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1 /21Matemáticas Empresariales – Matrices y Ec Lineales
MATRICES
Matriz es el nombre genérico que en matemáticas se aplica a
Economía, Sociología, Psicología, Estadística, Geometría.estudio de sistemas de ecuaciones,…, y aparecen de modo natural encosas, para almacenar información, para describir relaciones, para ellistas y tablas numéricas. Las matrices se emplean, entre otras muchas En la teoría de los espacios vectoriales veremos cómo un modelo
lineal (^) de (^) compatibilidad
(^) con (^) m (^) ecuaciones
(^) lineales
(^) puede (^) ser
interpretado como un problema entre vectores del espacio
(^) RRm .
La teoría de las matrices es la que va a aportar la forma de
obtenerincompatibilidad o la compatibilidad del modelo, sino también pararealizar los cálculos, de modo operativo, no sólo para averiguar la (^) las (^) soluciones
(^) en (^) caso (^) de (^) compatibilidad.
(^) Además,
(^) las
matrices ofrecen una notación ventajosa
(^) que no debe subestimarse,
no sólo (^) para (^) los (^) modelos
(^) lineales
(^) sino (^) también
(^) para (^) las
- aplicaciones lineales. DEFINICIONES BÁSICAS
Matriz de orden
(^) m x n
Todo conjunto de elementos dispuestos de modo ordenado en forma de una tabla de
(^) m (^) filas y (^) n columnas. Se simboliza en las
formas:
^ =
mn
m
m
a n n
a
a
a
a
a
a
a
a
A
2
1
2
22
21
1
12
11
ó
nm
ija
A
∗
2 /21 Matemáticas Empresariales – Matrices y Ec Lineales
21 ,^
nc
c c
A =
ó
mf ^ = f
A
ij^ a^ Siendo: (^) : (^) el término situado en la fila i y columna j, j c: vector-columna formado por los elementos de la columna j (j = 1, 2, ..., n)
- Una matriz puede contener informaciones muy variadas:i f: vector-fila formado por los elementos de la fila i (i = 1, 2, ..., m) Resultado de una encuesta realizada a
(^) m (^) individuos sobre
(^) n
preguntas. Cada fila es la respuesta de un individuo.
Una tecnología lineal que emplea
(^) m (^) factores en
(^) n (^) procesos
productivos. Cada columna es un proceso productivo.
Una aplicación lineal de R
en Rn^ .m
Los coeficientes de las incógnitas de un modelo lineal de
(^) m
ecuaciones y
(^) n incógnitas. Cada columna son los coeficientes de
una incógnita.
Matrices cuadradas Son aquéllas en las que el número de filas coincide con el número de columnas
(^) m = n , es decir, se representan como
n*n^ A .
Los elementos
nn}
a
a
a ,..,
2211 ,^
forman la diagonal principal. La
suma (^) de (^) los (^) elementos
(^) de (^) la (^) diagonal
(^) principal
(^) se (^) denomina
TRAZA
(^) de la matriz.
nna
a
a
A
Traz
22
11
3 /21Matemáticas Empresariales – Matrices y Ec Lineales Las matrices cuadradas que tengan nulos los elementos que matrices triangularesquedan a uno de los lados de la diagonal principal se denominan
. Siendo:
(^) subtriangular
(^) si son nulos los que
quedan a la izquierda y
(^) súper triangular
(^) sin son los de la derecha.
Matriz diagonal
(^) es la que tenga nulos todos los elementos que no
estén en la diagonal principal.
^ =
nn
n
n
a
a
a a
a a
A
2
1 22
21 11
^ =
nn^ a na n
a
a
a
a
A
2
22
1
12
11
Triangular superior
Triangular inferior
^ =
nna
a
a
A
Diagonal 11
Las matrices de orden
(^) 1 x n (^) y las de orden
(^) m x 1 (^) se denomina,
respectivamente,
(^) matriz fila
(^) y (^) matriz columna
Cuando los elementos de la matriz son números reales, o deOPERACIONES ELEMENTALES CON MATRICES
conjuntos de matrices.matrices, o lo que es igual, surge una estructura algebraica en loscualquier cuerpo conmutativo, surge una capacidad operatoria con las
4 /21 Matemáticas Empresariales – Matrices y Ec Lineales SUMA DE MATRICES Suma de dos matrices del mismo orden es la matriz que resulta al
sumar los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas.
