Física General III Campo Eléctrico Toribio Córdova C.
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CAPITULO II
CAMPO ELECTRICO
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Campos Electromagneticos, Ejercicios de Electromagnetismo
Campos Electromagneticos y vectores
Tipo: Ejercicios
2017/2018
1 / 55
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CAPITULO II
CAMPO ELECTRICO
2.1 INTRODUCCIÓN
La noción de campo es una idea de amplia importancia en descripción de un conjunto de fenómenos físicos. Un campo es una función o conjunto de funciones que representa por ejemplo a cada componente de un vector, definida en todos los puntos en un espacio dado de coordenadas y que asocia determinada cantidad física a cada punto en el espacio.
Los campos con que se trabajan son múltiples, uno de ellos lo constituye la temperatura, es decir en todo punto del espacio existe una temperatura única en un tiempo t, expresada por la función 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), otra magnitud es la densidad de una sustancia fluida 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡). Ambas cantidades forman los llamados campos escalares. Además de éstos campos existen los llamados campos vectoriales, es decir magnitudes vectoriales las cuales quedan definidas completamente asociándoles un vector único a cada punto del espacio. Son ejemplos de esta clase el viento en la atmósfera terrestre. En cada punto de la atmósfera el aire tendrá una velocidad V��⃗^ , cuyas componentes son funciones de la posición y del tiempo, esto es 𝑉𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ; 𝑉𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) y 𝑉𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡);. En el caso de que se trate de un campo de fuerzas este viene a ser aquella región del espacio en donde se dejan sentir los efectos de fuerzas a distancia. Así, la influencia gravitatoria sobre el espacio que rodea a la tierra se hace visible en cualquiera de sus puntos se sitúa, a modo de detector, una masa de prueba y se mide su peso, es decir la fuerza con que la tierra lo atrae. Dicha influencia se conoce como campo gravitacional terrestre 𝑔⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧). De
un modo análogo en física se introduce la noción de campo eléctrico E��⃗^ (x, y, z), y el de campo magnético 𝐵�⃗^ (𝑥, 𝑦, 𝑧) , etc.
En este capítulo presentaremos y desarrollaremos el concepto del campo eléctrico que producen cargas estáticas y aprenderemos algunos de los modos en los que nos puede ser útil. Asimismo, se continuará empleando la noción de campo en los capítulos posteriores, porque forma la base de la comprensión de muchos efectos eléctricos y magnéticos.
2.2 INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO.
Es sabido que la principal fuente de los campos eléctricos son las distribuciones de cargas eléctricas, positivas o negativas en reposo o con un movimiento muy pequeño situadas en una región del espacio en donde se dejan sentir sus efectos. Por tanto, si en un punto cualquiera del espacio en donde está definido un campo eléctrico se coloca una carga de prueba o carga testigo q0 , se observará la aparición de fuerzas eléctricas, es decir la carga de prueba experimentará atracciones o repulsiones. Por ejemplo si consideramos una carga puntual fija +Q , tal como se muestra en la figura 2.1a, ésta producirá un campo en el espacio que lo circunda, ello se ve reflejado cuando colocamos a la carga de prueba q 0 en dicho espacio, se observa que ésta última experimenta fuerzas repulsivas radiales. Si ahora remplazamos a la carga +Q por otra negativ a –Q , la carga testigo experimentará fuerzas de atracción (véase la figura 2.1b), Por lo tanto, decimos que existe un campo eléctrico en una región del espacio si una carga en reposo denominada carga de prueba experimenta una fuerza de origen eléctrico.
