¡Descarga Propiedades de una función: simetría, paridad, periodicidad, cortes y derivadas y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
ESCUELA POLIT
ECNICA NACIONAL
DEPARTAMENTO DE FORMACI
ON B
ASICA
C´atedra de c´alculo en una variable
Cap´ıtulo 03. Aplicaciones de la derivada de
funciones reales en una variable (ejercicios)
Clase 14
a) Tema
- Problemas de graficaci´on de funciones en coordenadas rectangulares.
- Problemas propuestos
b) Teor´ıa
1. Estrategia para graficar funciones
Una buena sugerencia para realizar el gr´afico de funciones es tener en cuenta los siguientes
pasos:
i) Dominio: el dominio de la funci´on viene dado por la propia definici´on de la funci´on; y a
trav´es del teorema de caracterizaci´on de funci´on se puede saber exactamente el dominio de la funci´on. Recordemos este teorema:
Teorema 1.1 (Caracterizaci´on de funci´on). Sea f una funci´on de A en B (f : A → B),
entonces:
a) dom(f ) = A.
b) rec(f ) ⊆ B.
c) Si (x, y) ∈ f y (x, z) ∈ f , entonces y = z.
ii) Simetr´ıa (paridad) y periodicidad. Para analizar la paridad de una funci´on es necesario que el dominio de la funci´on sea sim´etrico, para eso recordemos:
Definici´on 1.1 (Conjunto Sim´etrico). Un conjunto A es sim´etrico si y solo si para todo a ∈ A, −a ∈ A.
Tambi´en recordemos las definiciones de funci´on par e impar:
Definici´on 1.2 (Funci´on par). Una funci´on f : A → B es par si y solo si:
a) A es sim´etrico.
b) Para todo x ∈ A,
f (−x) = f (x).
Definici´on 1.3 (Funci´on impar). Una funci´on f : A → B es par si y solo si:
a) A es sim´etrico.
b) Para todo x ∈ A, f (−x) = −f (x).
Observaci´on 1. Si el dominio de una funci´on no es sim´etrico no se puede analizar la paridad de la funci´on.
Recordemos que el gr´afico de una funci´on par es sim´etrico respecto al eje y. En cambio
el gr´afico de una funci´on impar es sim´etrico respecto al origen de coordenadas.
En cuanto a la periodicidad de una funci´on, recordemos la definici´on de funci´on peri´odica
de periodo T.
Definici´on 1.4 (Funci´on peri´odica). Una funci´on f : A → B es peri´odica de periodo T si y solo si existe T ∈ R+, tal que para todo x ∈ A, x + T ∈ A y adem´as
f (x + T ) = f (x).
De las funciones que por el momento hemos estudiado y de las cuales analizamos su pe- riodicidad son las funciones trigonom´etricas. Por esta circunstancia, ´unicamente cuando
estas est´en presenten analizaremos la periodicidad de la funci´on.
iii) Intersecci´on con los ejes: Para hallar los puntos de cruce con los ejes de la funci´on f : A → B determinaremos los conjuntos:
{(x, y) ∈ f : y = f (x) ∧ f (x) = 0} y {(0, y) ∈ f : y = f (0)}.
que son los puntos de cruce con el eje x y y respectivamente. Normalmente, al conjunto
{x ∈ A : f (x) = 0}
se le denomina el conjunto de los ceros o ra´ıces de la funci´on f.
El resto de pasos de esta sugerencia para esbozar el gr´afico de la funci´on, ya lo hemos analizado en clases anteriores.
iv) Estudio de la primera derivada. Intervalos de monoton´ıa, m´aximos y m´ınimos.
v) Estudio de la segunda derivada. Concavidad y puntos de inflexi´on.
vi) As´ıntotas.
vii) Bosquejo de la gr´afica.
c) Ejercicios o problemas resueltos
- Mediante los criterios de la derivada, bosquejar la gr´afica de la funci´on
f : R −→ R
x 7 −→
x^2 + 1
i) Dominio: El dominio de f es R.
