CAPÍTULO 9 FILTRACIÓN , Diapositivas de Matemáticas Aplicadas

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CAPÍTULO 9

FILTRACIÓN

Ing. Víctor Maldonado Yactayo

Filtración 83

1. INTRODUCCIÓN

La filtración consiste en la remoción de partículas suspendidas y coloidales presentes en una suspensión acuosa que escurre a través de un medio poroso. En general, la filtración es la operación final de clarificación que se realiza en una planta de tratamiento de agua y, por consiguiente, es la responsable principal de la producción de agua de calidad coincidente con los estándares de potabilidad.

El avance logrado por la técnica de filtración es el resultado de un esfuerzo conjunto dirigido a lograr que la teoría exprese los resultados de las investigacio- nes experimentales, de tal modo que sea posible prever, en el diseño, cómo va a operar la unidad de filtración en la práctica.

2. MECANISMOS DE LA FILTRACIÓN

Como las fuerzas que mantienen a las partículas removidas de la suspen- sión adheridas a las superficies de los granos del medio filtrante son activas para distancias relativamente pequeñas (algunos ángstroms), la filtración usualmente es considerada como el resultado de dos mecanismos distintos pero complemen- tarios: transporte y adherencia. Inicialmente, las partículas por remover son trans- portadas de la suspensión a la superficie de los granos del medio filtrante. Ellas permanecen adheridas a los granos, siempre que resistan la acción de las fuerzas de cizallamiento debidas a las condiciones hidrodinámicas del escurrimiento.

El transporte de partículas es un fenómeno físico e hidráulico, afectado principalmente por los parámetros que gobiernan la transferencia de masas. La adherencia entre partículas y granos es básicamente un fenómeno de acción su- perficial, que es influenciado por parámetros físicos y químicos.

Los mecanismos que pueden realizar transporte son los siguientes:

a) cernido; b) sedimentación;

Filtración 85

El cernido, en general, actúa solo en las capas más superficiales del lecho y con partículas relativamente fuertes, capaces de resistir los esfuerzos cortantes producidos por el flujo, cuya velocidad aumenta en las constricciones.

A partir de las consideraciones geométricas, Hall considera que la probabi- lidad de remoción de una partícula por cernido (Pr) está dada por la siguiente fórmula:

Donde:

d = diámetro de la partícula Dc = diámetro del medio filtrante

2.1.2 Sedimentación

El efecto de la gravedad sobre las partículas suspendidas durante la filtra- ción fue sugerido hace más de 70 años, cuando Hazen consideró los poros de los filtros lentos de arena como pequeñas unidades de sedimentación. Sin embargo, durante mucho tiempo la contribución de este mecanismo no se consideró signifi- cativa, pues la velocidad de sedimentación de las partículas suspendidas y, espe- cialmente, la de los pequeños flóculos, es mucho más pequeña en comparación con la velocidad intersticial.

La sedimentación solo puede producirse con material suspendido relativa- mente grande y denso, cuya velocidad de asentamiento sea alta y en zonas del lecho donde la carga hidráulica sea baja.

Ives (1965) sugiere que algunas partículas más pequeñas y floculentas pue- den quedar retenidas en regiones donde la velocidad de escurrimiento sea peque- ña debido a la distribución parabólica de velocidad en el régimen laminar.

2.1.3 Intercepción

Normalmente, el régimen de escurrimiento durante la filtración es laminar y, por lo tanto, las partículas se mueven a lo largo de las líneas de corriente. Debido a que las partículas suspendidas tienen una densidad aproximadamente

3/ Dc

Pr = d ⎥⎦

⎤ ⎢⎣

⎡

86 Manual I: Teoría

igual a la del agua, ellas serán removidas de la suspensión cuando, en relación con la superficie de los granos del medio filtrante, las líneas de corriente están a una distancia menor que la mitad del diámetro de las partículas suspendidas.

