Métodos de Integración: Anti derivadas y Cálculo de Integrales Indefinidas - Prof. Alvaron, Diapositivas de Matemáticas

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MATEMÁTICA I

CICLO: 2021-II

SEMANA 10

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

TEMA:

Al término de la sesión el estudiante: ❑ Reconoce el método de integración por partes. ❑ Reconoce el método de sustitución trigonométrica. ❑ Reconoce el método de integración usando descomposición en fracciones parciales. LOGRO DE LA SESIÓN

Concepto de Antiderivada de una función Ejemplos : 1.- La función F x = sen 1 + 𝑥 2

• 𝑒 2 𝑥 2 − 1
• 𝑥 3
• 2 ; es una anti derivada de la función: f x = 𝑥 1 +𝑥^2 cos 1 + 𝑥 2
• 4𝑥𝑒 2 𝑥 2 − 1
• 3 𝑥 2 2.- La función G x = 2 𝑥 3 − 3𝑥 + 1 + +𝐿𝑛𝑥 2
• 5 ; es una anti derivada de la función: g x = 6 𝑥 2 − 3 2 𝑥 3 −3𝑥+ 1 2 𝑥^3 −3𝑥+ 1

2 𝑥 .También son anti derivadas de g x las funciones: 𝐺 1 𝑥 = 2 𝑥 3 − 3𝑥 + 1 + +𝐿𝑛𝑥 2

• 15 𝐺 2 𝑥 = 2 𝑥 3 − 3𝑥 + 1 + +𝐿𝑛𝑥 2
• 38 , … y muchos otros más. Definición : Una función F(x) es llamada Anti derivada de la función f(x) continua sobre el intervalo 𝐼, si se cumple la siguiente igualdad: F ′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 ∀ 𝑥 ∊ 𝐼

ANTIDERIVADA GENERAL

Si F x es una anti derivada de la función f x en el intervalo I ; entonces a la función G x = F x + 𝑐 se le llama anti derivada general de f x DEFINICION .- Si F x es una anti derivada de la función f x en algún intervalo I, es decir que se cumple F ′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 ∀ 𝑥 ∊ 𝐼. Entonces: A su anti derivada general G x = 𝐹 𝑥 + 𝑐 se le llama o define como la INTEGRAL INDEFINIDA de 𝑓 𝑥 y lo denotamos por: G x = (^) ׬ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = F x + 𝑐

Es decir: ׬ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = F x + 𝑐 ⇔ F

′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 ∀ 𝑥 ∊ 𝐼 LA INTEGRAL INDEFINIDA

Ejemplos: Calcular las siguientes integrales : 1 ) (^) ׬ 𝑥 3 − 𝑒 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) 𝑑𝑥 Solución: ׬ 𝑥 3 − 𝑒 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) 𝑑𝑥 = (^) ׬ 𝑑( 1 4

4 − 𝑒 𝑥

1 3 cos 3𝑥 ) = 1 4

4 − 𝑒 𝑥

1 3 cos 3𝑥 + 𝑐 2 ) (^) ׬ 𝑥 2

• 1 )𝑐𝑜𝑠(𝑥 3
• 3𝑥) 𝑑𝑥 Solución: ׬ 𝑥 2
• 1 )𝑐𝑜𝑠(𝑥 3
• 3𝑥) 𝑑𝑥 = 1 3

׬ 𝑑(𝑠𝑒𝑛^ 𝑥

3

• 3 𝑥 ) = 1 3

3

• 3𝑥 + 𝑐

3. (^) ׬ 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥 𝑑𝑥 Solución: ׬ 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥 𝑑𝑥 = 1 2 ׬ 1 +^ cos(4𝑥)^ 𝑑𝑥^ =^ 1 2

