicio 5 Las ecuaciones que relacionan las intensidades de corriente en un circuito son, usando las leyes de Kirchhoff, I 1 − I 2 + I 3 = 0, −I 1 + I 2 − I 3 = 0, 10 I 2 + 25I 3 = 90 y 20 I 1 + 10I 2 = 80. Use el m´etodo de eliminaci´on de Gauss para resolverlo.
Ejercicio 6 Sea {u, v, w} un conjunto linealmente independiente en un espacio vectorial V (K), con K = R ´o C. Se definen los vectores x = αu + (1 − α)v, y = αv + (1 − α)w, z = αw + (1 − α)u. Analice la independencia lineal del conjunto {x, y, z}.
Ejercicio 7 Consideremos en R^4 los subespacios vectoriales F = 〈a, b, c〉 y G = 〈d, e〉 con a = (1, 2 , 3 , 4), b = (2, 2 , 2 , 6), c = (0, 2 , 4 , 4), d = (1, 0 , − 1 , 2) y e = (2, 3 , 0 , 1). Determine las dimensiones y una base de los subespacios F , G, F ∩ G y F + G, con sus respectivas ecuaciones expl´ıcitas e impl´ıcitas. ¿Es directa la suma?
Ejercicio 8 Dado el endomorfismo de R^3 definido por (x 1 , x 2 , x 3 ) 7 → (y 1 , y 2 , y 3 ) donde y 1 = x 1 + x 2 + x 3 , y 2 = x 1 + x 2 − x 3 e y 3 = x 3 con respecto a la base can´onica, calcule Ker(f ), Im(f ) y f (V ) con V = {(x, y, z) ∈ R^3 : x + y + z = 0}.
Ejercicio 9 Sea V el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales, en la indeterminada x, de grado menor o igual a tres. Demuestre que los polinomios p 1 (x) := 1 − x, p 2 (x) := x^2 + x^3 , p 3 (x) := 1 + x^2 , p 4 (x) := x + x^3 , constituyen una base B de V. Exprese el polinomio 3 + 3x^2 − 4 x^3 en dicha base.
Ejercicio 10 Sea E un espacio vectorial de dimensi´on 2 y tres bases del mismo B 1 = {v 1 , v 2 }, B 2 = {w 1 , w 2 } y B 3 = {u 1 , u 2 }, relacionadas en la forma v 1 = u 1 − u 2 , v 2 = u 2 , w 1 = 2u 1 , w 2 = u 1 − u 2. Calcule las coordenadas de un vector x en la base B 2 , sabiendo que sus coordenadas en la base B 1 son (2, 3).
Ejercicio 11 Se define el conjunto Herm := {A ∈ M 2 (C) : A t = A}. Demuestre que se trata de un subespacio
vectorial de (M 2 (C), +, ·). Si definimos las matrices (de Pauli) I 2 :=
, σ 1 :=
, σ 2 :=
0 −i i 0
y σ 3 :=
, demuestre que constituyen una base de (Herm, +, ·).
Ejercicio 12 Sea f el endomorfismo de R^4 (R) definido de la forma:
El n´ucleo de f es el subespacio vectorial de ecuaciones x + y + z = 0 y t = 0.
Los vectores (1, 1 , 1 , 0) y (0, 0 , 0 , 1) se transforman en s´ı mismos.
Se pide la matriz de f respecto a la base can´onica y dado el subespacio vectorial de ecuaciones x + y + z − t = 0, t = 0 y x − y + 2t = 0, una base de su imagen por f.
Ejercicio 13 Sea f : R^3 → R^2 la aplicaci´on lineal dada por f (x, y, z) = (x+2y −z, 2 x−y +3z), ∀(x, y, z) ∈ R^3 , y sean B 1 = {(1, 0 , 1), (1, 1 , 0), (0, 1 , 1)} y B 2 = {(1, 3), (2, −1)} bases de R^3 y R^2 respectivamente. Determine la matriz de f en las bases can´onicas as´ı como la matriz de f en las bases B 1 y B 2.
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Ejercicio 14 Considere los subespacios vectoriales U = 〈(1, 1 , 1)〉 y W = {(x, y, z) ∈ R^3 : x + y + z = 0} en R^3. Calcule la matriz de una aplicaci´on lineal f : R^3 → R^3 tal que Ker(f ) = U e Im(f ) = W. Encuentre subespacios U ′^ y W ′^ de R^3 tales que U ⊕ U ′^ = R^3 y W ⊕ W ′^ = R^3.
Ejercicio 15 Sea f un endomorfismo de un espacio vectorial V sobre un cuerpo de caracter´ıstica distinta de dos que verifica f ◦ f = IV , donde IV es la identidad en V. Pruebe que f es un automorfismo. Se definen los conjuntos U := {x ∈ V : f (x) = x} y W := {x ∈ V : f (x) = −x}. Pruebe que son subespacios vectoriales de V. Demuestre que V = U ⊕ W.