2.1.4 Difusión

Se ha observado que las partículas rela- tivamente pequeñas presentan un movi- miento errático cuando se encuentran suspen- didas en un medio líqui- do (figura 9-1). Este fenómeno, resultado de un bombardeo intenso a las partículas suspen- didas por las moléculas de agua, es conocido como movimiento browniano , y se debe al aumento de la ener- gía termodinámica y a la disminución de la vis- cosidad del agua.

La eficiencia del filtro debida a la difusión es directamente proporcional a la temperatura e inversamente proporcional al diámetro de la partícula del grano.

2.1.5 Impacto inercial

Durante el escurrimiento, las lí- neas de corriente divergen al estar cerca de los granos del medio filtrante, de modo que las partículas suspendi- das, con cantidad de movimiento su- ficiente para mantener su trayecto- ria, colisionan con los granos, según Figura 9-2. Mecanismo de impacto inercial se muestra en la figura 9-2.

Figura 9-1. Diferentes mecanismos que pueden realizar transporte

Tamaño de grano (500 μ) Tamaño de poro (100-200 μ)

500

Tamaño microflóculo Tamaño esferoidal (30 μ) Partícula de sílice (20 μ) Tamaño de bacteria (1=2 μ)

30 μ

Difusión

Sedimentación

Cernido

Intercepción Impacto inercial

Difusión

Filtración 88

La eficiencia del medio filtrante para remover partículas de la suspensión por acción de los mecanismos de transporte puede expresarse adecuadamente como una función de la intercepción, difusión, sedimentación y acción hidrodiná- mica.

Yao y sus colaborado- res estudiaron el efecto com- binado de la sedimentación, intercepción y difusión y ve- rificaron que, para las partí- culas de densidad igual a 1, g/cm^3 , la eficiencia de colec- ción de un grano aislado pre- senta un valor mínimo cuan- do el tamaño de las partícu- las suspendidas es del orden de 1,4 μm, como se muestra en la figura 9-5.

De un modo general, se puede concluir que la eficacia de colección de las partículas suspendidas es inversamente proporcional a la velocidad de aproxima- ción V, al diámetro de los granos del medio filtrante D y a la viscosidad μ, y que la eficiencia de colección es una función de las características de la suspensión.

2.2 Mecanismos de adherencia

La adherencia entre las partículas transportadas y los granos está goberna- da, principalmente, por las características de las superficies de las partículas sus- pendidas y de los granos. Las partículas se pueden adherir directamente tanto a la superficie de los granos como a partículas previamente retenidas. La importancia de las características de las superficies es evidente cuando se considera la filtra- ción de una suspensión de arcilla en un lecho de arena con una velocidad de aproximación del orden de 1,5 mm/s. La eficiencia de remoción es inferior a 20% cuando no se emplea coagulante; por lo tanto, la filtración de la misma suspensión coagulada con una sal de Al+++^ o Fe +++^ puede producir una eficiencia de remoción superior a 95%. En el primer caso, se tiene una cantidad elevada de partículas estables, en tanto que, en el segundo caso, la mayor parte de las partículas fueron desestabilizadas.

Figura 9-5. Eficiencia del transporte de partículas

10 --

10 --

10 --

10 --

10 --

0.01 0.1 1 Tamaño de la partícula suspendida ( m) μ

Solamente difusión Eficiencia de colección

de un gramo = Ff

1

Difusión, intercepción y sedimentación

10

Filtración 89

La adherencia se atribuye a dos tipos de fenómenos: interacción entre las fuerzas eléctricas y las de Van der Waals, y al enlace químico entre las partículas y la superficie de los granos de un material intermediario. Se ha sugerido, inclusi- ve, que la filtración no es más que un caso especial de la floculación, donde algu- nas partículas son fijas (aquellas adheridas inicialmente a los granos) y otras sus- pendidas.

