¡Descarga campos electromagneticos capitulo 2 y más Monografías, Ensayos en PDF de Electromagnetismo solo en Docsity!
Fuerza y carga eléctrica
1. CARGA ELECTRICA
a) Conceptos
Es una propiedad fundamental de la ma teria, del mismo modo que la masa. Es una magnitud física escalar, que carac teriza el estado de electrización de un cuerpo. Se llama electrización a la transferencia de cargas de un cuerpo hacia otro, en general las cargas que se transfieren son los llama dos electrones libres.
La carga total de un cuerpo es la suma al gebraica de sus cargas positivas y negati vas.
Se dice que un cuerpo esta cargado positi
vamente cuando ha perdido electrones, y en caso que gane electrones se dice que es ta cargado negativamente, así, podemos de cir que un cuerpo puede poseer dos tipos de carga eléctrica, una llamada positiva (+) y otra llamada negativa (-). Se dice que un cuerpo, es eléctricamente neutro, cuando tiene el mismo número de cargas positivas y negativas.
Dos cuerpos con carga eléctrica del mis mo signo se repelen y dos cuerpos con car ga eléctrica de signos contrarios se atraen.
Unidad: La carga eléctrica se mide en
coulomb (C)
Ejem: 01 Un grano de polvo metálico esta constitui do de 200 protones y 100 electrones. Ha llar la carga eléctrica neta del grano de pol vo. (e=-1,6 10 -19^ C)
a) 1,6 10 -17^ C b) 2,6 10 -17^ C c) 3,6 10 -17^ C d) 4,6 10 -17C e) 5,6 10 -17^ C Sol: 01 La carga neta del cuerpo, es la suma de sus cargas, considerando el signo de ellas, así:
Q 200e 100e
Q (100)(1,6 10 ^19 C)
**+ +
+ +
Q=+2e
RASA
Q=
FUERZA Y
CARGA
CAP. 1 ELECTRICA
Robótica y Cibernética
Q 1,6 10 ^17 C
Ejem: 02 Se tiene una moneda de cobre de 4 g, nú mero atómico Z=29 y masa atómica es M =63,5 g/mol. Hallar el valor de la carga to tal negativa de la mone da. (NA=6,02 1023 átomos/mol, e=-1,6 10 -19^ C, k=10^3 )
a) 175 kC b) 200 kC c) 225 kC d) 250 kC e) 275 kC Sol: 02 Como el número de átomos contenido en un mol de cobre es NA=6,02 1023 , el número de átomos de cobre por mol es:
n N^ A 6,02átomos / mol M 63,5g / mol
n 0,948 10^22 átomos mol
Ahora, como en cada mol existen 0,948 1022 átomos, el número de átomos contenidos en 4 g de cobre es:
átomos N mn (4g)(0,948 ) mol
N 3,79 10^22 átomos
Luego, como cada átomo tiene Z=20 es, la
carga negativa total de la moneda es:
Q ZNe
Q (29)(3,79^22 )( 1,6 10 ^19 )
Q 175 10 C^3
b) Distribuciones de carga eléctrica Se llama distribución de carga eléctrica en
un cuerpo, a la forma como esta se encuen tra repartida en el cuerpo, la cual, depende rá de sus dimensiones (tamaño), forma, geometría, etc…así, tenemos:
1) Distribución de carga lineal
Este caso se presenta, cuando la carga eléc trica se distribuye en un cuerpo que tiene dimensiones de longitud, por ejemplo, un filamento, cuerda, alambre, etc… Para me dir cuantitativamente la distribución de la carga en dicho cuerpo, se utiliza el concep to de densidad lineal de carga, que se re presenta con "", así, tenemos:
Densidad lineal uniforme de carga La carga eléctrica "q" se distribuye por i gual, en todo el filamento de longitud"" y la densidad de carga se define así:
q
Densidad lineal no uniforme de carga La carga eléctrica "q"no se distribuye por igual, en todo el filamento de longitud"" en este caso la densidad de carga se define en cada punto, así:
dq d
siendo, "dq" un diferencial de carga, con tenido en un trocito de filamento de longi tud "d ".
