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Asignatura: Mecànica, Profesor: Inma Cantalapiedra, Carrera: Enginyeria Geològica, Universidad: UPC
Tipo: Apuntes
1 / 12
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Vector posición y trayectoria
y
x
r(t )
x(t )
y(t )
Función posición:
Si se elimina el parámetro
t se obtiene la ecuación de
la trayectoria:
y = f (x)
x = x (t)
y = y (t)
Son las ecuaciones
paramétricas de la
trayectoria
A continuación veremos un ejemplo...
Vector posición y trayectoria
x = 3 t
y = 2 t
2
Ejemplo 1.
El itinerario de una partícula que se mueve en el plano x – y es el siguiente:
2
0 < t < 5 s, x : m
Son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria
4 12 32
3 9 18
2 6 8
1 3 2
t (s) x (m) y (m)
-Dibujar la trayectoria de la partícula.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 0
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x (m)
y (m)
Vector posición, itinerario y trayectoria
-¿Posición en t = 2 s?
-¿Posición en t = 3 s?
-¿Cuál es la ecuación de la trayectoria?
2
9
2
y = x
Si se elimina el parámetro t se
obtiene la ecuación de la trayectoria
Vector
posición en
t = 2 s
Vector
posición en
t = 3 s
( )
ˆ 8
ˆ r( 2 )= 6 i + jm
( )
ˆ 18
ˆ r( 3 )= 9 i + jm
2
Volvamos al ejemplo 1:
2
Puesto que:
Entonces:
( / )
ˆ 8
ˆ 3 2
i j m s t
v
( / )
ˆ 12
ˆ 3 3
i j m s t
v
Representemos estos vectores velocidad en el gráfico de la trayectoria...
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x (m)
y (m)
Vectores velocidad
〈v ( 2 )〉= 8. 54 m/ s
〈v ( 3 )〉= 12. 4 m/ s
v m s
v ms
y
x
8 /
3 /
=
=
v m s
v ms
y
x
12 /
3 /
=
=
Componentes:
Módulo:
Componentes:
Módulo:
( / )
ˆ 8
ˆ 3 2
i j m s t
v
Velocidad en t = 2 s
Velocidad en t = 3 s
( / )
ˆ 12
ˆ 3 3
i j m s t
v
Aceleración media
1
2
1
∆v
m
2 1
En el intervalo ∆t hay un cambio de
velocidad:
2 1
∆v =v −v
Se define la aceleración media como:
Como:
vi v j
v v i v v j
v i v j
v i v j
x y
x x y y
x y
x y
ˆ ˆ
ˆ ( )
ˆ ( )
ˆ ˆ
ˆ ˆ
2 1 2 1
2 2 2
1 1 1
∆ =∆ + ∆
∆ = − + −
= +
= +
v
v
v
v
Por lo tanto el vector aceleración
tiene la misma direción que el
vector ∆v.
∆ v
y x
m
Aceleración instantánea
j
dt
dv
i
dt
dv
dt
dv
t
v
y x ˆ ˆ
lim
= +
=
∆
∆
=
a
a
r r
a i a j x y
ˆ ˆ a= +
En el ejemplo 1 teníamos que la
posición en función del tiempo era:
2
Y la velocidad en función del tiempo:
Entonces:
función del tiempo?
2
/
ˆ 4
ˆ
( 4 )
ˆ
( 3 )
jm s
j
dt
d t
i
dt
d
=
= +
a
a
La aceleración de la partícula
es constante, apunta en la
dirección del eje y y su
módulo es 4 m/s
2 .
Continuación del ejemplo 2...
b) ¿A qué distancia del origen cae el proyectil? (Alcance)
La simetría indica que si demora t ym
en alcanzar la máxima altura, demora el
doble en llegar de vuelta al suelo. Por lo tanto:
o
x m
y reemplazando en la ecuación para x,
o o
g
v sen
x
o
m
2 θ cos θ
2
= 2 θ
2
sen
g
v
x
o
m
= o, lo que es igual:
Reemplazando los datos, x m
= 420,5 metros.
