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HISTORIA DE LA GEOMETRÍA
GEOMETRÍA :
“ Del griego geo, 'tierra'; metrein, 'medir' ”
Es una rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y longitud de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos. Otros campos de la geometría son la geometría analítica, geometría descriptiva, topología, geometría de espacios con cuatro o más dimensiones, geometría fractal, y geometría no euclídea.
Geometría demostrativa primitiva El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de geometría empírica, que floreció en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos. En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de axiomas, o postulados. Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios. Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y aceptados por los matemáticos griegos es la siguiente afirmación: "una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos". Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de puntos, líneas, ángulos y planos se puede deducir lógicamente a partir de estos axiomas. Entre estos teoremas se encuentran: "la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos", y "el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados" (conocido como teorema de Pitágoras). La geometría demostrativa de los griegos, que se ocupaba de polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales, fue mostrada rigurosamente por el
matemático griego Euclides, en su libro "Los elementos". El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de texto básico de geometría hasta casi nuestros días. PRIMEROS PROBLEMAS GEOMÉTRICOS
Los griegos introdujeron los problemas de construcción, en los que cierta línea o figura debe ser construida utilizando sólo una regla de borde recto y un compás. Ejemplos sencillos son la construcción de una línea recta dos veces más larga que una recta dada, o de una recta que divide un ángulo dado en dos ángulos iguales. Tres famosos problemas de construcción que datan de la época griega se resistieron al esfuerzo de muchas generaciones de matemáticos que intentaron resolverlos: la duplicación del cubo (construir un cubo de volumen doble al de un determinado cubo), la cuadratura del círculo (construir un cuadrado con área igual a un círculo determinado) y la trisección del ángulo (dividir un ángulo dado en tres partes iguales). Ninguna de estas construcciones es posible con la regla y el compás, y la imposibilidad de la cuadratura del círculo no fue finalmente demostrada hasta 1882. Los griegos, y en particular APOLONIO DE PERGA, estudiaron la familia de curvas conocidas como cónicas y descubrieron muchas de sus propiedades fundamentales.
Las cónicas son importantes en muchos campos de las ciencias físicas; por ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor del Sol son fundamentalmente cónicas. Arquímedes, uno de los grandes científicos griegos, hizo un considerable número de aportaciones a la geometría. Inventó formas de medir el área de ciertas figuras curvas así como la superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas, como paraboloides y cilindros. También elaboró un método para calcular una aproximación del valor de pi, la proporción entre el diámetro y la circunferencia de un círculo y estableció que este número estaba entre 3 10/70 y 3 10/71.
GEOMETRÍA ANALÍTICA :
La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René
PITAGORAS APOLONIO DE PERGA
Descartes, cuyo tratado "El Discurso del Método", publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometría moderna. Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigación de las propiedades de las figuras geométricas que no varían cuando las figuras son proyectadas de un plano a otro. MODERNOS AVANCES La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, y János Bolyai,
trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría no euclídea. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado "postulado paralelo" de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio, aunque, eso sí, coherentes. Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthur Cayley desarrolló la geometría para espacios con más de tres dimensiones. Imaginemos que una línea es un espacio unidimensional. Si cada uno de los puntos de la línea se sustituye por una línea perpendicular a ella, se crea un plano, o espacio bidimensional. De la misma manera, si cada punto del plano se sustituye por una línea perpendicular a él, se genera un espacio tridimensional. Yendo más lejos, si cada punto del espacio tridimensional se sustituye por una línea perpendicular, tendremos un espacio tetradimensional. Aunque éste es físicamente imposible, e inimaginable, es conceptualmente sólido. El uso de conceptos con más de tres dimensiones tiene un importante número de aplicaciones en las ciencias físicas, en particular en el desarrollo de teorías de la relatividad. También se han utilizado métodos analíticos para estudiar las figuras geométricas regulares en cuatro o más dimensiones y compararlas con figuras similares en tres o menos dimensiones. Esta geometría se conoce como geometría estructural. Un ejemplo sencillo de este enfoque de la geometría es la definición de la figura geométrica más sencilla que se puede dibujar en espacios con cero, una, dos, tres, cuatro o más dimensiones.