׬ 𝑑(𝑥^ +^

1 4

1 𝑥 + 1 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 + 𝑐

PROPIEDADES BÁSICAS DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

3 °) Si: (^) ׬ 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒙 + 𝒄 ⇒ (^) ׬ 𝒇 𝒖 𝒕 𝒖 ′ 𝒕 𝒅𝒕 = 𝑭 𝒖 𝒕 + 𝒄 Es decir: (^) ׬ 𝒇 𝒖 𝒕 𝒖 ′ 𝒕 𝒅𝒕 = 𝑭 φ 𝒙 + 𝒄 (φ= 𝒖 −𝟏 )

𝟒 𝒙 + 𝝅 𝟐

Solución: ׬ 𝒄𝒐𝒔 𝟒 𝒙 + 𝝅 𝟐

𝟒 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = (^) ׬ 𝒔𝒆𝒏 𝟒 𝒙 𝒅(𝒔𝒆𝒏 𝒙 ) = (^) ׬ 𝒅 𝒖 𝟓 𝟓 , con: u = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝟏 𝟓

𝟓

• 𝒄 = 𝟏 𝟓

𝟓 (𝒙) + 𝒄 Por lo tanto: ׬ 𝒄𝒐𝒔 𝟒 𝒙 + 𝝅 𝟐

𝟏 𝟓

𝟓 (𝒙) + 𝒄 3) (^) ׬ 𝟖𝒙 𝟒 𝒆 −𝟑𝒙 𝟓 𝒅𝒙 𝟒) (^) ׬ 𝟐𝐱 𝟔 𝐞 𝟒𝐱 𝟕 𝐝𝐱 𝟓) (^) ׬ 𝟑𝐱 𝟐 𝐞 −𝟓𝐱 𝟑 𝐝𝐱

FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN

Sea u = u(x) una función diferenciable, entonces se cumplen las siguientes propiedades

8. (^) ׬ 𝑡𝑎𝑔(𝑢) 𝑑𝑢 = 𝐿𝑛 sec(𝑢) + 𝑐
9. (^) ׬ 𝑐𝑡𝑎𝑔(𝑢) 𝑑𝑢 = 𝐿𝑛 s𝑒𝑛(𝑢) + 𝑐
10. (^) ׬ 𝑠𝑒𝑐(𝑢) 𝑑𝑢 = 𝐿𝑛 sec 𝑢 + 𝑡𝑎𝑔(𝑢) + 𝑐
11. (^) ׬ 𝑐𝑠𝑒𝑐(𝑢) 𝑑𝑢 = 𝐿𝑛 csec 𝑢 − 𝑐𝑡𝑎𝑔(𝑢) + 𝑐
12. (^) ׬ 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑢) 𝑑𝑢 = 𝑡𝑎𝑔 (𝑢) + 𝑐
13. (^) ׬ 𝑐𝑠𝑒𝑐 2 (𝑢) 𝑑𝑢 = −𝑐𝑡𝑎𝑔 (𝑢) + 𝑐
14. (^) ׬ 1 𝑎^2 +𝑢^2 𝑑𝑢 = 1 𝑎 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑔 ( 𝑢 𝑎 ) + 𝑐 1) (^) ׬ 𝑑𝑢 = 𝑢 + 𝑐 2) (^) ׬ 𝑢 𝑛 𝑑𝑢 = 𝑢𝑛 𝑛+ 1

• 𝑐 ; n ≠ − 1

3. (^) ׬ Τ 1 𝑢 𝑑𝑢^ =^ 𝐿𝑛^ 𝑢^ +^ 𝑐
4. (^) ׬ 𝑎 𝑢 𝑑𝑢 = Τ 𝑎𝑢 𝐿𝑛𝑎 +^ 𝑐
5. (^) ׬ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢

• 𝑐

6. (^) ׬ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = − cos 𝑢 + 𝑐
7. (^) ׬ cos 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝑐

𝑐𝑜𝑠 3 (𝑥) 1 −𝑠𝑒𝑛(𝑥)

Solución: ׬ 𝑐𝑜𝑠 3 (𝑥) 1 −𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 1 −𝑠𝑒𝑛 𝑥

