El vector de posició en funció del temps. Velocitat mitjana i velocitat instantània.
Acceleració mitjana i acceleració instantània. Equació de la trajectòria
Si un cos canvia de la posició A a la posició B en un interval de temps, la seua velocitat mitjana és igual al
quocient entre el desplaçament i el temps empleat:
𝑣
m
=∆𝑟
∆𝑡
Per a un increment de temps infinitesimal es defineix la velocitat instantània com la derivada del vector de
posició respecte del temps:
𝑣 = 𝑑𝑟
𝑑𝑡
Es defineix l’acceleració mitjana com el quocient entre la variació de velocitat i el temps empleat:
𝑎
m
=∆𝑣
∆𝑡
Per a un increment de temps infinitesimal es defineix l’acceleració instantània com la derivada del vector
velocitat respecte del temps:
𝑎 = 𝑑𝑣
𝑑𝑡
Per a traure l’equació de la trajectòria cal aïllar el temps en una de les equacions paramètri ques (una de les
coordenades cartesianes) i substituir en l’altra.
Exercici resolt 1
La posició d’un cos en funció del temps ve donada pel vector de posició següent, feu el que se us demana:
𝑟(
𝑡
)
=
2𝑡𝑖
+
(
4𝑡+1
)
𝑗
m
a) Indiqueu la posició en els instants t = 2s i t = 5 s i calculeu el vector desplaçament entre totes
dues, amb el mòdul i direcció corresponent.
b) Calculeu la velocitat mitjana en l’interval de temps esmentat. Indiqueu-ne el mòdul i l’angle amb
l’horitzontal.
c) De quin tipus de moviment es tracta?
La posició en els instants considerats és:
𝑟(
2
)
=2·2𝑖
+
(
4·2+1
)
𝑗
=
4𝑖
+9𝑗
m
𝑟(
5
)
=2·5𝑖
+
(
4·5+1
)
𝑗
=
10𝑖
+21𝑗
m
El vector desplaçament durant l’interval de temps considerat és:
∆𝑟 = 𝑟(
5
)
−
𝑟(
2
)
=
6𝑖
+12𝑗
m
Per tant, la velocitat mitjana ha estat:
𝑣
m
=∆𝑟
∆𝑡 =6𝚤+12𝚥
5−2 =[2𝚤+4𝚥] m/s
El seu mòdul val:
|𝑣|=2
+4
=√20 m
I l’angle amb l’horitzontal:
tan 𝛼 = 4
2 → 𝛼 = 63,4
Es tracta d’un MRU.
v
x
(m/s)
v
y
(m/s)