nm
nm
nm^
B
A
C
∗
∗
∗
Sumándose elemento a elemento:
ij
ij
ij
b
a
c
El conjunto de matrices
nm
M
∗ de un mismo orden tiene estructura
de grupo (^) abeliano
(^) o (^) conmutativo
(^) respecto
(^) a la suma (^) matricial,
cumpliéndose las siguientes propiedades:
Asociativa:
A + (B + C) = ( A + B ) + C
Conmutativa:
A + B = B + A
Elemento neutro:
A +
0 = A _
Elemento opuesto:
A + (-A) =
0 _
Siendo A, B, y C matrices del mismo orden y
(^0) la matriz nula _
PRODUCTO DE NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ(todos los elementos son iguales a cero). El producto de un número real
(^) k por matriz
(^) A = (a ij) es la matriz
matriz.que resulta al multiplicar el escalar por cada uno de los elementos de la
R
k
y
M
B
A
B
A
k
nm^ ∈
∗
Siendo:
ij
ij a k
b ⋅
7 /21Matemáticas Empresariales – Matrices y Ec Lineales
t
t
t A
B
B
A
8 /21 Matemáticas Empresariales – Matrices y Ec Lineales 4. A toda matriz cuadradaDETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA
nn
∗A^
(^) se le asocia un número llamado
determinante de
A,
(^) que se simboliza como
( )A
det o (^) A (^).
Este número es una característica de la matriz que contiene
información
(^) sobre (^) la (^) dependencia
(^) o (^) independencia
(^) lineal (^) de (^) los
vectores-columna (y de los vectores-fila) que forman la matriz
A.
Lo más relevante es el hecho de que sea igual a cero o distinto de
(l.d.)cero. En el primer caso, los vectores son linealmente dependientes (^) y en el segundo, linealmente independientes
(^) (l.i.)
il
regular
matriz
es
A
dl
gular
matriz
es
A
sin
El cálculo del determinante se basa en la definición que se da a
continuación y en las propiedades que siguen: DEFINICIÓN:
(^) Determinante de una matriz cuadrada
nn
∗A^
(^) , es el
número que resulta al sumar todos los productos de
(^) n elementos de la
1.) matriz que cumplan dos requisitos: Que en cada producto entre un solo elemento de cada fila y de
2.) cada columna. Que a cada producto se le anteponga signo + o signo – según
de los elementos de cada producto por columnas.cada producto por filas, o en los subíndices de filas, previa ordenaciónlos subíndices de columnas, previa ordenación de los elementos deque haya un número par o impar de inversiones del orden natural en
9 /21Matemáticas Empresariales – Matrices y Ec Lineales De la definición se desprende que el número de productos que
de permutaciones que pueden hacerse con loshay que sumar para calcular el determinante, coincide con el número
(^) n primeros números
- (-).naturales, que es n!, y que a la mitad de ellos, hay que anteponer signo Número de productos 2! = 2. Ordenados los elementos por filas sonDeterminante de una Matriz cuadra de orden 2 de la forma
j
i (^21) aa^
. Los segundos subíndices pueden ser
}^2 ,
o
}^1 ,^2.
inversión del orden natural.Los primeros están en el orden natural, en los segundos hay una
21
12
22
11
22
21 12
(^11)
a
a
a
a
a
a a
a
A
Determinante de una matriz cuadrada de orden 3
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A =
Ordenados los elementos por filas, son de la forma Número de productos: 3! = 1.2.3 = 6.
k j
i a
aa^ 3
2 (^1) .
{ Los segundos subíndices pueden ser
}^2 ,
3 ,^1
,^3 ,
1 ,^2
,^1 ,
2 ,^3
,^2 ,
1 ,^3
,^1 ,
3 ,^2
,^3 ,
2 ,^1
En los tres primeros hay un número par de inversiones (se les
antepone el signo + a los productos), los tres últimos tienen un número
10 /21 Matemáticas Empresariales – Matrices y Ec Lineales productos). impar de inversiones del orden natural (se antepone signo – a los
32
23
11
33
21
12
31
22
13
32
21
13
31
23
12
33
22
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
Determinante de una matriz de orden superior a tres Existen distintos métodos que permiten calcular el determinante
adjuntos.de un matriz de orden superior a tres, el más utilizado es el de los La suma de los productos de los elementos de una fila (o una
matriz.columna) por sus respectivos adjuntos es igual al determinante de la
( )
( ) ( ij)
ji
i n ij
M
a
A
det
det
1
=^ ∑
Donde:
det(
)^1
ij
ji
ij
M
A
es el adjunto del término
ij^ a .