El vector intensidad de campo eléctrico E��⃗^ , en un punto en el espacio caracterizado por las coordenadas (x,y,z,t), está definido como la fuerza eléctrica F�⃗^ que actúa sobre una carga de prueba positiva colocada en este punto, dividida por la magnitud de la carga de prueba q 0. Esto es
0 0
F x y z E x y z q q
(2.1)
Debe notarse que E��⃗^ es el campo externo a q 0 – no es el campo producido por q0. Debido a que el campo eléctrico
es la fuerza por unidad de carga de prueba, la unidad de E��⃗^ en el SI es el newton/coulomb (N/C). Además, debe observarse que la dirección del campo es la misma que el de la fuerza eléctrica ya que asumimos F�⃗^ actúa sobre una carga +q 0. Por otro lado, una vez que se conoce la intensidad de campo eléctrico en algún punto, es posible determinar a partir de la ecuación (2.1), la fuerza sobre cualquier partícula cargada, que se coque es ese punto. Esto es
F = qE
(2.2)
Fig. 2.3. Campo eléctrico generado por cargas puntuales: (a) positiva. (b) negativa
Si la carga que genera el campo no está en el origen de coordenadas, es decir está ubicada por ejemplo en el
punto 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧), tal como se muestra en la figura 2.4, la intensidad de campo eléctrico en el punto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧), es
3 0 0
A o (^) A
q E r r
πε r r
3
(^4) o
q E AP
πε AP
Fig. 2.4. Campo eléctrico generado por una carga puntual positiva fija en un punto fuera del origen.
Ejemplo 2.
Una carga de 4 μC está en el origen. Determine el valor del campo eléctrico en: (a) A(2,0,0) m, (b) B(3,4,0)m y
(c) en P(2,3,5)m.
Solución
En la figura se muestra la ubicación de la carga y los puntos correspondientes
(a) El campo en el punto A esta dado por
6 9 3 3 3
A
q E k OA i N C i OA
− = = =
(b) El campo eléctrico en B es
6 9 3 3 3 3
B
q E k OB i j N C i N C j
OB
− = = + = +
(c) El campo eléctrico en el punto P
6 9 (^3 2 2 2) 3/ 2
3 3 3
P
P
q E k OP i j k OP
E N C i N C j N C k
− = = + +
2.4 INTENSIDAD DE CAMPO ELECTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN DISCRETA DE CARGA.
Para determinar la intensidad de campo eléctrico debido a un sistema de cargas puntuales 𝑞 1 , 𝑞 2 ,………, 𝑞𝑖 ,…. 𝑞𝑛 , mostrado en la figura 2.5, primero se determina la intensidad de campo eléctrico en el punto P (x,y,z) producido por cada una de las cargas utilizando la ecuación (2,4) o (2.5) y posteriormente se procede a realizar la suma vectorial. En otras palabras el campo eléctrico total debido a un sistema de cargas puntuales es igual al vector resultante de la suma de los vectores intensidad de campo eléctrico de todas las cagas.
Este principio de superposición para campos eléctricos matemáticamente se escribe
E = E 1 (^) + E 2 (^) + ........ + Ei + ....+ En = (^) ∑ Ei
(2.6)
3 0 (^1 )
n
i o i i
q E r r
πε = r r
∑
Fig. 2.5. Campo eléctrico generado por un sistema de cargas puntuales.
Solución.
Para demostrar lo solicitado, escojamos el punto P mostrado en la figura y tracemos los campos correspondientes. Los campos eléctrico en el punto P (punto medio del lado son
1 (^1 2 ) 1
2 2 2 2 2
3 (^3 2 ) 3 3
4 (^4 2 ) 4 4
(cos ) (cos )
(cos ) (cos )
kq kq E i sen j i sen j r r
kq kq E i sen j i sen j r r
kq kq E i i r r
kq kq E i i r r
θ θ θ θ
θ θ θ θ
El campo resultante en el punto P será
E = E 1 + E 2 + E 3 + E 4
2 2 2 3 4 2 2 2
2
(^2 2 ) cos 0 (^5 5) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2
8 5 1 25
L kq kq kq kq kq kq E i j i r r r (^) L L L^ L
kq E i L
θ
^ = (^) − − (^) + = − − ^
= (^) −
(^)
El modulo del campo será
2
kq E L
2.5 INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGA.
En la sección anterior se mostró la forma como calcular 𝐄�⃗^ , de una carga puntual utilizando la ley de Coulomb, así mismo se obtuvo el campo eléctrico neto debido a un sistema de cargas puntuales utilizando el principio de superposición. Sin embargo, existe un conjunto de problemas en los cuales las cargas están muy cercanas entre sí en comparación con las distancias a los puntos donde se quiere determinar la intensidad de campo eléctrico. En estas situaciones puede considerarse al sistema como un continuo.
