¡Descarga Capítulo II Ley de Gauss y más Apuntes en PDF de Física solo en Docsity!
CAPÍTULO II
FLUJO DE CAMPO ELÉCTRICO Y LEY DE GAUSS
Flujo de campo eléctrico y ley de Gauss
Es una propiedad de cualquier campo vectorial, referida o asociada a una superficie hipotética cerrada o abierta.
Para un campo eléctrico el flujo Φe, se mide por el numero neto de líneas de fuerza de campo eléctrico que
atraviesas una superficie.
Para una superficie cerrada el Φe es positivo si las líneas de fuerza apuntan hacia fuera en todas partes, y negativo
si apuntan hacia adentro.
El flujo a través de S 1 es (-), de S 2 es (+), a través de S 3 (0) es nulo, y a través de S 4 (0) también nulo, estos dos últimos
nulos porque el número de líneas que salen es igual al número de líneas que entran
Una superficie cerrada es aquella que divide el espacio en dos regiones, una interna y otra externa, de manera que
para pasar de una región a otra hay que atravesar la superficie.
El flujo total a través de una superficie es proporcional al número neto de líneas que abandonan la superficie,
siendo el número neto de líneas igual al número de líneas que salen menos las que entran a la superficie.
Consideremos una superficie dividida en cuadros elementales S
S 1
S 2
S 4
S 3
S 2
E
E
3
S
S 1
Cada elemento de área puede ser representado por un vector S
cuya dirección es perpendicular normal a la
superficie y sentido (+) hacia fuera. Considérese cada cuadro suficientemente pequeño atravesado por una línea de E y
que su módulo es aproximadamente constante.
Como el número de líneas por unidad de área, es proporcional al campo eléctrico, entonces el número de líneas
será proporcional al producto de E por el área, por lo que:
E E S
Para la superficie considerada se tiene que el flujo total será:
(^) Et Ei Si
Si consideramos que S 0
es decir, se puede hacer tan pequeño como se quiera, para poder considerar que el
campo a través de dicha superficie es constante, se tiene:
(^) (^) Et Lim (^) s Ei Si EdS
En el caso planteado en la figura anterior se tiene que:
Para 1: (^) E E S 1 E E s .cos 90 0
Para 2: (^) E E S 2 E E s .cos 0 E s
Para 3 (^) E E S 3 E E s .cos 180 E s
Por lo que el flujo a través de una superficie puede ser +, - o nulo.
Ejemplo: considérese un cilindro colocado en una región de campo eléctrico E paralelo al eje del cilindro
... .cos 180. .cos 90. .cos 0.
2 2
3
3 2
2 1
2 3 1 1
1
E R E R
Eds Eds Eds Eds E ds E ds E ds
ET
S S S S S
ET
Ley de Gauss
Está ley es una de las cuatro leyes fundamentales del electromagnetismo, se aplica sobre una superficie hipotética
cerrada (Superficie Gaussiana) y establece una relación entre el Φ E y la carga neta Q encerrada por la superficie
hipotética, es decir:
R
r r
Superficies Gaussianas
Superficie Gaussiana está lo suficientemente cerca de la superficie del conductor, entonces la carga en exceso se encuentra
en la superficie misma del conductor. En definitiva el E dentro de un conductor es nulo.
Distribución de carga esférica
Se tiene una carga Q distribuida esféricamente, en un volumen de carga de radio R y densidad volumétrica ρ, la
cual depende de la distancia al centro y no de la dirección (condición de simetría esférica).