Determinante de una matriz triangular En una matriz triangular son nulos los elementos que quedan a
producto de los elementos de la diagonal principal.cuya suma es el determinante de la matriz son nulos, excepto eluno de los lados de la diagonal principal. Debido a esto, los productos
nn
nn
n
a
a
a
a
a
a
a a
a a
A
n
^ =^
33
22
11
1 22
21 11 (^2) ⋯ ⋮
Para el cálculo del determinante de una matriz cuadrada, no
de los determinantes.triangular, de orden mayor que tres, procede recurrir a las propiedades
13 /21Matemáticas Empresariales – Matrices y Ec Lineales PROPIEDAD 9 El valor del determinante de una matriz es el resultado de sumar
adjuntos de los lugares que ocupan.los elementos de cualquier fila (o columna) multiplicados por los Sea A una matriz cuadrada de orden n y A
ij (^) la matriz de orden n-
1 obtenida al suprimir la fila
(^) i (^) y la columna
(^) j (^) de A. Para cualquier
(^) i (^) se
cumple:
ij)
ji
j n ij
A
a
A
det
det
1
=^ ∑ −
Siendo el producto
det(
)^1
ij
ji^ A
es el adjunto de
ij^ a .
En (^) esta (^) propiedad
(^) se (^) basa (^) el (^) método
(^) de (^) Laplace
(^) para (^) la
Ejercicio:continuación el método de los adjuntos a esa fila o columna.tenga todos los elementos iguales a cero menos uno y aplicar aresolución de determinantes. Consiste en hacer que una fila o columna
=B
PROPIEDADES
QUE
RESUELVEN
LA
DEPENDENCIA
O
VECTORIAL RINDEPENDENCIA LINEAL DE n VECTORES EN EL ESPACIO
:n
PROPIEDAD 10
Si en una matriz cuadrada de orden
(^) n, los (^) n vectores-columna
determinante de la matriz vale cero.son linealmente dependientes, alguno de ellos es c.l. de los demás, el
14 /21 Matemáticas Empresariales – Matrices y Ec Lineales PROPIEDAD 11 Si en una matriz cuadrada de orden
(^) n los (^) n vectores-columna son
cero.linealmente independientes, el determinante de la matriz es distinto de Estas propiedades, representan un método operativo para estudiar
la dependencia e independencia lineal en los espacios del tipo R
, peron
PROPIEDAD 12 OTRAS PROPIEDADESdel espacio, es decir, n.solamente en el caso de ser el número de vectores igual a la dimensión La suma de los elementos de una fila (o columna) multiplicados
por los adjuntos de los lugares de una paralela a ella, vale cero.
=∑
j n
hj
jh
ij
A
(^1) a
det
Ejercicio: comprobar el determinante
=A
Si el determinante es un número real asociado sólo a las matricesRANGO DE UNA MATRIZ
cuadradas, el rango es un número natural asociado a cualquier matriz. Si interpretamos las filas (o las columnas) de una matriz como
vectores de R
, el estudio de los modelos lineales de compatibilidadn
requiere (^) procedimientos
(^) operativos
(^) que (^) permitan
(^) averiguar
(^) la
15 /21Matemáticas Empresariales – Matrices y Ec Lineales DEFINICIÓNmatriz.matrices cuadradas como no cuadradas. Tal concepto es el rango de lageneral. Se hace necesario otro concepto más general, aplicable tanto air referido a matrices cuadradas, no aporta un procedimiento operativopor los coeficientes de las incógnitas. El concepto de determinante, al dependencia o independencia lineal de los vectores-columna formados Llamamos
(^) menores
(^) de (^) orden (^) h (^) a (^) los (^) determinantes
(^) de (^) las
submatrices cuadradas formadas por los elementos comunes a
(^) h (^) filas y
h (^) columnas cualesquiera de la matriz. Se dice que el
(^) Rango de una matriz
A
es el número natural
(^) r, si
algún menor de orden
(^) r es distinto de cero y todos los menores de
orden mayor que
(^) r (^) son nulos.
TEOREMA
El rango de una matriz coincide con el máximo
(^) número de
vectores-columna
(^) y (^) con (^) el (^) máximo
(^) número
(^) de (^) vectores-fila
linealmente independientes que hay en la matriz. Este teorema significa que todo el problema relativo al estudio de
tipo Rla dependencia o independencia lineal entre vectores de los espacios de queda reducido al cálculo del rango de matrices.n^
1. CÁLCULO DEL RANGO
no nulo. Si lo hay,Elegir las dos primeras columnas y buscar un menor de orden dos
1 c y 2 c (^) son l.i. y el rango de la matriz es, al
menos dos. Si no lo hay,
2 c es múltiplo de
1 c , se suprime
2 c , y se
elige la siguiente columna en su lugar.
Partiendo del menor no nulo de
(^) orden 2
, se elige una nueva
columna y se van calculando solamente los menores de
(^) orden 3
(^) que
sean orlados del de orden dos no nulo, hasta encontrar uno no nulo.
16 /21 Matemáticas Empresariales – Matrices y Ec Lineales suprimirse.lo hay, la tercera columna es c.l. de las dos primeras y puede Si lo hay, las tres columnas son l.i. y el rango es al menos tres. Si no
calcular el rango de^ Ejemplo:nulo.Se reitera el procedimiento partiendo del menor de orden tres no
^ =
A
2 c (^) es combinación lineal de
1 c ; (^) así que cualquier menor de estas
dos columnas su determinante será cero.