Para determinar la intensidad de campo erétrico de una distribución continua de carga (barra, disco, esfera, etc.) se aplica el siguiente procedimiento. En primer lugar, se divide a la distribución de carga en pequeños elementos, cada uno de los cuales contiene una pequeña carga ∆𝑞 → 𝑑𝑞 , los que se comportan como cargas puntuales (véase la figura 2.6). A continuación se aplica la ley de Coulomb para calcular el campo eléctrico debido a uno de estos elementos en el punto correspondiente 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧). Por último se determina la intensidad de campo eléctrico total en el punto P sumando (integrando) las contribuciones de todos los elementos de carga.
Fig. 2.6. Campo eléctrico debido a un elemento de carga ∆𝐪 en un punto P.
Es decir, el campo eléctrico debido al elemento de carga dq está dado por la ley de coulomb la carga puntual
2 0
dq dE r
πε r
(2.8)
Donde, r es la distancia de dq al punto P y r� el vector unitario correspondiente. Usando el principio de
superposición, el campo eléctrico total es el vector suma (integral) de todas las contribuciones infinitesimales
2 0
dq E r
πε r
= (^) ∫
(2.9)
2.5.1 Campo eléctrico de una distribución lineal de carga.
Si la carga eléctrica es distribuida sobre una línea de longitud l, entonces la densidad de carga λ es
0
( ) lim L
q dq r l dl
∆ →
(2.10)
Donde la dimensión de λ es carga por unidad de longitud (C/m). La carga total es la integra sobre la longitud
completa
lon
Q = λ r dl
∫
(2.11)
Fig. 2.7. Campo eléctrico debido a una distribución lineal de carga
2.5.3 Campo eléctrico de una distribución volumétrica de carga.
Supongamos que se tiene una distribución volumétrica de carga y se desea obtener el campo eléctrico
en algún punto O. Para lograr este objetico consideremos un pequeño elemento de volumen ∆Vi, el cual contiene
una carga ∆𝑞𝑖 , la distancia entre cargas dentro del volumen elemental ∆𝑉𝑖 es mucho menor que la distancia entre
∆𝑉𝑖 y P. En el límite cuando ∆𝑉𝑖 llega a ser infinitesimalmente pequeño podemos definir una densidad de carga
volumétrica en la forma
0
( ) lim V i
q dq r V dV
ρ ∆ →
(2.18)
La dimensión de ρ(r⃗ )^ es carga por unidad de volumen (C/m
3 ). La carga total en la superficie completa es
i^ ( ) V
Q = (^) ∑ ∆ q = ρ r dV ∫∫∫
(2.19)
Figura 2.9. Campo eléctrico debido a una distribución volumétrica de carga
Para determinar el campo eléctrico de la distribución superficial, se divide a la distribución de carga en
elementos de carga dq y área dV , como se muestra en la figura 2.9 y a continuación se determina el campo dE��⃗
producido por dq en el punto P, es decir
3 3 0 0
dq r dV dE AP AP AP AP
El campo total será
3 0
4 V
r dV E AP AP
= (^) ∫∫∫
Ejemplo 2.4 Campo de una varilla con carga no uniforme en el origen de coordenadas
Una línea de carga de longitud L está ubicada a lo largo del eje x como se muestra en la figura y tiene una
densidad de carga por unidad de longitud que varía como ( ) 0
( x d ) x d
λ λ
− = , donde^ λ^0 es una constante. Determine
el campo eléctrico en el origen de coordenadas.