v) Estudio de la segunda derivada. Concavidad y puntos de inflexi´on.
f ′′(x) =
−2(x^2 + 1)^2 − 2(2x)(x^2 + 1)(− 2 x)
(x^2 + 1)^4
−2(x^2 + 1)^2 + 8x^2 (x^2 + 1)
(x^2 + 1)^4
8 x^2 − 2(x^2 + 1)
(x^2 + 1)^3
6 x^2 − 2
(x^2 + 1)^3
despu´es, analicemos el signo de f ′′
f
′′ (x) > 0 ≡
6 x^2 − 2
(x^2 + 1)^3
≡ | x |>
≡ x < −
1 / 3 ∨ x >
entonces f es convexa en
]
[
y en
]√
[
f ′′(x) < 0 ≡
6 x^2 − 2
(x^2 + 1)^3
≡ | x |<
1 / 3 < x <
entonces f es c´oncava en
]
[
Como existe f ′
y alrededor de x = −
1 /3 la concavidad cambia de
convexa a c´oncava, entonces el punto
1 / 3 , f
√ 3 3 ,^
3 4
es un
punto de inflexi´on. Del mismo modo, el punto
1 / 3 , f
3 3 ,^
3 4
es
un punto de inflexi´on, ya que la concavidad cambia de c´oncava a convexa.
vi) As´ıntotas.
- As´ıntotas verticales.
Como el denominador es distinto de cero para todo x ∈ R, entonces no existen
as´ıntotas verticales.
- As´ıntotas horizontales.
l´ım x→+∞
f (x) = l´ım x→+∞
x^2 + 1
l´ım x→−∞
f (x) = l´ım x→−∞
x^2 + 1
Ya que para todo, x ∈ R, x^2 + 1 > 0, entonces cuando x tiende a m´as o a
menos infinito, x^2 + 1 tiende a +∞. Por lo tanto, la recta de ecuaci´on y = 0 es
una as´ıntota horizontal del gr´afico de f en +∞ y en −∞.
- As´ıntotas oblicuas.
Como l´ım x→∞
f (x) 6 = ∞ entonces no existe as´ıntotas oblicuas.
vii) Bosquejo. Con todos estos datos, bosquejamos las gr´aficas.
− 5 − 4 − 3 − 2 − 1 1 2 3 4
0
− 1
1 b c b c
( − √ 3 bc 3 ,^
3 4
) ( √ 3 3 ,^
3 4
)
x
]
−
√ 3 3
[
√ 3 3
]
√ 3 3 ,^0
[
]
√ 3 3
[ √
3 3
]
√ 3 3 ,^ +∞
[
f ′(x) + + + 0 − − −
monoton´ıa ր ր ց ց
f ′′(x) + 0 − − − 0 +
concavidad ⌣ ⌢ ⌢ ⌣
p.i.^1 M.r.^2 p.i.
- Mediante los criterios de la derivada, bosquejar la gr´afica de la funci´on
f : R −→ R
x 7 −→
x^2 + 1
x − 1
i) Dominio:
El dominio de f es R r { 1 }.
ii) Simetr´ıa (paridad) y periodicidad: El dominio de la funci´on no es sim´etrico (− 1 ∈
dom(f ), pero 1 6 ∈ dom(f )). Por tanto, no se puede analizar la paridad de la funci´on.
iii) Cortes con los ejes:
Cortes en el eje x:
f (x) = 0 ≡
x^2 + 1
x − 1
≡ x ∈ ∅.
No existe puntos de cruce con el eje x, y f no tiene ceros o ra´ıces.
(^1) p.i.: punto de inflexi´on
(^2) M.r.: m´aximo relativo
f
′′ (x) > 0 ≡
(x − 1)^3
≡ x + 1 > 0
≡ x > − 1 ,
entonces f es convexa en ] − 1 , +∞[.
f ′′(x) < 0 ≡
(x − 1)^3
≡ x + 1 < 0
≡ x < − 1
entonces f es c´oncava en ] − ∞, 1[.