En los cuatro primeros casos, las figuras son los bien conocidos punto, línea, triángulo y tetraedro respectivamente. En el espacio de cuatro dimensiones, se puede demostrar que la figura más sencilla está compuesta
por cinco puntos como vértices, diez segmentos como aristas, diez triángulos como caras y cinco tetraedros. El tetraedro, analizado de la misma manera, está compuesto por cuatro vértices, seis segmentos y cuatro triángulos.
Otro concepto dimensional, el de dimensiones fraccionarias, apareció en el siglo XIX. En la década de 1970 el concepto se desarrolló como la geometría fractal.
La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometría en las matemáticas. En el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 7y° y yendo hasta 180° con incrementos de 7y°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el valor de r utilizado por Hiparco, pero sí se sabe que 300 años más tarde el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los babilonios.
Tolomeo incorporó en su gran libro de astronomía el Almagesto, una tabla de cuerdas con incrementos angulares de y°, desde 0° hasta 180°, con un error menor que 1/3. de unidad. También explicó su método para compilar esta tabla de cuerdas, y a lo largo del libro dio bastantes ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. Tolomeo fue el autor del que hoy se conoce
ARTHUR CAYLEY
CARL FRIEDRICH GAUSS
JÁNOS BOLYAI ,
NINGÚN PUNTO COMÚN:
RECTAS PARALELAS
POSICIONES RELATIVAS
EN EL PLANO
UN PUNTO COMÚN:
RECTAS SECANTES
(ORIGINAN ÁNGULOS)
MÁS DE UN PUNTO EN
COMÚN: RECTAS
COINCIDENTES
REPRESENTACIÓN DE
ÁNGULOS
: lados
“O”: vértice Ángulo AOB: < AOB m< AOB = aº
BISECTRIZ DE UN
ÁNGULO
A
x
O B
q q
CLASIFICACIÓN DE LOS
ÁNGULOS
I) De acuerdo a su
medida:
- Agudo.
- Recto.
- Obtuso.
- Llano.
- Convexo.
- No Convexo (Cóncavo).
- De una vuelta.
II) De acuerdo a la
posición de sus lados:
Ángulos consecutivos. Caso Particular: Ángulos adyacentes ( Consecutivos y suplementarios): PAR LINEAL Ángulos opuestos por el vértice
III) De acuerdo a la suma
de sus medidas:
- Complementarios.
- Suplementarios.
L 1
L 2
a (^) b c d
e (^) f g h
PUNTO
RECTA PLANO
PARTES
RAYO
SEMIRRECTA
SEGMENTO DE RECTA
ÁNGULOS FORMADOS POR DOS
RECTAS PARALELAS Y UNA
SECANTE
Ángulos alternos internos c = f d = e Ángulos alternos externos a = h b = g Ángulos correspondientes a = e c = g b = f d = h Ángulos conjugados internos c + e = 180° d + f = 180° Ángulos conjugados externos a + g = 180° b + h = 180°
CAPITULO - I
SEGMENTOS – ÁNGULOS
GEOMETRÍA
Es una parte de la matemática que tiene por objeto el estudio de las propiedades y relaciones de las figuras geométricas.
DIVISION: A. Geometría Plana o Planimetría Que se ocupa de todas aquellas figuras cuyos puntos consecutivos se hallan en un mismo plano. Ejemplo: el ángulo, los triángulos, al circunferencia, etc.
B. Geometría del Espacio o Estereometría Que se ocupa del estudio de todas aquellas figuras cuyos puntos consecutivos, no se hallan en un mismo plano. Ejemplo: el prisma, el cono, la esfera, etc.
Figuras Planas:
Figuras Sólidas:
PROPOSICIONES GEOMÉTRICAS:
1. Definición Es aquella proposición relativa a una descripción o convención. Ejemplo: Triángulo isósceles es el triángulo que tiene dos lados iguales. 2. Axioma o Postulado Es una proposición que se acepta como verdadero sin ninguna demostración. Ejemplo: La recta contiene infinitos puntos. 3. Teorema Es aquella proposición que por no ser evidente necesita demostración. Consta de 3 partes:
a) Hipótesis: Es la proposición inicial que se acepa como verdadera y que sirve de punto de partida al razonamiento. b) Tesis: Es la proposición que se quiere demostrar. c) Demostración: Es el conjunto de deducciones obtenidas mediante un razonamiento lógico.