Solución
La densidad de carga lineal no es uniforme y está dada por ( x ) 0 ( x d )
d
λ λ = −. La cantidad de carga contenida en un
pequeño segmento diferencial de longitud dx , mostrado en la figura es
0 dq ( ) x dx ( x d dx ) d
El campo eléctrico producido por dq en el punto O será
0
2 2
0 2
x d dx dq (^) d dE k r k i r x
k x d dE dxi d x
El campo debido a la varilla completa se obtiene integrando la expresión anterior
0 0 2 2
L d (^) ( ) L d L d
d d d
k x d k dx dx E dE dxi d i d x d x x
λ +^ − λ +^ + = = − = − −
∫ ∫ ∫ ∫
0 0 ln ln 1
L d
d
k d k L d d E x i i d x d d L d
λ λ
^ +^ = − + = − (^) + − (^) + (^)
0 ln
k L d L E i d d L d
^ +
Ejemplo 2.5 Campo de una varilla con carga uniforme en puntos sobre el eje y
Una barra no conductora de longitud L con una densidad de carga uniforme λ y una carga total Q está localizada
a lo largo del eje x , como se muestra en la figura. Determine el campo eléctrico en el punto P, localizado a una
distancia y del eje que contiene a la barra.
En el caso de una varilla infinita donde 𝑥 1 → −∞ y 𝑥 2 → +∞ , con 𝑥 (^) 𝑖 = 𝑦𝑡𝑎𝑛𝜃𝑖 , los ángulos correspondientes
son θ 1 = −π/2 y θ 2 = +π/2. Remplazando estos valores en las ecuaciones de las componentes se tiene
0 0
x
y
E
E sen sen y y
^
Ejemplo 2.6 Campo de un arco de circunferencia con carga no uniforme
Un tubo delgado cargado positivamente tiene la forma de un semicírculo de radio R , como se muestra en la
figura. La carga total sobre el semicírculo es Q. sin embargo, la carga por unidad de longitud a lo largo del
semicírculo es no uniforme y está dada por λ = λ 0 cosφ. Determine el campo eléctrico en el centro del
semicírculo
Solución
Se divide a la distribución de carga en elementos infinitesimales de carga dq a un ángulo φ, de longitud ds
como se muestra en la figura y su carga será
dq = λ ϕ( ) ds = λ 0 cos ϕ ( Rd ϕ ) =λ 0 R cosϕ ϕ d
El campo eléctrico producido por el elemento de carga es
2 2 2 0 0 0
1 ( cos ) ˆ (^) ( cos ˆ^ ˆ^ ) ( cos ˆ^ ˆ) 4 4 4
dq ds R d dE r i sen j i sen j r R R
El campo eléctrico debido a la distribución de carga completa se obtiene sumando (integrando) la ecuación
anterior.
0 2 0 0 0
cos ˆ^ cos ˆ 4
E d i sen d j R
∫^ ∫
2 0 0
0 0 0 0
sen sen E i j i j R R
π^ π
^ ^ ^
0
0
E i R
Ejemplo 2.7 Campo de un anillo
Un anillo no conductor de radio R con una densidad de carga λ y una carga total Q está localizado en el plano
xy , como se muestra en la figura. Determine el campo eléctrico en un punto P, localizado a una distancia z desde
el centro del anillo a lo largo del eje de simetría
Figura (a) Figura (b)
Solución
Dividimos al anillo cargado en elementos diferenciales dq de longitud ds = Rd ϕ, como se muestra en la figura
(b). La carga del elemento es
Cir
Q dq dq ds d R L ds
dq Rd
El campo producido por el elemento diferencial en el punto P será
2 2 0 0
dq Rd dE r r r r
Utilizando los argumentos de simetría observamos que las componentes horizontales se anulan mutuamente. Por
lo tanto la única componente que queda es la componente z, esto es
