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Asignatura: Física I, Profesor: profesor10demates profesor10demates, Carrera: Ingeniería Mecánica, Universidad: UNED
Tipo: Apuntes
1 / 21
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¡No te pierdas las partes importantes!
Introducción.
El movimiento.
a.
Ecuación del movimiento. b.
Trayectoria. c.
La ecuación intrínseca del movimiento.
El vector Velocidad.
El vector Aceleración.
a.
Componentes intrínsecas del vector aceleración.
Tipos de movimientos más representativos.
a.
Movimientos rectilíneos. b.
Movimientos curvilíneos.
Composición de movimientos.
Transformaciones de Galileo.
La CINEMÁTICA es la parte de la FÍSICA que se ocupa del estudio delmovimiento de los cuerpos sin atender a las causas que lo produce.
En este tema estudiaremos la Cinemáticade la Partícula o Punto Material.
Un análisis cinemático del movimiento es un estudio parcial del movimiento,pues supone considerar sólo sus características o propiedades.^ Una PARTÍCULA o PUNTO MATERIAL es un ente físico dotado de masapero sin dimensiones. La
aproximación
del
es
sólo
válida
cuando
las
dimensiones
del
cuerpo
(móvil)
son
despreciables
frente
a^
las
del
movimiento general que estamos considerando.
x^
x t y^
y t z^
z t
Ecuaciones paramétricas del movimiento
La ecuación del movimiento es una función matemática que establece comovaría el vector de posición del móvil con el tiempo.Hay, por tanto, dos formas de expresar la ecuación del movimiento
r t
x t i
y t
j^
z t
k
O bien: Ejemplo. La ecuación del movimiento de un móvil vendrá dada por una ecuacióndel tipo:
r t
t i
t^
j^
k
O bien:
x^
t
y^
t z
r^
r t
1
2
3
4
5
6
La
trayectoria
del
movimiento
es
el^
lugar
geométrico de los puntos que ocupa el extremodel
vector
de
posición
en
el
transcurso
del
tiempo.
Trayectoria
X
Y
¿Es posible conocer la ecuación de latrayectoria que describe un móvil?
x^
t
y^
t z
x t
X Plano
z^ = 2 Trayectoriadel móvil
x
y
x
Z
Obsérvese que el movimiento tiene lugar enel plano
z^ = 2, y la ecuación de la trayectoria
resulta ser una línea recta de pendiente 2 yordenada en el origen -1.
Y
r^1
r^2
Consideremos un móvil que, a través de unadeterminada trayectoria (línea azul) pasa de unaposición 1, dada por el vector de posición
, a
otra 2, dada por
r^
r 1
El vector
, que determina el cambio de la
posición del móvil en el intervalo de tiempo ∆t,se llama
Vector Desplazamiento
y viene dado
por:
2
1
r^
r^
r
Velocidad Media:
y
r^
x
z
v
i
j^
k
t^
t^
t^
t
Velocidad Instantánea:
0 ∆^
→
r^
dr
v^
t^
dt
x
y
z
dy
dr
dx
dz
v
i^
j^
k^
v i
v j
v k
dt
dt
dt
dt
Cuyo módulo, vendrá dado por:
2
2
2
x^
y^
z
v^
v^
v^
v
Consideremos un intervalo de tiempo muy pequeño (∆
0), es decir, un
intervalo infinitesimal de tiempo, que expresamos como
dr v^
dt
X
Y
r^1
^ r^2 dr
ds
De acuerdo con la definición de velocidadinstantánea, tenemos que:Ahora también representamos en la figurael cambio de posición medido sobre latrayectoria que representamos por
dr
ds dr
v^
dt
dt ds
Según la regla de la cadena, tenemos que: ds dt
Representa el cambio de posición, medido sobre la trayectoria,en el transcurso del tiempo, y se conoce como rapidez (
móvil.
dr^ ds
Representa un vector unitario,
, tangente a la trayectoria en
cada punto y sentido el del movimiento. Obsérvese que en ellímite (cuando ∆t
es el módulo de
r 1
^ r^2 dr
ds v^1
v^2
v^1
X
Y
v^2
La aceleración es la magnitud física que nos indica cómo cambia la velocidad en eltranscurso del tiempo. Considerando la situación que venimos analizando el cambio queexperimenta el vector velocidad en el intervalo de tiempo
∆
t^ es
. ∆^
v
Aceleración Media:
y
x
z
m
v
v
v
v
a
i
j
k
t^
t
t
t
Se emplean dos definiciones:
Aceleración Instantánea:
0 ∆^
→
v^
dv
a^
t^
dt
y
x
z^
x
y
z
dv
dv
dv
dv a
i
j^
k^
a i
a j
a k
dt
dt
dt
dt
Cuyo módulo, vendrá dado por:
2
2
2
x^
y^
z
a^
a^
a^
a
11
{^
}^
(^
)
τ
τ
τ
τ
d^
v
dv
dv
d
a
v^
v
a
v
dt
dt
dt
dt
a^ t
a^ n
t^
n
a^
a^
a
Es decir, la aceleración puede considerarse como
la contribución de dos componentes:
-^
La aceleración tangencial
,^
, que es tangente a
la trayectoria en cada punto,mide el
cambio de
la rapidez (módulo de la velocidad) con eltiempo.
-^
La aceleración normal
,^
, perpendicular en cada
punto a la trayectoria y que mide el
cambio de
dirección que experimenta la velocidad con eltiempo.
direccióntangente
direcciónnormal
a
2 2
n t^
a a
a^
a^ t n = a
Puede demostrarse que:
a^ t a^ n
2
τ
d^
v
a^
v
n
dt
R
Donde
R y
son el radio de curvatura y un vector unitario
normal a la trayectoria en cada punto, respectivamente.
n
13
Si en el instante inicial la partícula se encuentra en la posición (1, 2),determinar la ecuación de la trayectoria del movimiento.
