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Problemas resueltos
Tema 1 CINEMÁTICA
1.1. La trayectoria de una partícula viene expresada en función del tiempo:
r t ti t j t k
2 = + +
a)Calcular la velocidad y aceleración de la partícula en función del tiempo.
b)Determinar el valor de la aceleración tangencial y normal en t=2s.
a) Conocida la trayectoria, la velocidad y aceleración pueden obtenerse directamente aplicando
la definición
v ( t ) =
d
r ( t )
dt
d
dt
( t
i + t
2 ˆ j + t
k ) = 1
i + 2 t
j + 1
k
m / s
a ( t ) =
d
v ( t )
dt
d
dt
i + 2 t
j +
k ) = 2
j
m / s
2
b) Para calcular la aceleración tangencial, podemos utilizar dos métodos
Método 1: Aplicamos la definición
a t
( t ) =
a ( t )·
v ( t )
v ( t )
2
v ( t ) =
(0, 2, 0)·(1, 2 t ,1)
2
2
2
2
·(1, 2 t ,1) =
4 t
2 + 4 t
2
·(1, 2 t ,1)
a t
( t ) =
2 t
1 + 2 t
2
i +
4 t
2
1 + 2 t
2
j +
2 t
1 + 2 t
2
k
m / s
2
Método 2 : También podemos obtener la aceleración tangencial a través de la definición
alternativa
a t
( t ) =
d
v ( t )
dt
· ˆ u v
d
v ( t )
dt
v ( t )
v ( t )
a t
( t ) =
d ( 2 + 4 t
2 )
dt
i + 2 t
j +
k )
2 + 4 t
2
8 t
2 2+ 4 t
2
i + 2 t
j +
k )
2 + 4 t
2
(2 t
i + 4 t
2 ˆ j + 2 t
k )
1 + 2 t
2
m / s
2
Una vez obtenida la aceleración tangencial, obtenemos la aceleración normal a partir de la
expresión:
a n
( t ) =
a ( t ) −
a t
( t ) = (0, 2, 0) −
2 t
1 + 2 t
2
i +
4 t
2
1 + 2 t
2
j +
2 t
1 + 2 t
2
k
a n
( t ) = −
2 t
1 + 2 t
2
i +
1 + 2 t
2
j −
2 t
1 + 2 t
2
k
m / s
2
Sustituyendo en t=2s obtenemos:
a t
i +
j +
k
m / s
2 ;
a n
i +
j −
k
m / s
2
(*) Puesto que el problema nos pide las componentes de la aceleración en un instante
particular (t=2 s) no necesitamos obtener la expresión genérica para luego sustituir el valor
particular buscado.
Usando el método 1 podemos calcular las componentes directamente:
a t
a (2)·
v (2)
v (2)
2
v (2) =
i +
j +
k
a n
a (2)−
a t
() Trabajo adicional propuesto** :
demuestra que la velocidad y la aceleración tangencial son paralelas para todo t.
Comenta el tipo de movimiento que realizará la partícula.
Calcula el radio de curvatura de la trayectoria en t=2s.
1.2 Una partícula describe una trayectoria dada por la ecuación:
r t R ti R t j ˆ ()= cos(ω ) + sin( ω)
! ! (m) donde R i ω son constantes.
Calcular:
a ) la velocidad y el módulo de la velocidad;
b ) la aceleración y el módulo de la aceleración;
c ) el tipo de movimiento que describe la partícula.
a) Conocida la trayectoria, la velocidad vale:
v ( t ) =
d
r ( t )
dt
d
dt
( R cos( ω t )
i + R sin( ω t )
j ) = − R ω sin( ω t )
i + R ω cos( ω t )
j
m / s
v ( t ) = R
2 ω
2 sin
2 ( ω t ) + R
2 ω
2 cos
2 ( ω t ) = R
2 ω
2 (sin
2 ( ω t ) + cos
2 ( ω t )) = R ω m/s
(recordar la relación trigonométrica sin
2 ( α ) + cos
2 ( α ) = 1 )
Como podemos observar el módulo de la velocidad es constante.
b) la aceleración podemos calcularla a partir de la velocidad:
a ( t ) =
d
v ( t )
dt
d
dt
(− R ω sin( ω t )
i + R ω cos( ω t )
j ) = − R ω
2 cos( ω t )
i − R ω
2 sin( ω t )
j
m / s
2
a ( t ) = R
2 ω
4 cos
2 ( ω t ) + R
2 ω
4 sin
2 ( ω t ) = R
2 ω
4 (cos
2 ( ω t ) + sin
2 ( ω t )) = R ω
2 m/s
2
c) Para determinar el tipo de movimiento realizado por la partícula nos fijamos en la velocidad y
aceleración:
Puesto que el módulo de la velocidad es constante el movimiento es uniforme y esto implica
que la aceleración tangencial debe ser cero.