Para r > R
2 0 0
2
r
Q
E
Q
E r
Q
E ds
Q
E dS
Encerrada
S
Para r < R
0
0
2
0
2 0
0
r r
Encerrada
dv r dr
E r
Q
Eds
3 0
3
3
3
R
Qr E R
r Q Q
R
Q
como
r Q (^) Encerrada Encerrada
Línea de carga infinita
Φ E es constante en la superficie del cilindro (Superficie Gaussiana)
y es nula en las tapas.
e r
E
h
dl
E rh
Q
Eds
h
0 0 0
0
0
Lamina no conductora de carga
e
E
e
A
EA
e
Q
E Eds
No depende del tipo de superficie gaussiana
. cos. .cos. e
E
e
A
EA EA
e
A
E ds E ds I D
h
PREGUNTAS:
1.- Según la ley de Gauss:
___ Si E = 0 entonces no hay cargas en la región limitada por la superficie gaussiana.
___ Si la carga neta encerrada en la superficie gaussiana es cero, entonces E = 0 para todos los puntos de
dicha superficie.
___ El campo eléctrico no depende de la distribución de la carga.
___ NA
2.- Las líneas de fuerza de un campo eléctrico E penetran en la superficie de un cilindro. El flujo neto en toda
la superficie es:
___ Positivo ___ Cero
___ Negativo ___ NA
3.- Los flujos de campo eléctrico uniforme “ E ” sobre las superficies planas paralelas 1 y 2, de área A, son
respectivamente:
___ EAcos ; -EAcos
___ - EAcos ; EAcos
___ EA; -EA
___ -EA; EA
4.- Los flujos de campo eléctrico uniforme “ E ” a través de las superficies “ S 1 , S 2 y S 3 ”, cada una de radio R, son
respectivamente:
___ Q/0, Q/0, Q/ 0
_____ Q/0, Q/0 , 0
___ 0, Q/0, Q/ 0
_____ Q/0, 0, Q/ 0
5.- Se tienen dos láminas de carga infinitas y paralelas entre si, con densidad superficial de carga
. El campo eléctrico
entre las láminas es igual a:
___ / 0
___ /2 0
___ 2/ 0
___ 0
6.- Un bloque metálico sólido con una cavidad esférica, tiene una carga Q 1 neta de 5 c. Si se coloca una carga puntual Q 2
de -2c en el centro de la cavidad. Entonces, sobre la superficie externa del metal habrá una carga de :
___ 0c
___ 7c
___ -3c
___ 3c
Q
R/
Q Q
R/
1
1
Q 2
Q 1
E E
1
14.- Para un material conductor macizo, se puede afirmar:
___ Que los electrones de conducción, se encuentran en la superficie
___ Los electrones en exceso, se distribuyen uniformemente en toda la superficie
___ Los electrones en exceso, se distribuyen uniformemente en toda el volumen
___ El campo eléctrico interno no es nulo
15.- El número de líneas de campo eléctrico que entran a una superficie gaussiana, es mayor que las que salen. Se cumple,
que hay más carga:
___ Positiva internamente ___ Negativa internamente
___ Positiva en la superficie gaussiana ___ Negativa en la superficie gaussiana
16.- Las líneas de campo eléctrico, penetran la superficie de un cilindro. El flujo neto a través de la superficie, es:
___ Cero ___ Positivo ___ Negativo ___ N.A
17.- Al aplicar la Ley de Gauss, se determina que el flujo de campo eléctrico a través de una superficie es nulo. Se puede
afirmar, que el campo eléctrico:
___ Es mayor que cero en esa región
___ Es cero en dicha región
___ Es menor que cero en esa región
___ Su valor va a depender del ángulo entre él E
y el ds
si, la carga encerrada es distinta de cero
18.- En un día con tormenta eléctrica nos encontraremos a salvo, si nos ubicamos:
___ Debajo de un árbol ___ Dentro de un vehículo ___ Debajo de un vehículo ___ En un espacio abierto
19.- Una esfera gaussiana, encierra una carga “+Q”. Luego se corta en trozos de igual espesor, paralelos al ecuador, y
paralelos al meridiano. De manera tal que cada trozo tengan la misma superficie. Se puede aseverar, que el flujo de campo
eléctrico, a través de cada región será:
___ El mismo en valor, y siempre positivo
___ Diferente de una región a otra, tanto en valor como en signo
___ Diferente de una región a otra, tanto en valor, pero el sigo es constante
___ El mismo en valor, y siempre negativo
20.- Un cuádruplo eléctrico está encerrado por una superficie gaussiana. Se cumple, que el flujo de campo eléctrico es:
___ Nulo, a través de la superficie ___ El doble del que tendría, si encerrara un dipolo
___ Mayor que cero ___ Menor que cero
21.- Se puede afirmar, que el flujo de campo eléctrico a través de cualquier superficie simétrica que encierra un volumen,
y una carga Q, es igual a:
___ (^) Q ___
0
Q
2 0
Q ___ NA
22.- El campo eléctrico dentro de una distribución esférica de carga, es nula:
___ Si la densidad de carga volumétrica, es uniforme ___ Siempre
___ Nunca ___ Si la carga, está distribuida en la superficie
23.- El campo eléctrico dentro de una distribución esférica de carga, es constante y no nula sí el material es :
___ No conductor y la distribución es uniforme
___ No conductor y la distribución es no uniforme
___ Conductor y la distribución es uniforme
___ Conductor y la distribución es no uniforme
24 .- Una superficie está construida de manera que, en todos los puntos de la superficie, el vector campo eléctrico apunta
hacia el exterior. Por lo tanto, se puede decir que:
___ El vector superficie en todos los puntos en la superficie es necesariamente paralelo al vector campo eléctrico
___ El superficie vector en todos los puntos en la superficie es necesariamente perpendicular al vector de campo
eléctrico
___ La superficie encierra una carga neta positiva
___ La superficie no encierra ninguna carga neta
25.- Sea un conductor en equilibrio. Analizar las siguientes afirmaciones:
___ El campo eléctrico en un punto muy próximo es paralelo a la superficie.
___ Las líneas de fuerza eléctricas son perpendiculares a las superficies equipotenciales
___ El campo eléctrico en el interior es distinto de cero.
___ NA
26.- Tenemos un conductor cargado y en equilibrio. La carga se:
___ Reparte uniformemente en su superficie.
___ Reparte uniformemente en todo su volumen.
___ Sitúa en su superficie pero su distribución depende de la forma del conductor.
___ Reparte de manera no uniforme en todo su volumen.
27.- De qué depende el campo eléctrico en la superficie de un conductor?
___ Sólo de la carga total.
___ Sólo de la superficie.
___ Sólo de la curvatura de la superficie.
___ De la carga y de la curvatura de la superficie.
Donde Q
´ y V
´ son la carga encerrada y el volumen entre “a” y “b”
Entonces
( ) 3
3 3
3 3
c a
Q
Q c a
3 3
3 3 3 3
3 3 c a
Qb a b a
c a
Q
Q T VT
3.- Una distribución de carga esférica de radio “ a ” , posee una densidad de carga (^) (^) r (^) A (^) r a para r << a, donde A
es constante y “r” un radio genérico medidos desde su centro. Esta distribución está rodeada de un cascaron esférico
conductor con carga neta nula, y de radio interno “ b ” y externo “c”. Determinar las densidades superficiales de carga σ en
el conductor:
2
4
12 c
Aa r c y 2
4
12 b
Aa r b
2
4
2
2
4
2
4 4 4 4
0
4 3
0
3 2
0
2
c
Aa
c
Q
b
Aa
b
Q
a Aa A
a a Q A
r ar Q A r ar dr Q A
Q Ar a r dr
Ar a
c
b
a a
a
^
^
4.- Una esfera de radio “ a ” se encuentra cargada. Su densidad de carga varía radialmente de acuerdo a la expresión
2
2
a
r
, donde 0 es un valor constante, y “r” un radio genérico medido desde el centro de la esfera.
a) Calcule la carga total de la esfera. b) Determine el campo eléctrico para todo punto del espacio.
c) ¿A que distancia del centro de la esfera deberá colocarse una carga q (de igual signo que la de la distribución) para que la fuerza de repulsión que ella sienta sea máxima?