(^) Tomamos
3 c
^ =
A
3
(^1)
indepl
son cy
c
A
Rg ≥
Si tomamos
1 c (^) , 4 c (^) y 3 c observaremos
(^) que
4 c (^) = 1 c (^) + 3 c ; (^) los
determinantes de los menores son todos igual a cero, al ser c.l. De manera que el Rango de
3
(^1)
c c
Rg
A
Sea INVERSIÓN MATRICIAL A (^) una matriz cuadrada de orden
(^) n. (^) Se dice que
A-
es matriz^
matriz unidad (Iinversa de la matriz A, si el producto de ambas matrices es igual a la
n*n).
19 /21Matemáticas Empresariales – Matrices y Ec Lineales 8. Un sistema lineal deSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
(^) m ecuaciones con
(^) n incógnitas se escribe de
la forma siguiente:
m
n
mn
m
m
nn n n b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
2
11
2
2
2
22
1 21
1
1
2
12
1 11
o escrito en forma matricial quedaría:
B
X
A
b b b
x x x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
m
n
mn
m
m
n n
^ =
^ ^ ⋅
2 1
2 1
2
1
2
22
21
1
12
11
Un sistema lineal admite una solución si todas las ecuaciones del
DISCUSIÓN DEL SISTEMA (Teorema de Rouchè-Frobenius)de la solución.sistema se verifican cuando se sustituyen las incógnitas por los valores La discusión
(^) de (^) un (^) sistema
(^) de (^) ecuaciones
(^) lineales
(^) pasa (^) por
averiguar si: no tiene solución o el
(^) sistema es incompatible
solución única o es un
(^) sistema compatible determinado
con múltiples soluciones o
(^) sistema compatible indeterminado
Siguiendo con la matriz A
m*n , con (^) n (^) incógnitas, diremos que:
Si rango (A)
rango (A|B)
Sist. Incompatible
Si rango (A) = rango (A|B) = n
(^) Sist. Comp. determinado
Si rango (A) = rango (A|B) < n
(^) Sist. Comp. indeterminado
20 /21 Matemáticas Empresariales – Matrices y Ec Lineales Si RESOLUCIÓN DEL SISTEMA (Regla de Cramer)
1
A
X es posible establecer
A
B
−
La regla de Cramer surge al despejar cada incógnita en la anterior
ecuación matricial. Si el sistema es compatible determinado (
m = n y det (A)
0 ≠^ ),
cada una de las incógnitas
i^ x es igual al cociente de dos determinantes:
como (^) numerador
(^) el (^) determinante
(^) obtenido
(^) al (^) reemplazar
(^) en (^) el
determinante de
A
la columna de los coeficientes de la incógnita por la
columna
(^) de (^) términos
(^) independientes
(^) b (^) y como (^) denominador
(^) el
determinante de A.
A
a
a
b
a
a
b
a
a
b
x
nn
n
n
n n
2
2
22
2
1
12
1
A
a
b
a
a
b
a
a
b
a
x
nn
n
n
n n
1
2
2
21
1
1
11
A
nx = ......
Si el sistema es compatible indeterminado, (la matriz
A
(^) no
tantaslinealmente dependientes. Se forma un nuevo sistema reducido conadmite inversa), se suprimen las ecuaciones que sean redundantes o (^) ecuaciones
(^) como (^) incógnitas
(^) dependientes
(^) (con (^) matriz (^) A
nuevo sistema reducido.restantes (o libres). La solución se obtendrá aplicando Cramer sobre elregular), pasando al lado derecho de cada ecuación las variables
21 /21Matemáticas Empresariales – Matrices y Ec Lineales SISTEMAS HOMOGÉNEOS Es un tipo especial de sistemas de ecuaciones lineales, son
aquellos que tienen
(^) nulos (^) todos los términos independientes.
^ =
^ ^ ⋅
2 1
2
1
2
22
21
1
12
11
n
mn
m
m
n n x x x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Al ser nulos los términos independientes, coinciden los rangos de
las matrices
A
(^) y (^) A|B , por lo que son siempre compatibles.
(^) Se
caracterizan por dos propiedades: Tiene con seguridad la solución única, será la “
solución trivial
)^0
2
(^1)
nx
x
x
⋯
Rango (A) < número de incógnitas.Para que tenga otras soluciones, es necesario y suficiente que:
Prácticas recomendadas Libro de Problemas Resueltos de Matemáticas para la Economía y Empresa.
(^) Capítulo I.
Ejercicios paginas 17 y 18 del libro.