CONJUNTO CONVEXO Un conjunto de punto P se denomina convexo, si para dos puntos cualesquiera A y B del conjunto P, el segmento de extremos A y B (AB) se encuentra contenido en el conjunto P
CONJUNTO NO CONVEXO Un conjunto de puntos P, es denominado no convexo cuando existe por lo tanto dos puntos A y B del conjunto P, tal que el segmento de extremos A y B (AB) no se encuentra contenido en el conjunto P
LINEA RECTA Concepto matemático no definible. Se considera como un conjunto de puntos ubicados en una misma dirección; ilimitada en ambos sentidos.
: se lee, recta AB : se lee, recta L
SEGMENTO Porción de línea recta limitada por dos puntos llamados extremos del segmento.
: se lee, segmento AB
¸ Medida del Segmento Número de veces de una unidad de longitud.
m ó AB: se leen, medida del segmento AB
OBJETIVOS:
Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de:
ÿ Comprender los conceptos de los segmentos y ángulos. ÿ Reconocer las operaciones que se pueden realizar con los segmentos y ángulos ÿ Comprender los conocimientos demostrando habilidad para el manejo de información en la solución de los problemas planteados en clase.
EJERCICIOS RESUELTOS
PROBLEMA Nº 01
- En una recta se tienen los puntos consecutivos A,B,C
y D de modo que BC=1, CD=2AB y 1
AC
CD
Hallar AB.
a) 2
(^1) b) 3
(^1) c) 3
(^2) d) 1 e) 2
SOLUCIÓN
AB=X=?
Con el gráfico y el dato:
1 2X
X 1
CD
AC
+ = Æ
Luego:
1 2x(x 1)
2x (x 1)
De donde:
Ô˛
Ô
ÔÓ
Ô
Ì
Ï
\ - - =
x 1 0 x 1
2
2x 1 0 x^1 (2x 1)(x 1) 0
2x^2 x 1 0
3x 1 2x^2 2x
Luego:
x = 1 Æ AB = 1
PROBLEMA Nº 0 2
Los puntos A, B, C, D, E son colineales y consecutivos AC=3BD, AB=DE y AE-5BC=28. Hallar CD. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
SOLUCIÓN
Incógnita CD=x Sea BD=a Según dato: AC=3BD \ AC=3a Luego: BC=a-x y AB=3a-(a-x) Æ AB=2a+x=DE Por otro lado: AE - 5BC=28…………(dato).
Con el gráfico: 5a+2x-5(a-x)=
Efectuando: 7x= \ x=
CD = 4
PROBLEMA N° 03
Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D tal que:
Hallar: a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 SOLUCIÓN
Agrupando:
Igualando con el dato:
PROBLEMA N° 04
En una recta se ubican los puntos consecutivos P, Q, R y S, tal que PQ = 2(RS) , QR = 2 y PQ QR
2 QR( ) 3 RS( ) RS
. Calcule QS
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 SOLUCIÓN
Datos: PQ = 2(RS) = 2a QR = 2 PQ 2 QR ( ) 3 RS( )
QR RS
= b
Piden: QS = (2 + a) =?
Reemplazando en (b)
2a 2(2) 3(a)
a a
a² = 4 + 3a
Resolviendo: a = 4 QS = 6
PROBLEMA N° 05 Sobre una recta se toman los puntos consecutivos O ,A, B y C. Calcule OA, Si: 1 1 1 OC OB OA
+ = , (AB). (AC) = 289
a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19
AB. CD= 2 AD.BC y 2 /AB+ 1 /AD= 1
CD =AD- AC
BC =AC- AB
fiAB( AD-AC)= 2 AD(AC-AB )
3 AB.AD=AC( 2 AD+AB )
AD
AB
AC
fi = +
AC
\AC = 3
A B^ C^ D
X 1 2X
A B C D
3a (^) x
2a+x a-x a
E 2a+x
2a 2
P Q R S
a
SOLUCIÓN
O A B b-x
x a-x
a
b
b-a C
OA
1 OB
1 OC
(^1) + =
1 1 1 a b 1 (a b).x ab b a x ab x
+ = Æ = Æ + =
(AB).(AC) = 289
(a-x).(b-x) = 289 ab - ( 1 a 4 + 2 b 43 )x+x^2 = 289
ab – ab +x^2 = 289 x^2 = 289
\ x = 17 EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Sean los puntos colineales y consecutivos R, A, U y L
tales que: 6
UL
AU
RA
= = y
2 RA + 3 AU+ 6 UL= 295. Hallar RA. a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20
2. Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D que cumplen la siguiente relación:
AB
AD
8 .Calcular: CD-BC
BC CD
si CD
AD
BC
AB
a) 1/4 b) 1/6 c) 1/8 d) 4 e) 6
3. Sean A0, A1, A2, A3, A4, …., An, … puntos
consecutivos de una recta; Si A0A1 = 3
2 , A1A2= 8
2 ,
A2A3=
15
2 , A3A4= 24
2 ,… así sucesivamente. Hallar la
suma de todas las longitudes de los segmentos a) 1/2 b) 1/3 c) 3/2 d) 2 e) 1
4. Sean A, B, C y D puntos consecutivos de una recta, donde
y AB CD BC AD AD AB
1 1 2 .