2.2.1 Interacción combinada de las fuerzas electrostáticas y las de Van der Waals

De un modo general, las partículas sólidas sumergidas en agua presentan cargas en sus superficies, debido a una o más de las siguientes razones:

• Disociación de iones en la superficie de las partículas.
• Cargas no balanceadas de- bido a las imperfecciones de la estructura del cristal.
• Reacciones químicas con iones específicos de la sus- pensión, con formación de enlaces químicos.
• Sustitución isomórfica en la estructura del cristal.

En la interfaz sólido-líquido existe una capa de iones de carga opuesta a la del sólido, conocida como capa estacionaria o com- pacta , y otra de iones esparcidos, también de carga opuesta, deno- minada capa difusa. Esta capa electroquímica doble establece un potencial de repulsión entre las partículas de la suspensión con cargas eléctricas semejantes. La magnitud de este potencial de repulsión y la distancia a la cual se extiende su campo de acción son afectadas por la composición química de la suspensión.

Figura 9-6. Potencial zeta según Johnson Alexander

Superficie de fase sólida

Plano de cizallamiento

Partícula electro- negativa

Distancia

Superficie interior de doble capa

Límite de la capa compacta

Capa compacta

Potencial zeta

Fuerza de Van der Waals

Capa difusa Plano de cizallamiento

Fuerza repulsiva electrocinética

Atracción

Barrera de energía Repulsión Fuerza resultante

Distancia entre las dos superficies

Fuerza

Superficie exterior de doble capa

Potencialelectrostático

Filtración 91

En cualquiera de los casos, se con- sidera que los granos del medio filtrante tienen cargas superficiales negativas.

La figura 9-8 muestra el caso de una partícula de arcilla cargada negati- vamente y de forma no redondeada. La barrera de energía, (V (^) R - VA)máx, evita que ocurra adherencia entre las partícu- las y los granos del medio filtrante; por lo tanto, si se considerara que algunas arcillas, como la caolinita, pueden tener tanto regiones positivas como negativas cuando el pH de la suspensión es bajo, es de esperar que algunas partículas sean removidas de la suspensión.

En el caso de la figura 9-9, la ar- cilla en forma de placas es representada

como coágulo; esto es, un flóculo de ta- maño aproximadamente igual a 1 μm, don- de los productos de hidrólisis del aluminio son incorporados de modo que la carga superficial resultante es positiva. La ba- rrera de energía es sustituida por un po- tencial positivo, resultante de la suma de los efectos de las fuerzas de Van der Waals y las electrostáticas. La adheren- cia entre partículas y granos resulta del contacto entre ambos. La eficiencia de remoción es elevada al principio, pero, a medida que la superficie de los granos se torna positiva, la eficiencia disminuye. La situación es semejante a la que se tiene en las operaciones de coagulación y floculación, cuando se produce la rever- sión del potencial Z.

Figura 9-8. Interacción entre el grano de arena y la partícula de arcilla cargada negativamente

Figura 9-9. Interacción entre el grano de arena y la partícula con carga positiva en exceso

Resultante

Fuerzas electrostáticas

Repulsión

Fuerza de Van der Waals

Superficie del grano de arena Partícula negativa de arcilla

Atracción

Distancia

0

~1^ μ

m

<10 -3 μm

Resultante

Fuerzas electrostáticas

Repulsión

Fuerza de Van der Waals

Superficie del grano de arena

Atracción

Cóagulo positivo

0

~1^ μ

m

<10 -3 μm

Fuerzas electrostáticas

AlAl Al

Al +++

Al +++

Al +++

Al +++

Al +++ Al +++

Al

Al(OH) (^3) Al(OH) (^3) Al(OH) (^3) Al(OH) 3 Al(OH)^3

92 Manual I: Teoría

En el caso de la figura 9-10, las partículas están en el punto isoeléctrico; esto es, en el punto neutro. La barrera de energía desaparece y del contacto puede resultar una adherencia y filtración eficiente. En la práctica, esta condición puede no ser satisfactoria en el caso de filtros de arena, debido a que se produciría una excesiva deposición de partículas en las capas superiores y al rápido aumento de la pérdida de carga. A pesar de no haber sido estudiada con profundidad, la eficiencia de los filtros de arena es mayor cuando los flóculos son negativos.