3
x
y
Para obtener la ecuación de la trayectoria del móvil es necesario conocer la ecuación delmovimiento. Por tanto:
(^
)^
(^
)^
4
2
3
3
x^
x^
x
dx
t^
t
v^
dx
v dt
t^
t dt
dx
t^
t dt
x^
dt =^
∫^
∫^
2
y^
y^
y
dy
t
v^
dy
v dt
t dt
dy
t dt
y^
dt =^
∫^
∫
Donde
Cx
y C
son dos constantes de integración. Para evaluar estas constantes debemosy
tener en cuenta que en el instante inicial la partícula se encuentra el la posición (1, 2).
4
2 2
x^
x
y^
y
Por tanto:
4
2 2 2
x^
t^
t
y^
t
Eliminando
t, se obtiene
2
2
y^
y^
y
t^
x
y^
tangencial
de la aceleración.
(MU)
uniforme
movimiento ,
0
Si
cte υ
at
=
(MUD) do
desacelera nte
uniformeme
movimiento, 0
(MUA)
acelerado nte
uniformeme
movimiento, 0
0
Si
> <
⇒ ≠
=
t t
t^
a a
cte a En función de la componente
normal
de la aceleración.
(^
)
Si
0
movimiento rectilíneo (MR)
n
R^
a
= ∞
=^
⇒
Si
movimiento circular (MC)
R^
cte =^
⇒
Si
movimiento curvilíneo
R^
cte ≠^
⇒
MNU) ó
(MV
uniforme no o
variado
movimiento
Si
⇒
≠^
cte at
16
an
≠ 0, o en otras palabras, el radio de curvatura
de la trayectoria es finito. ^
Movimientos Circulares:
R^
= cte
r
s
-^ Magnitudes angulares^ Desplazamiento angular
:^
s R θ^
=^
[^
]^
1 θ^
=
Velocidad angular
:
, d^
ω
k
θ dt
ω
ω
=^
=^
^
[^
]^
(^1) − =^
t
ω
Aceleración angular
:
k d dt k d dt
d^ dt
^
2 2
,
θ
ω
α ω
α^
=
=
=^
[^
]^
(^2) − =^
t
α
17
Relaciones entre magnitudes lineales y angulares.
r
v
r
ω =^
×^
^
s
t
n
t^
n
a
a
a
r
v^
a^
a
α
ω
^
0 =t a
cte T^
=
=^
/ 2 π ω 0 = α
0
t
θ^
θ^
ω
=^
cte at
=
0
t
ω
ω
α
=^
α
2
0
0
1 2 t^
t
θ^
θ^
ω
α
=^
+^
Periodo
mov. periódico
Frecuencia
T f
19
Cuando un móvil describe un movimiento que puede considerarse el resultado de dos movimientossimultáneos e independientes, el movimiento resultante se obtiene sumando vectorialmente losmovimientos componentes. ^ Tiro horizontal
:^ Es el típico movimiento que describe un objeto que se lanza horizontalmente con
una determinada velocidad. En este caso el móvil está sometido a un movimiento rectilíneo yuniforme y otro vertical y uniformemente acelerado, debido a la acción del campo gravitatorio.
Para escribir las ecuaciones del movimiento tomamos, enprimer lugar, un
sistema de referencia
apropiado y, a
continuación, planteamos la ecuación correspondiente acada eje como si no existiera la contribución del otro. Esdecir:
0
O^
x
0
g
(^
)
(^
)
0
2 1 2
Eje x
MRU
Eje y
MRUA
x^
v t
y^
h^
g t
⇒
=^
⇒
=^
−^
Es necesario destacar que el
criterio de signo de las magnitudes vectoriales
debe ser coherente con el
sistema de referencia elegido. Por ejemplo, la aceleración de la gravedad es negativa en la ecuación deleje
y^ porque tiene sentido contrario al de dicho eje en nuestro sistema de referencia. Por el contrario la velocidad inicial
v^0
tiene un valor positivo ya que tiene el sentido de las
x^ positivas.
(^
)
0
2
2
(^20)
x
x^
y
y
dx v
v dt
v^
v^
v^
v^
g t
dy v
g t
dt
=^
=^
⇒
=^
+^
=^
+^
−
=^
= −
Elijamos, en primer lugar, un sistema de referenciaapropiado. En nuestro caso una opción aceptable es situarel origen de coordenadas como se indica en la figura.
X
Y
O
A continuación planteamos las ecuaciones del movimiento,de acuerdo con nuestro sistema de referencia.
0
2
0
0
cos
1
sen
2
x^
v^
t
y^
y^
v^
t^
g t θ θ
=^
⋅^
=^
+^
⋅^
−^
2
60cos 60º
1
200
60sen 60º
(^102)
x^
t
y^
t^
t
=^
=^
+^
−^
Sustituyendo valores tenemos que:
v^0 x
v^0 y ¿Qué condición podemos establecer para determinar el alcance del tiro? Es claro que cuando elproyectil choque contra el suelo su coordenada
y^ valdrá 0. Por tanto:
2
0
200
51,
5 t^
t
=^
+^
−^
Ecuación de segundo grado y, en consecuencia, con dos soluciones:
(^12)
13,381 s^ 2,989 s t^ = t^ = −
^
max
60 cos 60º 13,
401,43 m
x^
=^
=
Sustituyendo el único valor con sentido físico en la ecuación del eje
x:
Alcance (
xmax
)