Hallar AC a) 1 b) 5 c) 4 d) 3 e) 7
5. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C, D. Si se cumple que:
BC^2 = AB. CD ; 8
AC BD
Hallar: AB. CD
a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 64
6. Los puntos A, B, C, D, E, F, son colineales y
consecutivos tal que: (^) + = 1 BF
DF
AE
AC (^) Hallar:
DF
BD
CE
AC
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
7. A, B, C, D, E, F, G, H, son puntos colineales y consecutivos. Si: 3(BG) = 2(AH) = 5(CF) y AD + BE + CF + DG + EH = 310; Hallar: AH a) 3 b) 200 c) 8 d) 183 e) 150 8. Sobre una recta se marcan los puntos consecutivos: A, B, C y D siendo: A, B, C y D, siendo: AB x BD + AC x CD = AD x BC Si: AB x CD = 72. Hallar BC
a) 6 2 b) 6 c) 12 d) 16 e) N.A.
ÁNGULOS
DEFINICION : Es aquella figura geométrica determinada por dos rayos que presentan un origen común denominado vértice
O^ a
A
B
ELEMENTOS :
- Vértice: “ O ”
- Angulo: – AOB
- Medida del ángulo: a a Œ R+
CLASIFICACION DE LOS ANGULOS :
I.DE ACUERDO A SU MEDIDA :
a) NULO:
O
a a = 0
b) AGUDO:
O^ a
A
B
0 < a < 90
c) RECTO:
O
A
B a
a = 90
jº (^) qº
bº
aº
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO:
Es el rayo que partiendo del vértice divide al ángulo en dos ángulos congruentes.
ANGULOS FORMADOS POR 2 RECTAS PARALELAS
CORTADAS POR UNA SECANTE: A// B
t t
b
d c
a
A
B
e f
h g
1. Ángulos Alternos : * Internos: cº = eº; dº = f º * Externos: aº = gº ; bº = hº 2. Ángulos Conjugados : * Internos: cº + f º = 180º dº + eº = 180º * Externos: bº + gº = 180º aº + hº = 180º 3. Ángulos Correspondientes: aº = eº; bº = f º ; dº = hº ; cº = gº
ANGULOS PARALELOS : a)
O
A
P
R a B
q Q
a = q
b)
O
A
a (^) B P
R q
a = q
Q
c)
O
A
a B
P
R
q
a + q = 180
Q
ANGULOS DE LADOS PERPENDICULARES
a)
a
q
a = q
b)
q (^) B
Q
A P
O R
a
a + q = 180
ÁNGULOS FORMADOS ENTRE RECTAS PARALELAS
∑ Todos los ángulos alternos, miden igual (son congruentes) ∑ Todos los ángulos conjugados entre rectas paralelas , son suplementarios ∑ Todos los ángulos correspondientes entre rectas paralelas miden igual ( son congruentes)
PROPIEDADES : SI M//N 01.