Ejem: 03 Se tiene una varilla delgada de longitud l=60 cm, y densidad de carga lineal no uni forme, dada por: =o(x/l)^2 , donde " o" es una constante, y "x" se mide a partir
A
A
Robótica y Cibernética
2 R 2 4 0 0 o^2
r Q sen r dr d R
(^)
o^2 4 R^3 Q (^) R 2 0 sen d 0 r dr
(^)
2 4 R o 2 0 0
3 sen 2^ sen 4 r Q ( ) ( ) R^8 4 32
^ ^ ^
2 o 2 2 o
3 R 3
Q ( )( ) R
R^4 4
2 o
Q ( )(0,2)
Q 0,023o
3) Distribución volumétrica de carga
Densidad volumétrica uniforme de carga La carga eléctrica "q" se distribuye por i gual, en todo el volumen "V" del cuerpo, la densidad de carga se define, así:
q V
Densidad volumétrica no uniforme de carga La carga eléctrica "q"no se distribuye por igual, en todo el volumen "V"del cuerpo, en este caso la densidad de carga se define en cada punto, así:
dq dV
siendo, "dq" el diferencial de carga, con tenido en el diferencial de volumen "dV".
Ejem: 05 La densidad de carga volumétrica no uni forme de una esfera compacta de radio R= 10 cm, viene dado por: =o(r/R)^3 , siendo " o" una constante. Hallar la carga total de la esfera.
a) 1,09 10 -3o b) 2,09 10 -3o c) 3,09 10 -3o d) 4,09 10 -3o e) 5,09 10 -3o
Sol: 05 Dividamos la esfera en cascarones, y re presentemos uno de ellos de radio "r"y espe sor "dr".
La carga total de la esfera, obtenemos suman do la carga de todos los cascarones de volu
q dq
V
dV
dl=rd
r
dr
0
y
x
RASA
R
dr
r
0
B
Fuerza y carga eléctrica
men dV=4 r^2 dr, esto es:
Q (^) VdV
R 3 2 0 o^3
r Q 4 r dr R
(^)
(^6) R 3 o 0
4 r Q ( ) R^6
3 3 o o
Q R ( )(0,1)
Q 2,09 10 ^3 o
c) Principios fundamentales de la Física
Todo proceso, fenómeno, interacción que se da en la naturaleza se explican median te la utilización de los llamados cuatro principios fundamentales, estos son: 1) Principio de equilibrio Por ejemplo equilibrio eléctrico de un siste ma de cargas eléctricas puntuales, equili brio estático y dinámico de un cuerpo rígi do, equilibrio térmico de un sistema termo dinámico (gas)
2) Principio de simetría Por ejemplo un anillo cargado, presenta si metría respecto de su eje que pasa por su centro y es perpendicular al plano que lo contiene, las mitades de una flor u hoja de
una planta presenta simetría, las mitades de la cara de una persona presenta sime tría, etc..
3) Principio de conservación
Por ejemplo la energía de una carga pun tual en movimiento, en presencia de un campo eléctrico conservativo, se mantiene constante, el movimiento de un proyectil bajo la acción de la gravedad es un siste ma mecánico conservativo, etc..
4) Principio de interacción Por ejemplo la fuerza de interacción eléc trica entre dos cargas puntuales, son igua les en magnitud y de sentidos opuestos.
RASA
B
Fuerza y carga eléctrica
Luego, como cada átomo tiene Z=20 es, la
carga negativa total de la moneda es:
Q ZNe
Q (29)(3,79^22 )( 1,6 10 ^19 )
Q 175 10 C^3
3) De invariancia relativista La carga eléctrica de un cuerpo es indepen diente de la velocidad con la que se despla za, esto es, a mayor velocidad no aumenta su carga, como ocurre con la masa. Esta in varianza de la carga eléctrica esta relacio nada con el segundo postulado de la teoría de la relatividad de Einstein.
