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Presentación
El presente libro ha sido fruto del esfuerzo de los docentes del curso.
La intención de este libro es que sirva como complemento al alumno en su
proceso de aprendizaje.
El desarrollo del curso se ha dividido en 16 unidades que comprenden los
temas más importantes que se piden conocer en todas las universidades.
Cada unidad consta de una primera parte (teórica) compuesta de conceptos,
definiciones y propiedades.
La segunda parte (práctica) está conformada por un bloque de problemas
aplicativos, presentados en forma didáctica y de menor a mayor grado de
dificultad con la finalidad de mejorar el entendimiento de cada tema.
También se presentan problemas con aplicaciones en otras ciencias.
Así mismo, otros cuya finalidad es la de reforzar y asimilar la teoría aprendida,
desarrollando la imaginación y creatividad del alumno.
No pretendemos que este libro sea un tratado completo de la Geometría
Moderna, pero sí esperamos sinceramente que señale el camino hacia una
enseñanza más inspirada de la Geometría.
Deseamos expresar nuestro agradecimiento a todos los alumnos que integran
nuestra institución y que nos inspiran cada día para presentarles un mejor
libro.
Índice
- Segmentos
- Ángulos Consecutivos
- Ángulos entre Paralelas
- Triángulos I: Propiedades Básicas
- Triángulos II: Líneas y Puntos Notables
- Congruencia de Triángulos...............................................................
- Polígonos y Cuadriláteros
- Circunferencia I: Propiedades de Tangencia
- Circunferencia II: Ángulos en la Circunferencia
- Proporcionalidad y Semejanza de Triángulos
- Relaciones Métricas en la Circunferencia y en los Triángulos Rectángulos
- Relaciones Métricas en los Triángulos Oblicuángulos
- Áreas I
- Áreas II
- Geometría del Espacio
- Geometría Analítica
- UNIDAD
- UNIDAD
- UNIDAD
- UNIDAD
- UNIDAD
- UNIDAD
- UNIDAD
- UNIDAD
- UNIDAD
- UNIDAD
- UNIDAD
- UNIDAD
- UNIDAD
- UNIDAD
- UNIDAD
- UNIDAD
Punto medio de un segmento
Punto del segmento que equidista de los
extremos.
Si "M" es punto medio del AB^ , entonces
AM = MB = a.
Operaciones con longitudes de segmentos
Para el gráfico:
Suma: AB + BC + CD = AD
Resta : AB = AD – BD
Multiplicación : AC = 5CD
División : AB = 2
BD
A
a a
M B
A B D
C
Problemas aPlicativos
- Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D; de tal manera que: AB=a ; BC=b. Calcu- lar CD.
Si: AB^ AD BC CD
a) b(a^ b) (a b)
−
b) b(a(b −^ − a)b) c)
a(a b) (b a)
−
d) (a^ b) (a b)
−
e) (a^ b) (a b)
−
- Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Calcular BC, si: AD=30; AC=18 y BD=20. a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14
- Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D. Calcular AD, si: AC=26; BC=12; BD=32. a) 32 b) 36 c) 40 d) 46 e) 50
- En una recta se ubican los puntos consecutivos P, Q, R, S y T; tal que: (PS)(QT)=63. Calcule: PS–QT Si: PR+QR+RS+RT=16 ; (PS>QT) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 5. Sobre una recta se ubican los puntos con- secutivos A, B, C y D. Si: AB=3BC=5CD y AD = 46. Calcular BD. a) 20 b) 24 c) 25 d) 16 e) 32 6. Sobre una recta se ubican los pun- tos consecutivos A, B, C, D y E si se cumple que:
AB =