x=a + q
a+ b+t=m +n+ t
a+ b+g+q+j= 180 ºNº Segmentos
a+ b+q+j= 180 º
q
q
A
X
B
O
= Bisectriz
aº
qº
xº
L 1 a m
n
r
b
t
a+b+t m+n+r
L 2
jº qº
aº^ bº
gº
a+ q=a +b+ c
EJERCICIOS RESUELTOS
PROBLEMA Nº 01
La medida de un ángulo es x^0. Si la diferencia entre los
5/6 del suplemento de x^0 y el complemento de la mitad
de la medida de dicho ángulo excede en (^) x^0 /15 al doble
del complemento de x^0. Calcular el suplemento del
complemento de x^0. a) 185º b) 165º c) 180º d) 170º e) 175º SOLUCION Si la medida de dicho ángulo es xº, entonces:
x ) 2(90 x) 2
x (180 x) ( 6
x ) 180 2x 2
(180 x) 6
900 5x = - +
5 ( 900 - 5 x - 540 - 3 x )= 2 ( 2700 - 30 x + x )
58x -10x = 5400 - 48x = 3600 X = 75º Luego: 180-(90-x) = 180-90 +75= 165º
165° PROBLEMA Nº 02 Se tienen los ángulos adyacentes y complementarios AOB y BOC, luego se trazan las bisectrices
OM,ON,OR y OS
Æ Æ Æ Æ de los ángulos AOB, BOC, AON y
MOC respectivamente. Calcule m S ROS.
a) 15º b) 18,5º c) 20º d) 22,5º e) 25º
SOLUCION
- 2a + 2q = 90º a + q = 45º
* x 90
q a
a + + + q + = º
( )
( )
+ q + a =
x 90º
x 45º 90º
x 22,5º
PROBLEMA Nº 03
Se tienen los ángulos consecutivos A O ˆ^ B, B O ˆ^ C y C O ˆ^ D tal que: m AOB = 40° y m COD = 60°. Hallar la medida del ángulo formado por las bisectrices de consecutivos A O B y B O D. a) 40° b) 60° c) 75° d) 50° e) 100°
Del gráfico:
m AON = 40° + q = a +x (+) m MOD = a + 60° = x + q
100° = 2x
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Indicar la proposición si es (V) o(F) I. Todo segmento tiene un único punto medio II.El ángulo que forman las bisectrices de los ángulos opuestos por el vértice forman un ángulo llano III.Un segmento de recta siempre es un conjunto de puntos del plano IV.El ángulo que forman las bisectrices de dos ángulos complementarios es 45º a)VFVV b)FFFF c)VVVV d)VVFF e) FFVV 2. Indicar, verdadero (V) o falso (F): I. La diferencia entre las medidas del suplemento y complemento de un mismo ángulo, siempre es 90° II. Las bisectrices de un par lineal, son perpendiculares entre sí. III. Dos ángulos complementarios, son necesariamente consecutivos. a) VVV b) VVF c) FFF d) FVF e) VFV
M
N
X = 90°
a
a
b
b
x
aº
qº qº
aº
xº
2
q a +
2 q +^ a
N
S
R
A M B
C
o
a a q q
x
Mediana Altura Mediatriz Bisectriz
La suma de los ángulos internos es 180 o
Cualquier ángulo exterior mide igual que la suma de dos ángulos interiores etc.
Escaleno Isósceles Equilátero
Algunas Líneas Notables
TRIÁNGULO
Vértices Lados Ángulos Internos Ángulos Externos Perímetro
Sus Elementos (^) Se Clasifican
La Medida de Sus Ángulos
Acutángulo Rectángulo Obtusángulo
La Medidas de Sus Lados
Algunas Propiedades
TRIÁNGULO CONGRUENTES
Lado – Ángulo – Lado
L A L
Tienen
Los casos de congruencias
Ángulo – Lado – Ángulo
A L A
Lado – Lados – Lados
L L L
LA MISMA FORMA EL MISMO TAMAÑO
Entonces tienen
Sus lados correspondientes congruentes
Sus ángulos correspondientes congruentes
A
B
C
c a
b
sea: a>b>c
a - b < c < a + b
- Al ángulo interior de mayor medida se opone el lado de mayor longitud y viceversa.
A
B
C
c a
a (^) g
si: (^) a > g (^) a > c
PROPIEDADES ADICIONALES
a
b (^) m
n
m + n = a + b
x a
b
g
x = a + b + g
CLASIFICACIÓN
SEGÚN SUS LADOS.