Ejercicio 16 Sean S 3 (R) y A 3 (R) los conjuntos de matrices sim´etricas y antisim´etricas 3 × 3 , respectiva- mente. Pruebe que son subespacios vectoriales de M 3 (R). Obtenga una base de cada uno as´ı como su di- mensi´on. Demuestre que S 3 (R) ⊕ A 3 (R) = M 3 (R). Si f : S 3 (R) → A 3 (R) es la aplicaci´on lineal dada por
f
d a b a e c b c f
0 −a −b a 0 −c b c 0
, halle la matriz de f respecto a las bases previamente construidas.
Ejercicio 17 Se considera el endomorfismo f en R^3 dado por f (x, y, z) = (x + z, −x + y + αz, y − z). Determine la matriz de f en la base B = {(1, 0 , 1), (0, 1 , 0), (0, 0 , −1)}. Calcule el valor de α para el que dim(Ker(f )) = 1. Para ese valor de α, calcule bases del n´ucleo y de la imagen de f. ¿Para qu´e valores de α es f un isomorfismo?
Ejercicio 18 Demuestre que las matrices A ∈ M 3 (R) que conmutan con B =
(^) forman un espacio
vectorial S con la suma y producto por escalares habituales. Determine una base de dicho espacio vectorial y su dimensi´on. Determine un subespacio complementario T de S tal que M 3 (R) = S ⊕ T.
Ejercicio 19 Considere la base B = {u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } de R^5 donde, con respecto a la can´onica, se tiene u 1 = (0, 1 , 0 , 0 , 0), u 2 = (− 1 , 0 , 0 , 0 , 0), u 3 = (0, 0 , − 1 , 0 , 0), u 4 = (0, 0 , 0 , 0 , 1) y u 5 = (0, 0 , 0 , − 1 , 0). Sea f un endomorfismo en R^5 tal que (f −I 5 )(u 1 ) = − 2 u 3 , (f −I 5 )(u 2 ) = − 2 u 1 +3u 3 , (f −I 5 )(u 3 ) = 2u 5 , (f −I 5 )(u 4 ) = 0 y (f − 2 I 5 )(u 5 ) = −u 4. Determine la matriz de f en la base can´onica. Trabajando en la base can´onica, definamos el subespacio vectorial U := 〈u, v〉 donde u = (0, 1 , 0 , 0 , 1) y v = (0, − 1 , 0 , 0 , 1). Calcule la dimensi´on y una base de U ∩ f (U ) y de U + f (U ). ¿Es directa esta suma?
Ejercicio 20 Sea f : R^3 → R^3 con M = MBc (f ) =
. Calcule los valores propios de M. Calcule
una base y la dimensi´on de cada uno de los subespacios propios. ¿Es posible diagonalizar M?
Ejercicio 21 Sea A ∈ M 3 (R) una matriz con autovalores λ 1 = 1, λ 2 = 4 y λ 3 = α, con α ∈ R. Consideremos los vectores u = (1, 0 , 1), v = (0, 1 , 0) y w = (0, 0 , 1) y supongamos que u ∈ P 1 , v ∈ P 4 y w ∈ Pα. ¿Es A diagonalizable? Calcule A. Discuta para qu´e valores de α es A inversible. Encuentre (cuando sea posible) una ra´ız cuadrada de A.
Ejercicio 22 Consideremos tres sucesiones infinitas de n´umeros reales {xi}, {yi} y {zi} verificando la relaci´on
xn yn zn
xn− 1 yn− 1 zn− 1
(^) , para n ∈ N∗. Calcule una expresi´on que proporcione los t´erminos gene-
rales para cada sucesi´ on en funci´on de x 0 , y 0 y z 0. Indicaci´on: pruebe en primer lugar, usando inducci´on, que
xn yn zn
(^) = An
x 0 y 0 z 0
(^) , n ∈ N, donde A =
Ejercicio 23 Calcule la forma can´onica de Jordan, con una matriz de paso, as´ı como la matriz exponencial de
las matrices A =
y^ B^ =
Ejercicio 24 Sea B = {e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 } una base de R^5 y f un endomorfismo con f (e 2 ) = −e 2 , f (e 3 + e 4 ) = e 3 + e 4 y f (e 5 ) = 2e 5 + e 1 − e 2. El polinomio caracter´ıstico de f tiene la ra´ız triple 2. Las ecuaciones impl´ıcitas respecto de la base B del n´ucleo del endomorfismo f − 2 Id son x 1 + x 2 + x 3 = 0, x 3 + x 4 = 0 y x 5 = 0. Calcule la matriz de f con respecto a la base B, su forma can´onica de Jordan y una matriz de paso P.
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Ejercicio 37 Dada la familia de formas cuadr´aticas q(x, y, z, t) = (β + 1)x^2 + 2xy + y^2 + (β + 1)z^2 + 2(β + 1)xz + 2yz. Diagonalice dando una matriz de paso y estudie su car´acter en funci´on del par´ametro β. Determine su n´ucleo en funci´on de β.