Como no existe f (1) y no existe f ′(1), aunque alrededor de x = 1 hay cambio de
concavidad, sin embargo no hay punto de inflexi´on en x = 1.
vi) As´ıntotas
- As´ıntotas verticales
l´ım x→ 1 −
x^2 + 1
x − 1
Con x < − 1 , x − 1 < 0
l´ım x→ 1 +
x^2 + 1
x − 1
Con x > 1 , x − 1 > 0
Por lo tanto, la recta con ecuaci´on x = 1 es una as´ıntota vertical de f.
- As´ıntotas horizontales.
l´ım x→+∞
f (x) = l´ım x→+∞
x^2 + 1
x − 1
= l´ım x→+∞
x
x + (^1) x
x − 1
= l´ım x→+∞
x
1 + (^) x^12
1 − (^1) x
= +∞
l´ım x→−∞
f (x) = l´ım x→−∞
x^2 + 1
x − 1
= l´ım x→−∞
x
x + (^1) x
x − 1
= l´ım x→−∞
x
1 + (^) x^12
1 −
1 x
= −∞
Por lo tanto, no hay as´ıntotas horizontales. Pero como l´ım x→∞
= ∞, hay la posi-
bilidad de que existan as´ıntotas oblicuas.
- As´ıntotas oblicuas
m = l´ım x→+∞
f
′ (x)
= l´ım x→+∞
x^2 − 2 x − 1
(x − 1)^2
= l´ım x→∞
1 − (^2) x − 1 x^2 (1 − (^1) x )^2
b = l´ım x→∞
f (x) − mx
= l´ım x→∞
x^2 + 1
x − 1
− x
= l´ım x→∞
x^2 + 1 − x^2 + x
x − 1
= l´ım x→∞
x + 1
x − 1
= l´ım x→∞
1 + (^1) x
1 − (^1) x
= 1.
Por lo tanto, la recta de ecuaci´on y = x + 1 es una as´ıntota oblicua de f.
vii) Bosquejo. Con todos estos datos, bosquejamos la gr´afica.
− 5 − 4 − 3 − 2 − 1 1 2 3 4
0
− 1
− 2
− 3
− 4
− 5
1
2
3
4
5
6
b c
b c
y = x + 1
(x 1 , f (x 1 ))
(x 2 , f (x 2 ))
x = 1
x 1 = 1 +
√ 2 x 2 = 1 −
√ 2
v) Estudio de la segunda derivada. Concavidad y puntos de inflexi´on.
f
′′ (x) =
d (−(e−x))
dx
= −(−1)e
−x
= e−x,
luego, sabemos que para todo x ∈ dom(f )
f
′′ (x) > 0
en consecuencia, f es convexa en R.
vi) As´ıntotas
- As´ıntotas verticales: no existen as´ıntotas verticales dado que para todo c ∈ dom(f ), l´ım x→c
f (x) 6 = ±∞.
- As´ıntotas horizontales: analicemos el l´ımite de la funci´on en +∞ y en −∞:
l´ım x→+∞
ex^ + 1
ex^
= l´ım x→+∞
ex
= 1 + l´ım x→+∞
ex
= 1 + 0
= 1.
Por lo tanto, la recta con ecuaci´on y = 1 es una as´ıntota horizontal del gr´afico
de f en +∞. En −∞ existe la posibilidad de una as´ıntota oblicua.