Verifique que el alcance máximo se obtiene para un ángulo θ = 45°
Movimiento circular uniforme
y
x
P
θ
r
v
Se trata de un MCU de un objeto P
que se mueve en dirección contraria a
los punteros del reloj.
Nótese que
Velocidad angular
cte.
dt
d
θ
ω Unidades de ω : rad/s o s
Velocidad:
j
dt
d
i r
dt
d
rsen
dt
d
ˆ cos
ˆ
θ
θ
θ
= =− θ +
r
v
r = cte. pero r ≠cte.
r sen i r j
ˆ ( cos )
ˆ v =( − ω θ ) + ω θ
En que:
y
x
P
θ
r i rsen j
r = cos θ + θ
r
v
? r = −r sen i+ r j= ×
ˆ ( cos)
ˆ v ( ω θ ) ω θ
Tenemos, entonces que:
Hagamos el producto punto entre
estos dos vectores. Se obtiene:
v • r = 0
Es decir, v es perpendicular a r en
todo instante.
El módulo de v se obtiene haciendo el
producto punto:
2 2 2 2 2 2 2
v • v =v =r ω ( sen θ +cos θ )=r ω
Por lo tanto: v = r⋅ ω
y si consideramos que:
π
ω
en que T es el período del movimiento, obtenemos:
T
r
v
2 π
=
y
x
P
θ
r t i rsen t j
r = cos ( ω ) + ω
r
v
r sen ti r t j
ˆ cos( )
ˆ v =− ω ( ω ) + ω ω
En resumen:
Puesto que ω = cte.
v= r⋅ ω
T
π
ω
2
=
en que T es el
período del
T movimiento
r
v
2 π
=
θ = ω ⋅ t
En un MCU, el itinerario es:
y la velocidad en función del tiempo es:
Además, se cumple que:
Volvamos al ejemplo 3.
En una prueba de resistencia, un astronauta está sentado en una
plataforma, a 4 metros del centro de giro. La plataforma está gi rando a
razón de media vuelta/segundo.
c) Anote los vectores posición, velocidad y aceleración del astronauta en
función del tiempo.
t i sen t j
r = 4 cos( π ) + π
sen t i t j
4 cos( )
v =− 4 π ( π ) + π π
d) ¿Cuánto vale el módulo de la aceleración centrípeta del astronauta?
t i sen t j
4 cos( )
2 2
a =− π π − π π
2 2 2
a = ω ⋅r= 3. 14 ⋅ 4 = 39. 5 m/s
y
x
r
v
Por lo tanto, en el instante t = 0.5 s...
Sigamos con el ejemplo 3...
r ti r sen t j
cos( )
2 2
a =− ω ω − ω ω
f) Dibuje estos tres vectores.
e) Anote los vectores posición, velocidad y
aceleración del astronauta en el instante
t = 0.5 s.
t i sen t j
r = 4 cos( π ) + π
sen t i t j
4 cos( )
v =− 4 π ( π ) + π π
r = 4 j (m)
a
v = -12.6 i (m/s)
a = -39.5 j (m/s
2 )
y
x
r
θ
Movimiento circular no uniforme
θ
θ
sen
dt
d
v r x
=−
v r ω sen θ x
=−
θ
θ
cos
dt
d
v r y
=
v r ω cos θ
y
=
θ
ω
ω θ sen
dt
d
a r r x
= − cos −
2
2
y
v =r ω
dt
d
aceleració n angular
ω
=
Las componentes de la velocidad son:
y el módulo de
la velocidad es:
Derivando se obtienen las componentes de la aceleración:
Componentes tangencial y normal
Definamos los siguientes vectores unitarios:
j
v
v
i
v
v
v
T
y x ˆ ˆ ˆ
= = +
v
x y
0
ˆ ˆ T• N=
Vector unitario
tangente a la
trayectoria.
Vector unitario
normal a la
trayectoria.
Componente tangencial de la aceleración
y y x x y y xx
t
Pero,
x x yy
x y
2 2 Por lo tanto,
dt
dv
a
t
=
T
ˆ
N
ˆ