BC CD DE
= = ; AE=
Calcular: AC a) 9 b) 10 c) 12 d) 15 e) 18
- Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D; Sabiendo que AC=18 y BD=34. Calcular la lon- gitud del segmento que une los pun- tos medios de AB y CD^. a) 20 b) 23 c) 25 d) 26 e) 30
- Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D; si AB=x-y; BC=x+y; CD=2y-x y AD=24. Calcular la suma del mínimo y máximo valor entero que puede tomar x. a) 14 b) 16 c) 18 d) 20 e) 24
- Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Calcular AC, si: CD=4AB; AD+4BC= a) 12 b) 15 c) 16 d) 18 e) 20
- Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Calcular: BC; AD=40; BD=28 y AC=15. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
- Se tienen los puntos colineales y con- secutivos A, B, C, D y E. Calcular CD, si: AE=30; AD=26; BE=14 y BC=3. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
- Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C y D; tal que:
BC=
CD
3 ; y 3AB+AD= Calcular AC. a) 5 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12
- Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D que forman una cuaterna armónica. Calcular AD, si: 2 1 1 AC AB 10
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14
- Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D. Calcular BD, si: BC=6, AB^2 CD 3
= y AB^ AD BC CD
a) 12 b) 16 c) 18 d) 22 e) 24
- Sean los puntos colineales y conse- cutivos A, B, C y D; tal que: BC=AB+ y CD=AB-1. Calcular AD, si AB toma su mínimo valor entero. a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 15
Problemas ProPuestos
- En una recta se ubican los puntos consecutivos A, M, B, C, N y D; sien- do M y N puntos medios de AB y CD respectivamente. Si BC=3m y MN=9m; halle AD. a) 12 m b) 15 m c) 9 m d) 8 m e) 18 m
- En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Si AB=4m; BC=2m y AB·CD=BC·AD. Halle: CD a) 4 m b) 2 m c) 6 m d) 3 m e) 8 m
- En una recta se tienen los pun- tos consecutivos A, B, C, D y E. Si:
AE=110 m y AB=
BC CD DE
Halle: CE. a) 68 m b) 50 m c) 70 m d) 60 m e) 80 m
- En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D; luego se ubican los puntos medios M y N de AB y CD respectivamente. Si: AC=8m y BD=16m. Halle: MN. a) 8 m b) 9 m c) 11 m d) 12 m e) 13 m
- En la figura, AC=2AB+40. Halle “x”.
a) 30 m b) 10 m c) 15 m d) 20 m e) 40 m
- En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B y D, entre los puntos B y D se toma el punto C. Si: CD=4AC y BD–4AB=20. Halle: BC a) 3 b) 5 c) 4 d) 2 e) 1
- En una recta se tiene los puntos con- secutivos A, B y C; luego se ubica M punto medio de BC. Si: BC=4m y AB·AC=3. Halle: AM a) 3 m b) 5 m c) 4 m d) 7 m e) 1 m
A (^) a B a+x C
Ángulos Consecutivos
UNIDAD 2
Ángulo
Definición
Reunión de dos rayos no colineales con
un mismo origen. Dicho origen se llama
vértice y los rayos se denominan lados.
mAOB = α
Elementos
* Vértice: O
* Lados: OA y OB
Clases de ángulos
I. Según su medida
1. Ángulos convexos
Agudo Recto Obtuso
2. Ángulos no convexos
II. Según su característica
1. Ángulos consecutivos
- Ángulos adyacentes - Ángulos complementarios - Ángulos suplementarios (par lineal) - Perígono
2. Ángulos complementarios
Dos ángulos son complementarios si
sus medidas suman 90º.