- As´ıntota oblicua: Sea y = mx + b la ecuaci´on de la recta que es una as´ıntota
oblicua del gr´afico de f. Luego,
m = l´ım x→−∞
f (x)
x
= l´ım x→−∞
ex^ + 1
ex x
= l´ım x→−∞
x
xex
= 0 + l´ım x→−∞
xex
= l´ım x→−∞
xex
Sea y = ex, luego, x = ln(y); adem´as cuando x tiende a −∞, y tiende a 0+
Finalmente, tenemos
m = l´ım y→ 0 +
y ln(x)
ya que se sabe que l´ım y→ 0 +^
y ln(y) = 0
−
. Con esto se concluye que no hay as´ıntota
oblicua para el gr´afico de f.
vii) Bosquejo. El gr´afico de f es:
− 2 − 1 1 2 3 4
0
− 1
1
2
3
4
y = 1
x ]−∞, +∞[
f ′(x) −
monoton´ıa ց
f ′′(x) +
concavidad ⌣
- Mediante los criterios de la derivada de una funci´on. Bosqueje el gr´afico de:
f : R −→ R
x 7 −→
ex^ − 1
ex^ + 1
i) Dominio. Por el Teorema de caracterizaci´on de funci´on tenemos que dom(f ) = R.
ii) Simetr´ıa (paridad) y periodicidad. El dominio de f es sim´etrico, analicemos:
f (−x) =
e−x^ − 1
e−x^ + 1
f (−x) =
e−x^ − 1
e−x^ + 1
6 = f (x) 6 = −f (x).
Por tanto, f no es par ni impar.
iii) Cortes con los ejes: Para hallar el corte con el eje x, resolvamos la ecuaci´on:
f (x) = 0 ≡
ex^ − 1
ex^ + 1
≡ e
x − 1 = 0
≡ ex^ = 1
≡ x = 0,
y tenemos que
f (0) = 0,
de donde un punto de cruce tanto en el eje x como y es (0, 0).
iv) Estudio de la primera derivada. Intervalos de monoton´ıa, m´aximos y m´ınimos.
f ′(x) =
ex(ex^ + 1) − ex(ex^ − 1)
(ex^ + 1)^2
e^2 x^ + ex^ − e^2 x^ + ex
(ex^ + 1)^2
2 ex
(ex^ + 1)^2
y
l´ım x→−∞
ex^ − 1
ex^ + 1
= l´ım x→−∞
ex^ + 1
= 1 − l´ım x→−∞
ex^ + 1
l´ım x→−∞
(ex^ + 1)
Por lo tanto, las rectas con ecuaciones y = 1 y y = −1 son as´ıntotas horizontales del gr´afico de f en +∞ y en −∞ respectivamente.
- As´ıntota oblicua: Sea y = mx + b la ecuaci´on de la recta que es una as´ıntota oblicua del gr´afico de f. Luego,
m = l´ım x→−∞
f (x)
x
= l´ım x→−∞
ex^ + 1
ex x
= l´ım x→−∞
x
xex
= 0 + l´ım x→−∞
xex
= l´ım x→−∞
xex
Sea y = ex, luego, x = ln(y); adem´as cuando x tiende a −∞, y tiende a 0+
Finalmente, tenemos
m = l´ım y→ 0 +
y ln(x)
ya que se sabe que l´ım y→ 0 +^
y ln(y) = 0
−
. Con esto se concluye que no hay as´ıntota
oblicua para el gr´afico de f.
vii) Bosquejo. El gr´afico de f es:
− 5 − 4 − 3 − 2 − 1 1 2 3 4
0
− 1
− 2
1
y = 1
y = − 1
x ]−∞, 0[ 0 ]0, +∞[
f ′(x) + + +
monoton´ıa ր ր
f ′′(x) + 0 −
concavidad ⌣ ⌢
p.i.
d) Ejercicios o problemas propuestos
Mediante los criterios de la derivada de una funci´on. Bosqueje el gr´afico de:
f : R −→ R
x 7 −→
x^3
(x − 2)^2
f : R+^ −→ R x 7 −→ x +
x
f : R∗^ −→ R
x 7 −→ e
1 x
f : R −→ R
x 7 −→
∣|x| −^2
|x| − 3
f : [−π, π] −→ R
x 7 −→ cos
3 (x) − sen
3 (x).
f : R r {± 3 } −→ R
x 7 −→
x
x^2 − 9
f : R∗^ −→ R
x 7 −→
ln |x|
x
f : R∗^ −→ R
x 7 −→ |x| −
x^2