Ejercicio 38 Determine el signo de los autovalores de la matriz A =
Ejercicio 39 Determine, usando proyecciones, el punto m´as pr´oximo a p = (0, 1 , 2) situado sobre la recta x + y + z = 1, x = 2. ¿A qu´e distancia se encuentra?
Ejercicio 40 En el espacio af´ın real de dimensi´on 4 se consideran los siguientes subespacios afines: A = {(x, y, z, t) = (3, 1 , 0 , 3) + α(1, 0 , 0 , 1) : α ∈ R} y B = {(x, y, z, t) ∈ R^4 : y − t = 1, x = z}. Obtenga una base (del subespacio vectorial asociado) y la dimensi´on de cada uno de los subespacios afines. Estudie la posici´on relativa de ambos subespacios determinando la intersecci´on. Escriba la ecuaci´on de un plano paralelo al subespacio A.
Ejercicio 41 Clasifique el movimiento de ecuaciones (1, x′, y′) = (1, x, y)
√ 3 2
1 2 0 − (^12)
√ 3 2
,^ en el sistema
de referencia can´onico de R^2 , mediante el an´alisis del polinomio caracter´ıstico y espacios propios asociados, determinando los elementos geom´etricos correspondientes.
Ejercicio 42 Realice un estudio completo de la afinidad de ecuaciones (1, x′, y′) = (1, x, y)
en el sistema de referencia can´onico de R^2 , probando para ello en primer lugar que se trata de un movimiento.
Ejercicio 43 Con respecto al sistema de referencia usual {o, e 1 , e 2 } en R^2 , se considera M 1 , un giro de 45 grados que transforma el (0, 0) en el (1, 1 −
2), y M 2 , una simetr´ıa respecto del eje af´ın (0, 0) + 〈(1, 1)〉 seguida de una traslaci´on de vector (0, 1). Determine las matrices asociadas a ambos movimientos con respecto al sistema de referencia usual. Calcule el centro del giro M 1. Si se componen ambos movimientos, actuando M 1 en primer lugar, ¿se obtiene un movimiento? En caso afirmativo, clasif´ıquelo y estudie sus elementos geom´etricos.
Ejercicio 44 Demuestre que la transformaci´on af´ın de ecuaciones y 1 = − 2 − x 3 , y 2 = x 2 , y 3 = − 2 − x 1 , en el sistema de referencia can´onico, representa una simetr´ıa respecto del plano x + z = − 2.
Ejercicio 45 Clasifique aquellas transformaciones afines que sean movimientos dadas por la expresi´on en el
sistema de referencia can´onico (1, y 1 , y 2 , y 3 ) = (1, x 1 , x 2 , x 3 )
0 a 2 a 2 − √^12 0 a 2 a 2 √^12 0 √^12 − √^12
donde a ∈ R. Para
ello deber´a realizar un estudio algebraico y geom´etrico completo.
Ejercicio 46 Determine la matriz del movimiento en R^3 que representa una rotaci´on de ´angulo π 4
respecto de
la recta (x, y, z) = (0, 1 , −1) + 〈(1, − 1 , 0)〉 compuesto con una traslaci´on de vector v = (1, 1 , 0).
Ejercicio 47 Clasifique la c´onica x^2 + y^2 − 6 xy + 4x + 4y = 0, usando diagonalizaci´on ortogonal, encontrando la ecuaci´on reducida y determinando sus elementos notables.
Ejercicio 48 Clasifique la cu´adrica 2 x^2 + y^2 + z^2 + 6yz − 4 x − 2 y − 4 z + 6 = 0 mediante diagonalizaci´on ortogonal, encontrando su ecuaci´on reducida.
Ejercicio 49 En el espacio af´ın eucl´ıdeo (R^3 , +, ·) se considera la familia de cu´adricas C = {Cα}α∈R dadas
por Cα ≡ x^2 + y^2 + 2z^2 + 4xy − 2
2 x + 2z − α = 0, α ∈ R. Clasifique las cu´adricas de dicha familia, en funci´on del par´ametro α. Para ello diagonalice por semejanza ortogonal, justificando la posibilidad te´orica de dicha diagonalizaci´on, la matriz asociada a cada cu´adrica y obtenga la ecuaci´on resultante, para luego encontrar una traslaci´on que reduzca la ecuaci´on del apartado anterior a su forma can´onica y concluya de qu´e cu´adrica se trata en funci´on de α.
Ejercicio 50 Clasifique la c´onica de ecuaci´on πx^2 + 2πx + πy^2 − 2 πy + 2π − 9 = 0. Se considera la base B = {(0, 2), (1, 0)}. ¿C´omo queda la ecuaci´on de la c´onica del enunciado en esta base? Clasif´ıquela de nuevo, determinando sus elementos notables. Compare y comente los resultados.
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