Donde:
Cα : Complemento de α Cα=90º – α
C : Complemento de C = 90º –
O
A
B
lado
vértice lado
α° α° α°
O
A
B
C
vértice común
lado común
α° β°
α° β° Adyacentes complementarios
α β
α (^) β α + β =^180 °
α β φ
α + β + φ = 360 °
Problemas aPlicativos
- La relación entre el complemento y suplemento de la medida de un mis- mo ángulo es un tercio. Calcular la medida del ángulo. a) 55 b) 37 c) 60 d) 30 e) 45
- El suplemento del complemento de un ángulo es el sextuplo de la medi- da de dicho ángulo. ¿Calcule la me- dida de dicho ángulo? a) 10 b) 15 c) 16 d) 12 e) 18
- En la figura, calcule “x”. Si: S : Suplemento C : Complemento a) 24 b) 18 c) 36 d) 15 e) 12 4. En la figura, calcule “x”. a) 15 b) 10 c) 18 d) 12 e) 24 5. En la figura, calcule el ángulo forma- do por las bisectrices de los ángulos AON y MOC. a) 30° b) 45° c) 25° d) 22,5° e) 15° 6. Calcule “x”. Si: S : Suplemento C : Complemento SC3x = 5(x+8) a) 25 b) 30 c) 60 d) 50 e) 35
3. Ángulos suplementarios
Dos ángulos son suplementarios si sus
medidas suman 180º.
Donde:
Sα : Suplemento de α Sα=180º– α
S : Suplemento de S = 180º –
4. Ángulos opuestos por el vértice
Bisectriz
Es el rayo que parte del vértice y biseca
al ángulo.
OX
: Bisectriz del AOB
Teorema
mXOY = 90
α° (^) β° α° (^) β° Adyacentes suplementarios o par lineal
α° α°
β°
β°
A
B
X
O α°
X
Y
O
S 3x (^) C2x
A C
B
O
M N
α
α θ θ
S7x
C3x
mas 12°. Si aún le quedan 24°, ¿cuál es su medida? a) 200 b) 120 c) 180 d) 240 e) 150
- El complemento de la diferencia que existe entre el suplemento y com- plemento de x°; es igual al duplo del complemento de x°, calcule el com- plemento de x°. a) 90° b) 0° c) 45° d) 70° e) 20°
- En la figura, calcule “x”. a) 30° b) 24° c) 18° d) 42° e) 45°
- Calcule “x”. Si: a°-b°=12° a) 6° b) 12° c) 24° d) 18° e) 9°
- El doble del complemento de un án- gulo, más el triple del suplemento del mismo, es 500°. Calcule la medida del ángulo. a) 48° b) 22° c) 54° d) 24° e) 44°
- El doble de la medida de un ángulo es igual al triple de la medida de su comple- mento. Calcule la medida del ángulo. a) 54° b) 36° c) 32° d) 27° e) 58°
- Se tiene los ángulos consecutivos AOB,
BOC y COD; tal que OP ; OQ; OR y OS son las bisectrices de los ángulos AOB, COD, AOC y BOD respectica- mente. Si: mPOQ+mROS=144°, calcule la mAOD. a) 144° b) 72° c) 288° d) 128° e) 124°
- Calcule “x”, si: OC es bisectriz de la mBOD. a) 18° b) 36° c) 14° d) 42° e) 21° 11. En la figura, calcule “x”. a) 27° b) 72° c) 28° d) 36° e) 54° 12. Calcule el menor valor entero que puede tomar “x”. a) 37° b) 53° c) 59° d) 62° e) 36° 13. La suma de las medidas de dos án- gulos es 80° y el complemento de la medida del primero es igual al doble de la medida del segundo. Calcule la diferencia de dichos ángulos. a) 50° b) 60° c) 65° d) 70° e) 72° 14. El complemento de un ángulo es menor que 50°, calcule el mínimo valor entero que puede tomar dicho ángulo. a) 48° b) 40° c) 41° d) 61° e) 59° 15. Calcule el mínimo valor entero que pue- de tomar “x”, si: mBOC es agudo. a) 27° b) 36° c) 15° d) 18° e) 16°
x
2x b°
a°
x 6x
x x
x A (^) O
B C
P Q
D
2 α 3 α
x α
α
x+y
y 2x–y
A
B
O
C
D
2x 4x
CLAVES 1.e 2.e 3.c 4.e 5.b 6.a 7.e 8.d 9.b 10.e 11.e 12.e 13.e 14.a 15.a
1.c 2.e 3.a 4.b 5.c 6.b 7.b 8.e 9.a 10.a 11.e 12.a 13.b 14.c 15.e
Ángulos entre Paralelas
Ángulos entre dos rectas
paralelas
Ángulos correspondientes
Uno interno y el otro externo, a un mismo
lado.