A. Triángulo equilátero. Sus tres lados tienen igual longitud.
A
B
C
c a
b
a
b
g
a=b=c
a=b=g= 60∞
B. Triángulo isósceles. Dos de sus lados tienen igual longitud.
A
B
C
a c
a (^) q
a = q a = c
AB y BC: Lados laterales AC: base
C. Triángulo escaleno. No tiene lados de igual longitud.
A
B
C
c a
b
a
b
q
a = b = c (^) a = b = q
SEGÚN SUS ÁNGULOS INTERNOS
A. Triángulo Acutángulo Es aquel cuyos ángulos son agudos.
a
b
g
a <90∞ b <90∞ g <90∞
B. Triángulo Rectángulo Es aquel que tiene un ángulo recto.
B
A
C
c
a
b
a
b
AB y BC: catetos AC: hipotenusa Se cumple:
a 2 + c 2 = b^2
Además: (^) a + b = 90∞
C. Triángulo Obtusángulo Es aquel que tiene un ángulo Obtuso.
B
A
C
g
b
a
g > 90∞
NOTA :
A los triángulos acutángulos y obtusángulos, se les denomina triángulos oblicuángulos.
NOTA : A los triángulos acutángulos y obtusángulos, se les denomina triángulos oblicuángulos.
LÍNEAS NOTABLES ASOCIADAS AL TRIÁNGULO
ALTURA Segmento que sale de un vértice y corta en forma perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.
Ortocentro (H) Es el punto donde se intersectan las tres líneas rectas que contienen a las alturas de un triángulo. H: Ortocentro.
Observación:
- El Ortocentro es un punto interior en un triángulo acutángulo.
- El Ortocentro es un punto exterior en un triángulo obtusángulo.
- El Ortocentro está ubicado en el vértice del ángulo recto en un triángulo rectángulo.
MEDIANA Segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto a dicho vértice.
Baricentro (G) Es el punto donde se intersectan las tres medianas de un triángulo. G: Baricentro
TEOREMA 64748
CG 2GS
AG 2GN
BG 2GM
BISECTRIZ
Segmento que divide a un ángulo interior o exterior en dos ángulos de igual medida.
ÁNGULOS DETERMINADOS POR BISECTRICES
1. Ángulo formado por dos bisectrices interiores.
a
x = +
2. Ángulo formado por dos bisectrices exteriores.
a
x = -
3. Ángulo formado por una bisectriz interior y una bisectriz exterior.
a
x =
x = 45 - a
a b
x
a b
x
a - b
x=
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos serán iguales cuando tengan sus lados y sus ángulos iguales.
Primer criterio.- Si dos triángulos tienen un lado y los ángulos adyacentes iguales.
A
B
C
a q
M
N
P
a q
DABC = DMNP (ALA)
Segundo criterio.- Si dos triángulos tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
A
B
q (^) CM
N
q P DABC = DMNP (LAL)
Tercer criterio.- Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales sus tres lados.
A
B
C M
N
P
DABC = DMNP (LLL)
Nota.- Existe un cuarto criterio: Si dos triángulos tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos, son iguales. Propiedades:
1) TEOREMA DE LA BISECTRIZ. Cualquier punto de la bisectriz de un ángulo equidista de sus lados.
O
A
B
MA=MB (^) a
a b a
a=b (^) M
2) TEOREMA DE LA MEDIATRIZ.
Cualquier punto de la mediatriz de un segmento equidista de sus extremos.
A (^) B
M
O
b a
MA=MB b=a
3) TEOREMA DE LOS PUNTOS MEDIOS
El segmento que une los puntos medios de los lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y tiene la mitad de su longitud.
A
B
C
L M
LM//AC LM = AC 2
TRIANGULOS RECTANGULOS NOTABLES
Son aquellos donde la medida de los catetos y la hipotenusa guardan relaciones que permiten determinar las medidas de los ángulos agudos y recíprocamente. (aŒR+^ ) 1) 3° y 87°
3°
87°
19a
a
362 a
2) 8° y 82°
8°
82° a
7a
50a
3) 21°/2 y 159°/
21°/
159°/
11a
a
5 5 a
4) 14° y 76°
a
4a
14°
76° 17 a
5) 16° y 74°
16°
74°
7a
24a
25a
6) 37°/2 y 143°/
37°/
143°/ a
3a
10 a
7) 53°/2 y 127°/
53°/
127°/ a
2a
5 a