2.2.2 Enlace químico entre las partículas y la superficie de los granos

Como se sabe, la desestabilización de los coloides es efectuada por los pro- ductos de la hidrólisis que a determina- dos pH se polimerizan.

Las cadenas poliméricas adheridas a las partículas dejan sus segmentos ex- tendidos en el agua, los que pueden ser adsorbidos por otras partículas o por si- tios vacantes en los granos del filtro. Este fenómeno es independiente de las fuer- zas de Van der Waals y de las cargas electrostáticas.

El uso de ayudantes de filtración o polielectrolitos inyectados en el afluente al filtro puede, por eso, ser de gran utili- dad para aumentar la adhesión de la ma- teria suspendida al medio filtrante.

Las partículas con sus segmentos poliméricos adheridos, al atravesar las constricciones del medio filtrante, se enlazan con los segmentos sueltos adsorbidos por los granos o por los de partículas ya adheridas al lecho filtrante y quedan en esta forma retenidas.

Las leyes que gobiernan la adsorción de polímeros deben tenerse en cuenta también en este caso.

Figura 9-10. Interacción entre el grano de arena y la partícula de arcilla con carga positiva

Fuerzas electrostáticas

Repulsión

Superficie del grano de arena

Atracción

Coágulo neutro

0

~1^ μ

m

Fuerzas electrostáticas y resultante

Al

Al

Al OH -

Al

H

Al

Al Al

Al(OH) (^3)

Al(OH) (^3)

Al(OH) (^3) Al(OH) (^3)

<10-3 μm

H

OH -^ OH^ -

Al(OH)

OH

94 Manual I: Teoría

La figura 9-11 representa un elemento del medio filtrante de área A y espe- sor ∆ L. La variación de la concentración de la suspensión está dada por:

Donde:

∆ C = Variación de la concentración de partículas (volumen de partículas suspendidas por volumen de suspensión). C1 = Concentración de partículas suspendidas en el afluente (L^3 /L^3 ). C2 = Concentración de partículas suspendidas en el efluente (L^3 /L^3 ).

Si se considera que Q es el caudal que escurre a través del elemento y se admite que el depósito específico aumenta una cantidad ∆σ , al transcurrir un intervalo del tiempo ∆ t, se tiene que el volumen de partículas removidas de la suspensión es:

(3)

y el volumen de partículas acumuladas es:

(4)

Igualando ambas expresiones, se obtiene:

Donde:

Q = caudal (L 3 T -1) t = intervalo de tiempo (T) a =^ variación del depósito específico absoluto (volumen de sólidos/volumen de medio filtrante, L 3 /L^3 ) A = área, en planta, del elemento de volumen del medio filtrante (L 2 ) L = espesor del elemento de volumen del medio filtrante (L)

Reordenando la ecuación (5) se obtiene, en su forma diferencial, la ecua- ción (6):

(6)

∆C =(C 2 - C 1 )

∆C .Q .∆t

∆σ (^) a.A .∆L

∆C .Q.∆t= ∆σa .A .∆L

= 0 t

.V +^ σ L

C (^) a ∂

∂ ∂

∂

∆

∆

Filtración 95

Donde:

V = velocidad de filtración o tasa de filtración (Q/A)

La ecuación (6) representa la relación entre la variación de la concentra- ción de partículas suspendidas con la profundidad, y la variación del depósito es- pecífico absoluto con el tiempo, para la velocidad de filtración considerada.

La ecuación (6) fue propuesta por Iwasaki, hace más de 50 años, a través de estudios realizados en filtros lentos.

Muchas veces se considera al depósito específico efectivo (σ), que refleja el volumen que efectivamente ocupan las partículas removidas, para tener en cuenta de ese modo la porosidad de los depósitos.