dv rdr
2
a)
0
3
3 3
0 0
2
3 5
0 0
2 2
2
0 15
1 4 4 a
a a q a
r r rdr a
r q (^) T
a a
T
r dr a
r dq dv
dq
a
r
2 2
2
0
2
2
0
b
c
a
b)
E(r) para r a
0
Q ENC
E ds
de la parte anterior
2
3 5
ENC 0 5 a
r
r Q 4
2
2
0
0 2
2
0
3 2 0
(^35)
a
r r Er a
r r E r
E(r) para r a
0
Q ENC
E ds
donde QENC = 0
3 2 0
0
3
15
a
r
a Er
c)
r a r a a
r
a
r r
dr
d
a
r r
dr
d
dr
dEr
2 2 2
2
2
3
0
0 2
2
0
0
^
5.- Se tiene un cilindro de largo infinito y de radio R cargado uniformemente con densidad de carga volumétrica ρ. Una
varilla de longitud R se encuentra colocada perpendicularmente al cilindro, de tal forma que su extremo más cercano esta
a una distancia R del cilindro, la vara tiene densidad de carga uniforme λ. Encuentre la fuerza eléctrica que ejerce la
varilla sobre el cilindro.
El campo del cilindro de densidad ρ , en distintos
puntos del espacio vendrá dada por:
Q V
Q
Eds
ENC
ENC
0
Para puntos fueras del cilindro y en una longitud “L” cualquiera a una distancia r ( r R )
0
2
0
2
r
R
E r
R L
E r L
Fuerza sobre la vara
R
R
F E r dq
2
( ) con dq . dr
a r
r
Superficies Gaussianas
de radio “r”
R
R
R
r R (^) r
Sup erficies Gaussianas de radios “ r ”
”
8.- Una esfera maciza de radio a tiene una carga total Qo distribuida en todo su volumen, según la relación
siguiente: 3
Qo r
a a
, en la que r es la distancia al centro de la esfera y es una constante desconocida.
Calcule el campo eléctrico en cada una de las regiones del espacio y el valor de la constante
Solución.
Es de hacerse notar que la densidad de carga que tiene la esfera es tal que a valores constantes de la distancia al
centro de la misma presenta los mismos valores, una
de las consecuencias que esto trae es que si se
colocan dos elementos de carga a la misma distancia
del centro de la esfera, estos elementos campos
eléctricos cuyos módulos aportarán idénticas
contribuciones al campo total, por lo que si se
utilizan dos cualesquiera de estos elementos
diferenciales de carga puntos que pertenezcan a un
plano que contiene a alguno de los infinitos ejes
radiales y se encuentren a la misma distancia de
dicho eje y también en un plano perpendicular a este
eje, entonces los campos producidos se podrán sumar
y darán un campo resultante en la dirección radial, lo
que nos lleva a usar una superficie Gaussiana
esférica concéntrica con la esfera de radio a (hay
simetría eléctrica)
Para encontrar la carga encerrada por una esfera de
radio r con 0 r a , se tiene que conseguir un
diferencial de volumen que cambie con las mismas
variables que cambie la densidad de carga volumétrica dentro de la esfera ( r ), este diferencial de volumen se
podrá encontrar al diferenciar el volumen de una esfera de radio r ,
V r
y
2
dV ' 4 r dr
Este elemento diferencial de volumen corresponde con el volumen de una muy delgada concha esférica de radio
r y espesor dr
2 3
dq Q o r dq dV r dr dV a a
Por lo que, cada concha infinitamente delgada tendrá una porción de la carga de la esfera y al integrar todos los
radios de la esfera se tendrá la carga encerrada en la misma (siempre que allí exista parte de la esfera).
El campo eléctrico (en cualquier punto de la misma esfera concéntrica) tiene el mismo módulo.