2 0
2 2 2 2 2 2 3/ 2 0 0
cos cos 4
1
4 ( ) 4 ( )
z
z
Rd dE dE r
Rd z R d dE R z (^) R z R z
El campo eléctrico total es la suma (integral) de la ecuación anterior
( ) ( ) 2 2 3/ 2 2 2 3/ 2 2 2 3/ 2 0 0 0
2 2 3/ 2 0
z C
z
Rz Rz^ R^ z E d R z R z R z
Qz E R z
λ^ λ^ π π^ λ
∫
Donde la carga total es Q = 2 π R λ. Analizando la ecuación anterior se ve que si z→0, el campo en el centro del
anillo es nulo E 0 = 0 , además si z >> R , el campo es
El campo eléctrico total es la suma (integral) de la ecuación anterior
( )
1/ 2 3/ 2 0 2 2 3/ 2^ 3/ 2 0 0 0 0
2 2 2 2 0 0 0
2 2 0
R z
R
z
z rdr z du z z u E u du r z u
z z
r z R z z
z z E z (^) R z
− − = = = =
- −
∫ ∫ ∫
Las ecuaciones anteriores pueden escribirse
2 2 0
2 2 0
1 para z > 2
1 para z < 0 2
z
z
R z E z
R z
σ
ε
σ
ε
(^) (^) − + = ^ − − ^ +
Para determinar el campo para punto muy distantes se hace uso de la serie de Taylor
2 1/ 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 0 0 0
z
z R R R
R z z^ z^ z
R R Q
E
z z z
σ σ π
ε πε πε
− − = − (^) + (^) = − (^) − + (^) ≈
-
Este resultado es idéntico al obtenido para una carga puntual. Por otro lado, podemos evaluar el caso donde
R >> 0. Físicamente esto nos daría el campo de un plano infinito- El campo eléctrico es este límite es de la
forma
0
0
ˆ para z > 2
ˆ (^) para z < 0 2
n
n
e
E
e
σ
ε
σ
ε
Ejemplo 2.7 Campo de un cascarón esférico
Una corteza delgada esférica de radio R posee una carga total Q con una densidad superficial uniforme de carga
σ en la superficie. Determinar el campo eléctrico en términos de la distancia r desde el centro de la corteza.
Solución
Se divide a la distribución en elementos diferenciales de carga en forma de anillos de radio y , espesor ds y carga
dq como se muestra en la figura.
El elemento diferencial tiene una carga dq dado por
dq = σ dA = σ (2π y )( Rd θ ) =σ (2π Rsen θ )( Rd θ)
2
dq = 2 πσ R sen d θ θ (a)
El campo eléctrico producido por el elemento diferencial dq en el punto P situado a una distancia r del centro del
cascarón es
dE = dE cos α i^ ˆ^ − dEsen α ˆ j
(b)
La simetría de la distribución de carga exige que las componentes perpendiculares al eje x se cancelen
mutuamente, entonces sólo queda la componente horizontal (radial)
2 cos ˆ^ cos ˆ
dq dE dE i k i S
(c)
Remplazando (a) en (c) se tiene
2
2
cos
R sen d dE k i S
(d)
Antes de proceder a integrar la ecuación (d) es necesario eliminar dos de tres variables S , θ, y α. En este caso las
variables se remplazan en función de S
Aplicando la ley de cosenos en el triángulo OPA
2 2 2
S = R + r − 2 Rr cos θ (e)
Derivando la expresión (e), tenemos
2 SdS = 2 rRsen d θ θ
SdS sen d rR
θ θ = (f)
Una expresión para cosα se obtiene aplicando la ley de cosenos
2 2 2
R = S + r − 2 rS cos α
2 2 2 cos 2
S r R
rS
= (g)
Remplazando el valor de las ecuaciones (e), (f) y (g) en (d), tenemos
ejercida por la primera varilla sobre un elemento dq’ = λ ’dx’ perteneciente a la segunda varilla y finalmente se
procede a la suma (integración) para calcular la fuerza neta.