e) Medida de la carga eléctrica El procedimiento para medir la magnitud de una carga "q"es la siguiente:
1) A la distancia "d"del cuerpo fijo con car ga arbitraria "Q"ubicamos la carga "q", y medimos la fuerza de interacción "F"entre ellas. 2) A continuación ubicamos una carga q ' a
la misma distancia "d" de "Q" , y medi mos la fuerza de interacción F´entre ellas. 3) Ahora, como las magnitudes de las cargas q y q´son proporcionales a las fuerzas F y F' , se cumple que:
q F q´ F´
4) Finalmente, escogiendo arbitrariamente q' =1 C (carga unitaria), obtenemos la mag nitud de la carga "q", así:
F q F´
2. FUERZA ELECTRICA
a) Análisis
La ecuación matemática correcta que des cribe la fuerza de interacción entre dos cuerpos cargados eléctricamente, fue esta blecida por Henry Cavendish. En tanto, la comprobación y validez expe rimental de la ecuación postulada por Ca vendish fue realizada por Augustin Cou lomb, mediante la balanza de torsión que consiste en una barra suspendida de un hi lo metálico, capaz de experimentar torsión Midiendo la fuerza de torsión que ejerce el hilo sobre la barra se obtiene la fuerza. En la barra de la balanza, Coulomb ubico una pequeña esfera cargada, y otra esfera de i gual carga ubico a diferentes distancias. Luego, midió la fuerza entre ellas obser vando el ángulo que gira la barra. Dichas mediciones experimentales permitieron de terminar que: 1) Si se duplica el valor de la carga "q " 1 , la magnitud de la fuerza "F" se duplica. Si se duplica "q " 1 y triplica "q " 2 la magnitud de la fuerza "F" se sextuplica, por lo que, la magnitud de la fuerza es directamente proporcional al producto de las cargas "q " 1 y "q " 2 , esto es:
F q q 1 2
d
Q
Q
q
q´
F^ F
F´ F´
A
d
F q^1 q^2 F
Robótica y Cibernética
2) Si se duplica la distancia (^) "d"entre las car gas "q " 1 y "q " 2 la magnitud de la fuerza "F" disminuye en un factor de 4=2^2 , si se triplica, disminuye en un factor de 9=3^2 y así sucesivamente, por lo que, la magni tud de la fuerza "F" es inversamente pro porcional al cuadrado de la distancia, esto es:
2
F
d
Reuniendo 1) y 2), podemos decir que:
1 2 2
q q F d
Introduciendo la constante de proporciona lidad "k", transformamos la ecuación ante rior en una igualdad:
1 2 2
q q F k d
La fuerza de interacción eléctrica es de importancia fundamental en el mundo mi croscópico (partículas elementales), pues para pequeñas distancias esta fuerza es muy intensa, decayendo rápidamente se gún la inversa del cuadrado de la distan cia, como se aprecia en la Figura.
b) Comprobación de la validez de la ecua- ción de fuerza eléctrica Consideremos dos esferitas de masas
"m" y cargas del mismo signo "q", sus pendidas de dos hilos de longitud (^) " ", y separados una distancia "d " 1. 1) Representemos las fuerzas que actúan so bre cada una de las esferitas; su peso "mg" , la fuerza eléctrica "F", la tensión en el hilo "T", y como las esferitas están en equilibrio, formemos el triángulo de fuerza.
En el triángulo de fuerzas tenemos:
1
F
tg mg
2 (^1 ) 1
q mg tg k d
2) Al descargar una de las esferitas, y poner lo en contacto con la otra, cada una de ellas adquiere una carga q/2, siendo d 2 <d 1 la nueva distancia de separación entre las esferitas, como se aprecia en la Figura.
mg
l
q 1
l
q 2
F
T
T F
mg d^1
1
1 RASA
mg
l
q 1
l
q 2
F´
T´
T´ F´
mg
d 1
2
2
F
(^0) d
F 1/d^2
Robótica y Cibernética
- Se elige arbitrariamente el origen 0 del sis tema de coordenadas, en general se elige en la posición de la carga q 1 , y se traza el vector desde la carga q 1 hacia la carga q 2 , que denotamos como r 12.
- Con esto, expresamos el vector fuerza eléc trica que ejerce q 1 sobre q 2.
1 2 12 3 12 12
q q F k r r
En esta fórmula se consideran los signos de las cargas q 1 y q 2.
- A su vez, la magnitud de la fuerza eléctri ca que ejerce la carga q 1 sobre la q 2 es:
2 1 12 3 12 12
q q F k r r
1 2 (^12 ) F k^ q q d
En esta fórmula no se consideran los sig nos de las cargas q 1 y q 2 , y además:
r 12 r 12 d
*** Fuerza de la carga q 2 sobre q 1.**
- Se elige arbitrariamente el origen 0 del sis tema de coordenadas, en general se elige en la posición de la carga q 2 , y se traza el vector desde la carga q 1 hacia la carga q 2 , que denotamos como r 21.