(7)

Donde:

= Depósito específico absoluto (volumen de depósito/volumen de medio filtrante). = Relación entre el volumen de los depósitos y el volumen de sólidos removidos.

De este modo, la porosidad local estará dada por:

(8)

Donde:

0 =^ porosidad inicial (volumen de vacíos/volumen total del medio filtrante) = porosidad del medio filtrante

De la combinación de las ecuaciones (6) y (7) se obtiene:

σ = β.σ a

ε = εo - σ

∂ t

.^ ∂^ σ β. V =^1 ∂ L

∂ C

σ

β

ε ε

Filtración 97

Iwasaki 1937

Ives 1962

Ives 1969

Deb 1970

Adín y (^1970) Rebhun

Ginn y Otros 1992

I = concentración por cm^2

, C, (^0)

, 0 ,

C 0

F = capacidad del filtro J = gradiente hidráulico K 1 , K 2 = coefi- ciente de adhe- rencia y despren- dimiento. σ , C d = diámetro del grano n 0 = eficiencia de remoción del co- lector α = factor de efi- ciencia de las co- lisiones

dL =+ λ^ I

dI

ddCL = - λC

p - σ

θ σ λ=λ Kσ - 0

2 i

x v

z 0

y i (^0) σ )

σ p ) (1^ +

σ p ) (1^ +

βσ λ=λ(1 +

)α n C dc

1 - p =1,5 ( dZ

dC 0

0

=K C (F - σ) - K σJ dt

d σ 1 2

_dt

• dC dL_

dC p σ C= V 0

σ p

β p^ σ

p

Cuadro 9-1. Modelos matemáticos de filtración

Autor Año Expresión Variables

Conviene mencionar que la ecuación (12) fue desarrollada para filtros len- tos, donde la acción física de cernido es dominante. Al inicio de la filtración, cuan-

98 Manual I: Teoría

do el medio filtrante está limpio, el empleo de la ecuación (12) se basa en la hipótesis de que cualquier subcapa del mismo presenta la misma eficiencia de remoción y que la suspensión es uniforme al entrar y salir de una subcapa cual- quiera. Asimismo, la integración de la ecuación (12), que muestra la variación de la concentración en función de una exponencial con el espesor del lecho filtrante (para t = 0 ), respalda el siguiente resultado:

(13)

C 0 = concentración inicial de partículas suspendidas (L 3 /L^3 )

0 =^ coeficiente inicial de filtración^ (L^

La ecuación (13), que muestra la variación de la concentración en función de una exponencial con el espesor del lecho filtrante (para t = 0 ), está represen- tada en la figura 9-12.

Durante la filtra- ción se produce una col- matación progresiva de los poros y, por consi- guiente, varía la eficien- cia de remoción de las di- versas subcapas, lo que invalida el empleo de la ecuación (13). En conse- cuencia, se deben tener en cuenta las variaciones que se producen en los poros, las que dependen de la profundidad del me- dio filtrante y del tiempo. La complejidad de estas variaciones se puede de- mostrar fácilmente me- diante un ejemplo numé- rico. Se considera una suspensión de 1.000 unidades arbitrarias de concentración inicial, que escurre a través de un medio filtrante dispuesto en cuatro subcapas, de modo que su eficiencia sea de 70%. Al inicio, cuando t = 0, se obtienen los resul- tados presentados en el cuadro 9-2.

Figura 9-12. Variación de la concentración en función del espesor del lecho filtrante para t = 0

- λ L 0 C=C .e^0

100 Manual I: Teoría

se llega a esta condición en todo el medio filtrante, el depósito específico alcanza un valor de saturación σu y la concentración C no se altera (C = C 0 ).

3.5 Coeficiente de filtración modificado

Si nos basamos en la teoría de retención y arrastre, λ permanece constante durante el proceso de filtración. No obstante, se ha verificado que λ varía con σ. Los modelos que relacionan λ con σ se basan en la hipótesis de que la variación de la eficiencia del filtro se debe a variaciones de la geometría de los poros, causadas por la retención de partículas. De este modo, la superficie específica de los poros es un factor importante que debe ser considerado, pues la velocidad intersticial aumenta debido al estrechamiento de los canales por los que escurre la suspensión.