Cuando el módulo de la velocidad es constante el tipo de movimiento que podemos tener es
rectilíneo (si la aceleración es cero) o circular si la aceleración no se anula.
En este caso la aceleración no es nula y por lo tanto el movimiento es circular.
() Trabajo adicional propuesto** :
r ( t ) =
r (0) +
v (0) t +
at
2 = (
i + 4
j ) + (−
i ) t +
i + 8
j ) t
2
r ( t ) = 3 − t +
5 t
2
i + (4 + 4 t
2 )
j
m
() Trabajo adicional propuesto** :
- Resuelve el problema en el caso de que la condición inicial propuesta por el problema sea la
siguiente: La partícula se encuentra en la posición
r = (
i + 20
j ) m en t=2s.
Comprueba que en este caso la trayectoria obtenida es la misma que en el problema resuelto.
1.4 Una partícula se mueve sobre el plano XY con una aceleración (^) a t ti t j ˆ ( 2 1 )
ˆ ( )
3 = + +
!
. Si
inicialmente (t=0) se encuentra en la posición (^) r ( 0 )= 2 i ˆ+ 4 j ˆ
! con una velocidad (^) v ( 0 )= 5 i ˆ
! ,
determinar la expresión de su trayectoria en función del tiempo.
Representa la forma de la trayectoria desde t=0 hasta t=10 s.
En este problema conocemos inicialmente la aceleración de la partícula en función del tiempo.
Puesto que la aceleración depende de t, no es constante y no podemos utilizar la expresión de
la trayectoria del movimiento uniformemente acelerado usada en el problema anterior (apartado
b).
Para resolver el problema utilizamos las expresiones generales vistas en teoría (conocida a(t) ):
v ( t ) =
v (0) +
a ( t ) dt
0
t
r ( t ) =
r (0) +
v ( t ) dt
0
t
Puesto que las condiciones iniciales de velocidad y posición nos las da el enunciado podemos
calcular directamente v(t) y r(t) :
v ( t ) =
v (0) +
a ( t ) dt
0
t
v ( t ) = 5
i + ( t
i + (2 t
3
j ) dt
0
t
i +
t
2
i +
2 t
4
j
0
t
v ( t ) = 5 +
t
2
i +
t
4
j
m / s
Conocida v(t) podemos calcular r(t) :
r ( t ) =
r (0) +
v ( t ) dt
0
t
r ( t ) = (
i + 4
j ) + 5 +
t
2
i +
t
4
j
dt
0
t
i + 4
j ) + 5 t +
t
3
i +
t
5
t
2
j
0
t
r ( t ) = 2 + 5 t +
t
3
i + 4 +
t
5
t
2
j
m
Representación de la trayectoria:
1.5 Un coche pequeño eléctrico tiene una aceleración de 1 m/s
2 y una velocidad máxima
de 80 km/h. Cuando frena su aceleración vale -2 m/s
2 .
a) determina qué distancia necesita para llegar a 80 km/h desde el reposo.
b) determina qué distancia necesita para parar desde la velocidad de 80 km/h.
b) determina cuanto tiempo tardará en recorrer una distancia de 2 km.
Elegimos para este problema un sistema de coordenadas orientado de modo que el coche se
desplaza sobre el eje OX y su posición inicial es x=0.
a) Puesto que parte del reposo su velocidad inicial es cero. La aceleración es constante así que
el movimiento es uniformemente acelerado:
r ( t ) =
r (0) +
v (0) t +
at
2
r (0) = 0;
v (0) = 0;
a = 1
im / s
2 → x ( t ) =
t
2 m
v ( t ) =
v (0) +
at → v ( t ) = 1· t m/s
Combinando ambas ecuaciones obtenemos la relación entre x(t) y v(t) :
0 50 100 150 200 250
0
2000
4000
6000
8000
10000
y(m)
x (m)
b) Determina la velocidad y aceleración angular del disco en este instante.
c) Cuánto valen la aceleración y la velocidad lineales de un punto del extremo de
la rueda en este instante?
a) Conocemos el ángulo girado en función del tiempo. Podemos utilizar directamente esta
expresión para obtener el tiempo empleado en dar 10 vueltas.
En 10 vueltas el disco gira un ángulo igual a
θ = 10·2 π = 20 π rad
Tiempo empleado:
θ( t ) = 4 t
2 → t =
θ
20 π
= 3, 96 s
b) La velocidad angular se calcula, conocido θ( t ) , a partir de la definición
ω( t ) =
d θ( t )
dt
d (4 t
2 )
dt
= 8 t rad/s
Aceleración angular:
α( t ) =
d ω( t )
dt
d (8 t )
dt
= 8 rad/s
2
(El cálculo de ω(t) y de α(t) a partir de θ(t) es completamente equivalente al cálculo de v(t) y a(t)
a partir de r(t))
En t=3,96 s la velocidad angular y aceleración angular valen:
ω(3, 96) = 31, 68 rad / s ; α(3, 96) = 8 rad / s
2
c) La velocidad y aceleración lineales se relacionan con la velocidad y aceleración angulares a
través de la distancia al centro de giro. Cuanto más alejados del eje de giro, mayor será la
velocidad y aceleración lineal.