- Con esto, expresamos el vector fuerza eléc trica que ejerce q 2 sobre q 1.
2 1 21 3 21 21
q q F k r r
En esta fórmula se consideran los signos de las cargas q 1 y q 2.
- A su vez, la magnitud de la fuerza eléctri ca que ejerce la carga q 2 sobre la q 1 es:
2 1 21 3 21 21
q q F k r r
1 2 (^21 ) F k^ q q d
En esta fórmula no se consideran los sig nos de las cargas q 1 y q 2 , y además:
r 21 r 21 d
De () y (), podemos decir que las fuer zas de interacción eléctrica (^) F 12 y (^) F 21 , son fuerzas de acción y reacción, pues son de sentidos opuestos y de igual magnitud, es to es
F 12 F 21 y F 12 F 21
Recordemos que las fuerzas de acción y reacción actúan sobre cuerpos diferentes, así, las fuerzas F 12 y F 21 actúan sobre las cargas "q " 2 y "q " 1 , respectivamente. También, debemos mencionar que la re sultante de la suma de estas fuerza de ac ción y reacción, siempre es nula
Ejem: 08 Dos cargas puntuales Q 1 =+2 C, Q 2 =- C se ubican sobre el eje Y, en y 1 =0,3 m, y 2 =-0,3 m. Una tercera carga puntual Q 3 = +4 C se ubica en el eje X en x=0,4 m. (k=9 109 Nm^2 /C^2 ) I) Hallar la magnitud de la fuerza sobre la
d
q 1
q 2
r 12 z
y x
0 RASA
Fuerza y carga eléctrica
carga puntual "Q " 3.
a) 0,146 N b) 0,346 N c) 0,546 N d) 0,746 N e) 0, 946 N
II) Hallar la dirección de la fuerza que actúa sobre "Q " 3.
a) 90º b) 180º c) 270º d) 106º e) 233o Sol: 08 Representemos las fuerzas F 1 , F 2 que e
jercen las cargas "Q " 1 , "Q " 2 sobre "Q " 3.
I) En la Figura, las magnitudes de las fuer
zas F 1 , F 2 son:
1 3 (^1 2 )
Q Q
F F k d
6 6 9 (^1 2 )
F F (9 10 )
F 1 F 2 0,288N
Ahora, como las componentes de F 1 y F 2 en
la dirección del eje X se anulan, entonces, la magnitud de la fuerza resultante sobre la car ga "Q " 3 es:
o o F 2F sen37 1 (2)(0,288)sen
F 0,346 N
II) En la Figura, la dirección de la fuerza re sultante Fes vertical hacia abajo.
Ejem: 09 En la Figura, las cargas puntuales de valor Q=4 C que se encuentran sobre los arcos de circunferencia de radio R=20 cm, equi distan de los ejes x e y. Hallar el vector fuerza eléctrica que ejerce la carga – Q so bre la carga +Q. (k=9 109 Nm^2 /C^2 )
Sol: 09 Representación del vector trazado de la carga negativa " Q"hacia la positiva" Q"
En la Figura, el vector unitario uˆ en la di rección de -Q hacia +Q, y la distancia "d" entre las cargas, son:
ˆ^2 ˆ^2 ˆ
u i j 2 2
d 2R 2x 2R 2( 2R R)
d (2 2)R
Luego, el vector de la fuerza eléctrica que e jerce la carga negativa sobre la positiva es:
2
( Q)(Q) ˆ
F k u d
9 6 2 2 2 2
F (i j) (2)(2 2) (20 10 )
(^)
0,5m
F 1
0,3m
0,4m 0,3m (^) F 2 F
37 o
Q 1
Q 2
Q 3
53 o^
x
y
(^0) x
d
x
x
R
R
Q
Q
u^
B
Fuerza y carga eléctrica
En la Figura, los vectores r 1 , r 2 trazados des
de las cargas Q 1 , Q 2 hacia la posición del pro tón Q 3 , y sus módulos son:
r 1 ( 3 ,1) (1; 3) ( 4 ; 2)m
r 2 ( 3;1) (2 ; 2) ( 5 ; 3)m
2 2 1/ r 1 [( 4) ( 2) ] 20 m
2 2 r 2 [( 5) 3 ] 34 m