El modelo matemático general que relaciona λ con σ puede obtenerse si se consideran los tres casos individuales que se mencionan a continuación, y se com- binan posteriormente para obtener un resultado global. En primer lugar, se consi- dera al medio filtrante como un conjunto de esferas individuales. En segundo lu- gar, se supone que el medio filtrante está representado por un conjunto de capila- res cilíndricos individuales. Finalmente, se considera que la velocidad intersticial es modificada por la cantidad promedio de depósito en cualquier elemento de volumen del medio filtrante.

3.6 Modelos matemáticos que relacionan λλλλλ con σσσσσ

El cuadro 9-3 muestra los principales modelos que relacionan λ con σ, constantes y valores de los exponentes x, y y z.

El modelo propuesto por Iwasaki fue obtenido a partir de estudios con fil- tros lentos, y el de Sakthivadival a partir de la filtración de partículas no coloidales en un medio granular. En ambos casos, los modelos resultantes prevén un creci- miento lineal de λ con σ. La aplicación de estos modelos está limitada a los filtros, en los cuales la acción física de cernido es dominante.

El modelo propuesto por Heertjes y Lerk se desarrolló a partir del concepto de célula unitaria (poro aislado), donde las partículas próximas a su superficie estarían bajo la acción de la resultante de las fuerzas de rozamiento y de Van der Waals. Shektman supuso arbitrariamente que, debido al aumento de σ y de la velocidad intersticial, λ decrecería linealmente con el aumento de σ. Se puede

Filtración 101

observar en el cuadro 3 que λ será igual a 0 cuando σ = ε 0 , lo cual es improbable porque la acción física de cernido estará actuando y, por lo tanto, λ será diferente de cero.

Tanto Maroudas y Eisenklan, como Wright y colaboradores, propusieron un modelo basado en la hipótesis de que la eficiencia global en una capa del lecho filtrante es proporcional a la relación entre las fuerzas de arrastre y la resultante de las fuerzas que mantienen a las partículas adheridas a la superficie de los granos. Aunque este modelo haya sido verificado experimentalmente, su aplica- ción parece ser limitada, pues no tiene en cuenta el aumento de λ al inicio de la filtración ni tampoco el periodo en que λ permanece prácticamente invariable con el aumento de σ.

El modelo propuesto por Mackerle muestra una fase de aumento y otra de disminución de λ con el aumento de σ. A pesar de las dificultades para determinar los exponentes y y z, este comportamiento normalmente es observado en la prác- tica, a excepción del inicio de la filtración, cuando se verifica un crecimiento lineal de λ con el aumento de σ.

El modelo propuesto por Stein, a pesar de tener en cuenta las deficiencias mostradas por algunos modelos anteriores, es de aplicación práctica restringida debido a la dificultad de determinar cuatro parámetros ( K 1 , K 2 , λ 0 , σu).

El modelo propuesto por Mintz y Kristhul fue desarrollado a partir de la teoría del transporte de sedimentos en medios porosos. Es interesante observar que a pesar de la diferencia matemática entre los modelos de Maroudas y Eisenklan por un lado y Mintz y Kristhul por otro, el significado físico es el mismo, pues en cualquier caso, el valor máximo de σ es σ u en cualquiera de las capas del medio filtrante.

El modelo propuesto por Yao y colaboradores se basa en un colector esfé- rico, en el cual las partículas son removidas por difusión, intercepción y sedimen- tación. Dependiendo del tamaño de las partículas de la suspensión, uno u otro de estos mecanismos será el dominante. Este modelo se verificó en la práctica utili- zando microesferas de látex; por ello no puede garantizarse que el modelo sea aplicable en condiciones reales, en que las suspensiones están constituidas gene- ralmente por partículas floculentas.