Para un punto situado a una distancia R del centro de giro se cumple:
v ( t ) = R ω( t ) y a ( t ) = R α( t )
Por lo tanto para los puntos del extremo del disco obtenemos:
v (3, 96) = 0,12· ω(3, 96) y a (3, 96) = 0,12· α(3, 96)
v (3, 96) = 0,12·31, 68 = 3, 8 m / s
a (3, 96) = 0,12·8 = 0, 96 m / s
2
() Trabajo adicional propuesto** :
- Suponiendo que el disco gira sin interrupción durante 30 vueltas ¿Cuanto tiempo tardará en
recorrer: a) desde el inicio hasta la vuelta 10, b) desde la vuelta 10 hasta la vuelta 20 y c)
desde la vuelta 20 hasta la vuelta 30?.
1.7 Una partícula se mueve alrededor de una circunferencia de 7.5 m de radio con una
velocidad de módulo constante v = 30 m / s .Calcula su velocidad angular y cuantas
vueltas dará en 2 minutos.
Para relacionar la velocidad angular y lineal de una partícula en movimiento de rotación
necesitamos la distancia al eje de giro, que en este caso es el radio R=7,5 m.
Conocida la velocidad lineal podemos calcular la velocidad angular:
v = R ω →ω =
v
R
= 4 rad / s
Para determinar cuantas vueltas dará en un tiempo t=2 minutos, escribiremos la ecuación del
ángulo girado en función del tiempo. Puesto que la velocidad angular es constante se trata de
un movimiento de rotación uniforme y podemos escribir:
θ( t ) = ω t = 4 t rad → En t=120 s θ(120) = 480 rad
Podemos obtener el número de vueltas recorridas dividiendo el ángulo girado ( en radianes)
por 2π: número de vueltas=
θ(120)
2 π
= 76, 4 vueltas.
1.8 Una partícula se encuentra situada en el punto dado por el vector de posición
r i j
Escribe este vector de posición en coordenadas polares y determina la
expresión de los vectores unitarios correspondientes.
El vector de posición en este caso está expresado en coordenadas cartesianas por lo cual
tenemos x=6; y=4. A partir de estas variables podemos obtener las correspondientes variables
cartesianas
ρ = x
2
2 = 6
2
2 = 52
φ = arctan
y
x
= arctan
El vector de posición es un vector que siempre tiene su origen en el origen de coordenadas y
por lo tanto siempre es un vector orientado en la dirección radial. Por lo tanto la expresión del
vector de posición en coordenadas polares siempre es:
r = ρ u ˆ ρ
Para nuestro caso:
punto de fijación para cada valor del ángulo φ y la variación temporal de este ángulo.
Con estas variables este problema se resuelve más sencillamente en coordenadas
polares.
Tomaremos un sistema de coordenadas con el origen sobre el punto de fijación.
Como hemos visto en problemas anteriores la trayectoria del pasador podemos
expresarla como:
r ( t ) = ρ( t ) ˆ u ρ
= r ( t ) ˆ u ρ
= a cos φ( t ) + R
2 − a
2 sin
2 φ( t )
u ˆ ρ
Sustituyendo la expresión de φ(t):
r ( t ) = ρ( t ) ˆ u ρ
= a cos(4 t
2 ) + R
2 − a
2 sin
2 (4 t
2 )
u ˆ ρ
Conocidos ρ(t) y φ(t) podemos calcular directamente la velocidad a partir de las
expresiones vistas en teoría (apuntes de sistemas de coordenadas):
v ( t ) = ρ"( t ) ˆ u ρ
φ( t ) ˆ u φ
Derivando y sustituyendo en la expresión obtenemos:
v ( t ) = ρ"( t ) ˆ u ρ
φ( t ) ˆ u φ
= − 8 at sin(4 t
2 ) −
a
2 8 t sin(4 t
2 )cos(4 t
2 )
R
2 − a
2 sin
2 (4 t
2 )
u^ ˆ ρ
2 ) + R
2 − a
2 sin
2 (4 t
2 )
·8 tu ˆ φ
Sustituyendo los valores:
v ( t ) = ρ"( t ) ˆ u ρ
φ( t ) ˆ u φ
= −0 '64 t sin(4 t
2 ) −
0 '0512 t sin(4 t
2 )cos(4 t
2 )
0 '04 − 0 '0064 sin
2 (4 t
2 )
u^ ˆ ρ
2 ) + 0 '04 − 0 '0064 sin
2 (4 t
2 )
·8 t u ˆ φ