3 ' 2 2 0 3 3 0
r r Qo r Qo r q r dr r dr a a a a
^
3 3 4 ' 2 3 0 3
r Qo r Qo r r q r dr a a a a
Con la carga total de la esfera:
3 3 4 2 3 0 3
a o o Total o o
Q (^) r Q a a q Q r dr Q a a a a
^
En la zona 0 r a
r
dq 2
dE 1
dE 2
r
Eje de
simetría
dq 1
El vector diferencial de superficie es radial ya que
debe ser perpendicular a la esfera y cualquier
perpendicular a una esfera es tal que tiene la
dirección de un radio de la misma dS dSr ˆ; por
otro lado, ya se sabe que el campo eléctrico
también es radial, por lo que:
ˆ E E rr (En estas relaciones r ˆes un vector radial
hacia afuera, saliente del centro de la esfera)
Entonces el flujo en la superficie de una esfera de
radio r es:
1 1
1
2
SG SG^ r
r r SG
E dS E r dSr
E dS E r
La carga encerrada por esta superficie es
' q ,
Así al aplicar la Ley de Gauss se tiene: 1
1
Neta dentro de SG
SG o
q E dS
3 4
3 2 2 4 2 4
o r o o r o o r o Q r r
a a E r
Q ra r E a
Q ra r E E r r r a a
En la zona restante, la situación es muy
parecida a la anterior, con la excepción de
que ahora la superficie Gaussiana encierra
toda la carga de la esfera ( Qo ):
2
2
Neta dentro de SG
SG o
q E dS
2 2 2
2 r^ ˆ^ ˆ^ r r^4 SG SG SG
E dS E r dSr E dS E r
2
2
2
o r o o r o o r o
Q
E r
Q
E
r
Q
E E r r r a r
Notas: observen que siempre deben dibujarse los vectores para poder hacer el producto escalar de la Ley de
Gauss; la Ley de Gauss a veces permite el cálculo del módulo del campo eléctrico la componente del campo en
una dirección conocida; la componente radial del campo eléctrico es continua ya que no existen cargas
distribuidas de manera superficial en r^ a.
r
E
Superficie
Gaussiana 1 ( SG 1 )
dS
r
E Superficie
Gaussiana 2 ( SG 2 )
dS
^
r
R
h
r
8.- En la figura se muestra una superficie contenida en el plano XY (zona negra) a través de la cual
se hace pasar un campo eléctrico uniforme EZ
, donde “z” está saliendo de la hoja. El módulo del
flujo eléctrico que atraviesa la superficie es aproximadamente: 4REZ(4- π)
9 .- Una esfera maciza posee una distribución de carga dada por: ρ = ρ (^) o(r/R)
3
. Determine:
a) El flujo eléctrico que atraviesa a una esfera de radio R/2, concéntrica con la distribución de carga.
(Resp. ) 3
0
3 0
R
b) El modulo del campo para este mismo valor de r.
(Resp. ) 3
0
0
R
10.- Una esfera de radio “a” está eléctricamente cargada, con densidad volumétrica de carga ρ (r) = ρ o (r/a). Si la carga
total de la esfera es Q 0 , determine:
a) ρ o en función de Q 0 y a. ( Resp. 3
0
. a
Q
)
b) El valor de r para el cual la carga es la mitad de la total.