Ángulos alternos internos
Ambos internos, uno en cada lado.
α = θ
Ángulos conjugados internos
Ambos internos y en un mismo lado.
α +θ=180º
Propiedades
x = α + θ
x = 90º
α + θ = a + b + c
α + β + θ + φ = 180º
α + β + γ + θ + φ = 180·Nº Segmentos
6. Ángulos de lados paralelos
θ°
α°
θ°
α°
θ°
α°
α x θ
α α
x
θ^ θ
a
b
c
α
θ
β α
θ
φ
β α
θ γ
φ
α° (^) θ°
α°
θ°
UNIDAD 3
a) 30° b) 20° c) 10° d) 15° e) 12°
a) 30° b) 45° c) 15° d) 20° e) 40°
- Calcule el menor valor entero de “x”. Si: q es obtuso a) 60° b) 59° c) 29° d) 23° e) 24°
Problemas ProPuestos
- En cada uno de los gráficos, calcule
“x”. Si: L //L 1 2
a) 54° b) 84° c) 56° d) 72° e) 90°
a) 12° b) 8° c) 10° d) 9° e) 6°
a) 18° b) 36° c) 52° d) 45° e) 22,5°
a) 45° b) 55° c) 65° d) 75° e) 35°
a) 12° b) 18° c) 20° d) 15° e) 30°
a) 130° b) 140° c) 120° d) 100° e) 110°
- Si: m + n = 200° a) 6° b) 32° c) 28° d) 17° e) 34°
a) 16° b) 14° c) 28° d) 29° e) 32°
x
x
x
x
x
2 α
2 θ θ
L 1
L 2
α
x x
x x
θ
L 1
L 2
L 1
L 2
x
2 θ θ
α α
11x
4x
7x
8x
2x
L 1
L 2
x
L 1
L 2
5 θ (^5) θ
2 θ 5 α (^5) α
2 α
2 α+5° 50° x
α+30°
L 1
L 2
2x
x
L 1
L 2
x
3 α
L 1
L 2
α
m° n°
6x
4x
L 1
L 2
x
θ
α
α
θ
L 1
L 2
a) 80° b) 60° c) 120° d) 100° e) 70°
a) 15° b) 35° c) 75° d) 25° e) 50°
a) 135° b) 145° c) 125° d) 115° e) 105°
a) 10° b) 20° c) 30° d) 70° e) 40°
a) 24° b) 32° c) 64° d) 78° e) 38°
a) 12° b) 18° c) 15° d) 9° e) 10°
a) 119° b) 129° c) 100° d) 104° e) 106°
x
α (^) α
L 1
L 2
x
2x
L 1
L 2
x
L 1
L 2
x
2x
5x
7x
3x
L 1
L 2
x
L 1
L 2
x
6x
L 1
L 2
x
x
L 1
L 2
CLAVES 1.e 2.b 3.e 4.e 5.d 6.e 7.c 8.a 9.c 10.d 11.b 12.e 13.a 14.e 15.d
1.b 2.d 3.e 4.d 5.e 6.a 7.e 8.d 9.c 10.e 11.a 12.e 13.e 14.b 15.a
Propiedades básicas
1. Existencia del triángulo
b – c < a < b + c
2. Suma de medidas de ángulos internos
a+b+c = 180º
3. Suma de medidas de ángulos externos
x + y + z = 360º
4. Medidas de un ángulo externo
x = b + c
y = a + c
z = a + b
5. A mayor ángulo se opone mayor lado
y viceversa.