Con esto, calculemos las fuerzas que ejercen las cargas Q 1 y Q 2 sobre el protón Q 3 , así:
1 3 1 3 1 1
Q Q
F k r r
9 6 19 (^1) 3/
F ( 4 ; 2)
16 F 1 ( 3,22 ; 1,61) 10 N
2 3 2 3 2 2
Q Q
F k r r
9 6 19 (^2) 3/
F ( 5 ; 3)
^ ^
16 F 2 (1,45 ; 0,87) 10 N
De modo que, la fuerza resultante sobre el protón Q 3 , y su módulo son:
F F 1 F 2
F ( 1,77 ; 2,48) 10 ^16 N
F [( 1,77) 2 ( 2,48) ]2 1/
F 0,305 10 ^15 N
II) La dirección de la fuerza resultante que actúa sobre el protón, viene dado por: 16 o 1 16
180 tg ( ) 1,77 10
234,5o
f) Fuerza eléctrica entre dos cuerpos con distribuciones de carga continua Consideremos dos cuerpos cargados, con cargas (^) "q " 1 y (^) "q " 2 distribuidas uniforme mente ya sea en su longitud, superficie o volumen, como el mostrado en la Figura.
Consideremos dos diferenciales de carga "dq " 1 y "dq " 2 en cada uno de los cuer pos, y apliquemos la expresión dada en c), así:
1 2 12 3 12 12
dq dq dF k r r
Integrando esta expresión sobre los dos cuerpos, obtenemos la fuerza que ejerce el cuerpo "1"sobre el cuerpo "2":
q 1 q 2 2 12 1 3 12 0 0 12
dq F dq k r r
(^)
Por ejemplo, si los cuerpos son dos alam bres de longitudes " 1 ", " 2 ", y densida des de carga lineal " 1 ", " 2 ", respecti
0
dq 1
dq 2
r 12
z
x
y
1
2
A
C
Robótica y Cibernética
vamente, la expresión anterior escribire mos, así:
1 2 2 2 12 1 1 3 12 0 0 12
d F d k r r
Del mismo modo, si los cuerpos son dos superficies de áreas (^) "A " 1 , (^) "A " 2 , y densi dades de carga superficiales " 1 ", " 2 ", respectivamente, la fuerza eléctrica del cuerpo (^) "1"sobre el cuerpo (^) "2"es:
A 1 A 2 2 2 12 1 1 3 12 0 0 12
dA F dA k r r
Asimismo, si los cuerpos son sólidos de volúmenes "V " 1 , "V " 2 , y densidades de carga volumétrica " 1 "y " 2 ", la expre sión inicial, se reduce a:
V 1 V 2 2 12 1 1 3 12 2 0 0 12
F k dV r dV r
En todos los casos, las fuerzas de interac ción entre los cuerpos, son de sentidos o puestos y de igual magnitud, esto es:
F 12 F 21 y F 12 F 21
Ejem: 11 En la Figura, hallar la magnitud de la fuer za de interacción eléctrica entre los fila mentos metálicos muy finos de longitudes a=10 cm y 2a=20 cm, y densidades de car ga lineal uniformes de =2 10 -5^ C/m. (k= 9 109 Nm^2 /C^2 , usar log(x))
a) 1,20 N b) 1,25 N c) 1,30 N d) 1,35 N e) 1,40 N Sol: 11 Representación de un diferencial de carga
"dq" de longitud "dy"en el filamento verti cal cargado negativamente.
En la Figura, la magnitud de la fuerza eléctrica sobre el diferencial de carga "dq", debido al campo eléctrico creado por el fila mento horizontal cargado es:
dF Edq
2 2 o
a dF ( )( dy) 2 y y a
2 2a
o 2 2 a
a dy F (^2) y y a
(^2 2 2) 2a a o
a 1 a^ y^ a F [ og( )] 2 a y
F (2)(9 10 )(2 10^9 5 2) og( 1 5 ) 2(1 2)
^
F 1,25 N
Nota
La fuerza "F" sale positivo, porque lo que se ha calculado es su módulo.
g) Características Las fuerzas que actúan sobre las partícu las, están dirigidas a lo largo de la recta
dq dy
y a
2a
-
RASA
B