11 .- En la Figura se muestran las líneas de un campo externo
uniforme. Inmerso dentro de dicho campo se encuentran: una esfera
de radio R, la cual es truncada con sección plana de radio r y un cono
de base circular de radio r, igual a la sección plana de la esfera
truncada. Determine:
a) El flujo que pasa por la sección plana de la esfera truncada
(Resp. - E.π.r
2 cosφ)
b) El flujo que pasa por la sección cónica (no plana) (Resp. E.π.r
2 cosφ)
c) La diferencia que hay entre los flujos obtenidos en (a) y (b) (Resp. 0 N m
2 /C )
12.- Determine el flujo de campo eléctrico a través de tres caras del cubo de lado “2,5 cm”, y que
encierra una carga de 28, 0 μμ C. (Resp. 1, 57 N.m2/C)
Ley de Gauss :
13.- Se tiene dos grandes láminas de material aislante
una frente a la otra, con igual valor de carga y polaridad
diferente, distribuida superficialmente de manera
uniforme. Establezca la magnitud del campo eléctrico
E
en puntos que se encuentran en la zona:
a) I (Resp. 0)
b) II(Resp. 0
)
c) III (Resp. 0)
I II^ III
A B
σ
σ
R
R
Q
a
b
λ
a
b
Q
2Q
14 .- Una esfera aislante sólida de radio “a”, tiene una carga “Q” distribuida
volumétricamente. Concéntrica con ella, se encuentra una esfera hueca conductora
descargada, cuyo radio interior y exterior son respectivamente “b” y “c”. Establecer:
a) La magnitud del campo eléctrico en las regiones: r < a, a < r < b, b < r < c
(Resp. para: r < a kQr/a
3 , a < r < b kQ/r
2 , b < r < c 0)
b) La carga inducida por unidad de área en las superficies exterior e interior de la
esfera hueca (Resp. Q/4πc
2 , - Q/4πb
2 )
15.- Se muestra una sección transversal de un tubo metálico largo, de pared muy delgada de
radio R y tiene una carga por unidad de longitud λ en toda su superficie. Encuentre E en todas
las regiones del espacio. Realice la gráfica E r
considerando: λ = 2x
(Resp. r < R E = 0 N/C y r > R r
E
)
16.- Un cascarón esférico de radio interior a = 10 cm y exterior b = 20 cm, posee una
distribución cúbica de carga igual a 1x
3
. Encontrar la intensidad del campo eléctrico
en todas las regiones del espacio.
(Resp. para: r < a E 0 N / C , a < r < b
2 0
3 3
3 r
r a E
, r > b
2 0
3 3
3 r
b a E
17.- Dos largos cilindros conductores, de radios a y b, tienen cargas por unidad
de longitud λ iguales pero de signos opuestos. Determine el campo en
todas las regiones:
a) para r < a y r > b (Resp. E = 0 N/C)
b) Para a < r < b (Resp. r r
E ˆ
)
18.- En el problema anterior considere un electrón que tiene una trayectoria circular de radio a R b , concéntrica con
los cilindros. ¿Cuál debe ser su energía cinética? a = 2cm; b = 3cm y 3 x 10 c / m
6
(Resp.
qe
K ).
19.- Un cilindro conductor largo que tiene una carga Q
está rodeado por un cascarón cilíndrico
conductor de carga total 2Q
- , como se muestra en la sección transversal de la figura.
Usando la Ley de Gauss. Encuentre la:
a) Intensidad de campo eléctrico en puntos fuera del cascarón conductor.(Resp. R
E
b) Distribución de carga en el cascarón conductor.
c) Intensidad de campo eléctrico en la región comprendida entre los dos cilindros. (Resp. R
E
a
b
c
I
II
III
R
a (^) b
24.- Una esfera dieléctrica maciza de radio “R” y carga “ -2Q 0 ”, está rodeada por un cascarón metálico, de radio interior
“R” y radio exterior “2R”. El cascarón metálico tiene una carga neta de “Q 0 ”. La densidad de carga volumétrica de la
esfera maciza está dada por la expresión:
Donde “ ” es una constante. Determine:
a) La constante “ ” en función de “R” y “Q 0 ”. (Resp. 4
R
Q
b) El campo eléctrico en todo el espacio (Resp. Para: r ˂R, 4 0
2 0
2
R
Q r Er
(^) ; R ˂r˂2R,
Er 0 N / C ; 2R ˂r, 2 0
0
4 r
Q
Er
c) Las densidades de carga en la superficie interna y la externa del conductor.
(Resp. 2
0 2
0 int 16
2 R
Q
R
Q
ext
25.- Una esfera de radio R, lleva carga eléctrica en todo su volumen distribuida como: ρ (r) = ρ o[(2/3) – (8r)/(9R)]
donde r es la distancia de cualquier punto al centro de la esfera, R es el radio de la misma y ρo una constante positiva.