Si: α > β > φ ⇔ a > b > c
Propiedades particulares
a + b = x + y
a + b = x + y
x = a + b + c
a + b = x + y
- Si: AB = BC → El triángulo ABC es equilátero.
x = 180º – (α + β)
x = 90º – α
- Si:
a b
c
a°
b°
c°
y°
z° x°
a°
b°
y°
c° z° x°
a
c b
α
β (^) φ
a° x°
b° y°
a°
b°
x° y°
a°
b°
x° c°
a° (^) b°
x° y°
60° 60° 60°
60°
B B
A A
C C
α° (^) β°
x°
x° (^) x°
2 α°
2 α° (^) α° 2 α° 2 α° α°
α°
Problemas aPlicativos
- En la figura, calcule “x”. a) 12° b) 22,5° c) 30° d) 15° e) 18°
- En la figura, calcule “x”. a) 36° b) 18° c) 24° d) 12° e) 15°
- En la figura, calcule “x”. Si: mABC–mADC=48° a) 8° b) 10° c) 12° d) 14° e) 16°
- Calcule “x”. mABC=110° a) 10° b) 40° c) 50° d) 25° e) 15°
- Calcule “x”. a) 20° b) 10° c) 30° d) 40° e) 15° 6. Según la figura, calcule el valor ente- ro de “x”. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 7. Calcule el valor entero de “x”. a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6 8. En la figura: b - q = 20 Calcule “x”. a) 45° b) 30° c) 60° d) 25° e) 10° 9. Calcule “x”, en la figura. a) 30° b) 40° c) 60° d) 70° e) 80° 10. En la figura, calcule “x”. a) 9 b) 18 c) 15 d) 12 e) 22,
4x x
3x
x
D
A C
B
x x
θ θ
α (^) α α
θ
A
B C
x
40° (^) α
2 x
2 α α
x
α
β
θ
α
x
α^2 α
x
x
- En la figura, calcule “x”.
a) 12° b) 30° c) 20° d) 15° e) 18°
- Calcule AD, si: BD=5 y BC=
a) 12 b) 11 c) 13 d) 14 e) 10
- En el gráfico AB=BC y el triángulo PQC es equilátero, que afirmación es correcta.
a) a=b b) 2a=b c) 2a=3b d) a=2b e) a=b+
- En la figura, AB=BC y EF=DF. Calcu- le x/y.
a) 1 b) 1/2 c) 1/ d) 3/4 e) 2/
- En la figura, el triángulo MBN es equilátero y AQ=AM y QL=NL. Cal- cule “x”.
a) 32° b) 62° c) 30° d) 60° e) 50°
- En la figura, AB=BC=BD y ED=DC Calcule “x”. a) 18° b) 20° c) 30° d) 22° e) 28°
- En la figura, AB=AM+NC, calcule “x” a) 25° b) 60° c) 30° d) 45° e) 35°
- En la figura, calcule “x”. Si: a-b=6°
a) 73° b) 72° c) 60° d) 62° e) 59°
x 30°
B
A D C
3 α
α 2 α
B
a
b
Q
P
A C
y
x
B
D
C
E
A
F
x A L
B
M
N
Q
B
E
C
A D
x°
B
A N C
M (^) x
2 θ
θ
a
b
x
θ θ
α
α
CLAVES 1.b 2.a 3.a 4.b 5.a 6.c 7.e 8.e 9.c 10.e 11.a 12.a 13.e 14.a 15.e
1.c 2.a 3.c 4.b 5.b 6.a 7.d 8.b 9.d 10.b 11.d 12.a 13.b 14.d 15.b
- En su triángulo ABC, se sabe que AC+BC=11, exterior y relativo a AB se toma el punto “P”, tal que: PA=4 y PB=5. Calcule la diferencia entre el mayor y menor valor entero que toma PC. a) 9 b) 6 c) 7 d) 8 e) 3
- En la figura, calcule “x”.
a) 110° b) 140° c) 150° d) 120° e) 130°
- En la figura, calcule “x”. Si: AB=AP
a) 10° b) 18° c) 12° d) 16° e) 14°
a a
x
b
5b
3x
x
n n^
m m
A
B
P
2 θ
α (^) θ θ α