El campo producido por dq en el punto P está dado por
2 2
r P
dq dx dE k e k i r x x
(a)
El campo neto debido a la primera barra en P es la suma o integración de la ecuación (a)
2 0 2 0
L L P P
dx E k i k x x dxi x x
− = = − −
∫ ∫
(b)
Para poder integrar se hace el cambio de variable, u = xP − x → du = − dx , con lo que se tiene
2
0
L
P P P
k k E k u dui i i k i u x x x L x
− ^
∫
(c)
Del gráfico tenemos que (^) x (^) p = L + d + x ', valor que al ser remplazado en la ecuación (c), da
E k i L d x L L d x
+^ +^ −^ +^ +
E k i d x L d x
+^ +^ +
(d)
La fuerza producida por la varilla izquierda sobre el elemento de carga dq´ de longitud dx´ es
' ( ') ˆ^ ( ') ( ' ')ˆ
dF E dq k i dq k dx i d x L d x d x L d x
^ +^ +^ +^ ^ ^ +^ +^ +
(e)
La fuerza resultante se obtiene sumando (integrando) la ecuación (e) es decir.
0
L e
dx dx F k i d x L d x
+^ +^ +
∫
[ ]
[ ]
2 0 2
' ln( ') ln( ') ˆ
' ln( ) ln( ) ln( 2 ) ln( ) ˆ
L e
e
F k d x L d x i
F k d L d d L d L i
Simplificando obtenemos la fuerza entre varillas, esto es
2 2
0
' ln ˆ 4 ( 2 )
d L F i d d L
Rta.
Parte (b). Para el caso de que 𝑑 ≫ 𝐿, primero se arregla la ecuación anterior esto es
(^2 )
2 2 2 2
0 0 0
2
0
ln ln ln 4 ( 2 ) 4 2 4 2 1 1
2 ln 1 ln 1 4
L L
d d L d d F d d L L L d d d d
L L
F
d d
= = = ^
+^ ^ ^ ^ ^ ^
^
^ ^ ^
La función logaritmo se desarrolla en serie, esto es
( )
ln 1 ........... 2 3
± x = ± x − x ± x −
2 2 2
0
L L L L
F
d d d d
^ ^ ^
Tomando solamente los dos primeros términos, la ecuación simplificada para la fuerza es
2 2
2 (^40)
L
F
d
2.6 LÍNEAS DE CAMPO ELÉCTRICO
Las líneas de fuerza o también conocidas como líneas de campo, son líneas imaginarias que nos permiten visualizar las interacciones eléctricas que experimentan las cargas cuando se encuentran en el interior de un campo eléctrico, permitiendo de este modo una representación grafica del campo eléctrico en el espacio. Michael Faraday (1791-1867) fue uno de los primeros en introducir una forma de visualizar los campos eléctricos en función de lo que llamó líneas de campo o líneas de fuerza, líneas que están relacionadas con el campo de la manera siguiente.
1. Las líneas de campo eléctrico se trazan de tal manera que la tangente a la línea de campo, en cada punto,
especifique la dirección del campo eléctrico E��⃗^ en ese punto.
2. La densidad espacial de las líneas del campo eléctrico en determinado punto es proporcional a la intensidad
de campo eléctrico en ese punto. En consecuencia E��⃗^ , es grande cuando las líneas están muy próximas entre sí y es pequeña cuando están separadas
El patrón de líneas de campo eléctrico puede ser obtenido mediante las consideraciones siguientes.
1. Simetría. Por cada punto sobre la línea de unión de las dos cargas existe un punto equivalente debajo de este. Por tanto, el patrón puede ser simétrico cerca de la línea de unión de las dos cargas. 2. Campo cerca a la carga. Muy cerca de la carga eléctrica, predomina el campo debido a la carga: Entonces, las líneas son radiales y de simetría esférica. 3. Campo lejos de la carga. El patrón de líneas de campo para puntos alejados del sistema de cargas podría ser semejante al de una carga puntual de valor 𝑄 = ∑ 𝑄𝑖. Así, las líneas podrían ser radialmente hacia afuera, al menos que Q = 0. 4. Punto nulo. Este es un punto en el cual E��⃗^ = 0, es decir no podrán pasar líneas a través de dicho punto.