Establezca:
a) La carga total de la esfera (Resp. 0 C)
b) El valor del campo eléctrico en puntos dentro y fuera de la esfera. (Resp. Para r ˂ R r R
r r Er 1 ˆ 9
0
0
, Para
r ˂ R Er 0 r ˆ
)
c) ¿Cuál es el máximo valor de dicho campo y donde ocurre? (Resp. 0
0
18
R
Er
, 2
R
r )
d) Represente gráficamente E
en función de r.
26 .- Una esfera de radio R lleva carga distribuida en todo su volumen según la relación: ρ (r) = ρ o(1/4 – r/3R) donde r es
la distancia de cualquier punto al centro de la esfera y ρ o es una constante positiva. Encuentre:
a) El valor del campo eléctrico en todo punto del espacio. (Resp. Para r ˂ R R r r
R
r Er. ˆ (^12 )
0
;para r ˂ R Er 0 r
(^) )
b) ¿A qué distancia del centro de la esfera, en función de R, el campo alcanza su máximo valor? (Resp. 2
R (^) r )
27.- Un cilindro hueco infinito de radios a y 2a lleva carga distribuida según la relación: ρ = ρ o( 2/3 - r/a), siendo r la
distancia al eje de la corteza. Exprese el valor del campo eléctrico en todo punto del espacio.
(Resp. Para r ˂ a C
N
Er 0
; para 2a > r ˂a a r r a
r Er. ˆ (^3 )
0
, r ˂ 2 a
r r
a Er ˆ 3
0
2 0
)
28.-Un cilindro infinito, de radio R, posee la siguiente distribución de carga R
ρ (r) =
R
r
3
3
2
3 o
.Determine:
a) El campo eléctrico para toda distancia r (Resp. Para r ˂ R R r r
R
r Er 15 4 ˆ 20
3 0
0
; para r ˂R
r r
R
Er ˆ 20
0
2 0
)
b) La carga total contenida en un cilindro de radio R y longitud L, parte del cilindro infinito.
(Resp. 10
2 L 0 R QT
29.- Una esfera de radio R lleva una carga Q uniformemente distribuida en todo su volumen. A una distancia 4R del
centro de la esfera está una carga puntual de valor Q. Expresar el valor del campo a distancias:
a) 0 < r < R ( Resp. 3
R
K (^) eQr )
b) R < r < 4R ( Resp. 2
r
K (^) eQ )
c) r > 4R. ( Resp. 2
r
K (^) eQ )
30.- Una distribución de carga esférica, posee las siguientes características. I) Hasta un radio R 1 , la carga es positiva y esta
unifórmente distribuida. II) Entre R 1 y R 2 , posee una densidad volumétrica de carga de la misma magnitud que la interior
pero negativa. Sí el campo eléctrico en r = R 2 es nulo. ¿Cuál es el valor de R 2 en función de R 1 ?, ¿Cuál es la relación entre
las magnitudes de las cargas interior y exterior?, ¿Cuál es el valor del campo eléctrico para R 1 < r <R 2?
( Resp. ^3
1 R 2 (^) R 1 2 ;
3
1
2
1
2 1
R
R
Q
Q
;
3 3 2 1 0
R r r
)
31.- Una esfera no conductora hueca de radio interno a y radio externo b 2 a ,
posee una densidad de carga volumétrica dada por
2
Q o r , justo en el centro
de la esfera se encuentra una carga Qo , Si el campo eléctrico es nulo en la superficie
externa de la esfera, determine:
a) Cuál es el valor de la constante (Resp.
5 124..
a
b) Cuál es el campo eléctrico en todas las regiones del espacio. (Resp.
r a
r
r
Q
ar b Er
rr b Er r r
K Q
Para ra Er
e
30^ ˆ
5
5
2 0
0
2
0
32.- Considere una esfera aislante uniforme de radio " a "y carga total Qo , la cual es concéntrica con un
cascarón uniforme, de densidad volumétrica de carga, o , desconocida y de radio interno " a "y externo "2 " a ,
calcule:
b a
Qo