. cos 𝑥 𝑑𝑥 = (^) ׬ 1 −𝑠𝑒𝑛 2 (𝑥) 1 −𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑥) 𝑑𝑥 = (^) ׬ 1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 1 2 ( 1 + sen 𝑥 ) 2 +𝑐 Por lo tanto: ׬ 𝑐𝑜𝑠 3 (𝑥) 1 −𝑠𝑒𝑛(𝑥)

1 2 ( 1 + sen 𝑥 ) 2 +𝑐

3. (^) ׬ 1 𝑥^4 − 16

Solución: Como: 1 𝑎 2 −𝑢 2

1 2𝑎 1 𝑎−𝑢

1 𝑎+𝑢

1 𝑥 4 − 16

1 8

1 4 −𝑥 2

1 4 +𝑥 2

1 8 1 4

𝑥− 2 𝑥+ 2

1 2

𝑥 2

Por lo tanto: (^) ׬ 1 𝑥^4 − 16

1 8 1 4

𝑥− 2 𝑥+ 2

1 2

𝑥 2

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN: Para calcular la integral (^) ׬ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥; por este método hacemos el cambio de variable en el elemento de integración mediante: x = φ 𝑡 ; con φ ′ 𝑡 ≠ 0 ; luego, si la función: g t = f φ 𝑡 φ ′ 𝑡 , admite una primitiva G 𝑡 es decir: 𝐺 ′ 𝑡 = 𝑔 𝑡 = f φ 𝑡 φ ′ 𝑡. Entonces: (^) ׬ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = (^) ׬ f φ 𝑡 φ ′ 𝑡 𝑑𝑡 = (^) ׬ 𝑔 𝑡 𝑑𝑡 = 𝐺 𝑡 + 𝑐 Es decir: (^) ׬ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐺 φ − 1 𝑥 + 𝑐

Integración por sustitución o cambio de variable:

3 ) ׬ 𝑑𝑥 𝑥 𝑥𝑛− 1 Solución: Sea: 𝑥 𝑛 = 1 𝑢^2 ⇒ 𝑛 𝑥 𝑛− 1 𝑑𝑥 = − 2 𝑑𝑢 𝑢^3 Entonces: ׬ 𝑑𝑥 𝑥 𝑥𝑛− 1 = ׬ 𝑛 𝑥𝑛−^1 𝑑𝑥 𝑛 𝑥𝑛^ 𝑥𝑛− 1 = 1 𝑛 ׬ − 2 𝑢^3 1 𝑢^2 1 𝑢^2 − 1 𝑑𝑢 = − 2 𝑛 ׬ 𝑑𝑢 1 −𝑢^2 = − 2 𝑛 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 1 𝑥𝑛^

• 𝑐 Por lo tanto: (^) ׬ 𝑑𝑥 𝑥 𝑥𝑛− 1 = − 2 𝑛 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 1 𝑥𝑛^
• 𝑐

4. (^) ׬ cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 3 − 5𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 Solución: Sea: u = 3 − 5se𝑛 x ⇒ du = − 5 cos 𝑥 𝑑𝑥 Entonces: (^) ׬ cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 3 − 5𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = − 1 5 ׬ −^5 cos^ 𝑥^ 𝑠𝑒𝑛^3 −^ 5𝑠𝑒𝑛(𝑥)^ 𝑑𝑥 = - 1 5 ׬ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = 1 5 cos 𝑢 + 𝑐 Por lo tanto: ׬ cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 3 − 5𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = 1 5 cos 𝑢 + 𝑐

Este método nos permitirá resolver integrales de funciones que pueden expresarse como producto de una función por la derivada de otra. Más precisamente, deduciremos la fórmula de integración por partes a partir de la regla para derivar un producto de dos funciones:

Método: Integración por partes:

 f^ ( ) x g x^ ( ) ´^  =^ f^ ´( ) x g x^ ( )^^ + f^ ( ) x g^^ '( ) x Integrando en ambos lados:

 f^ ( ) x g x^ ( ) ´^  dx^^ =^ f^ ´( ) x g x^ ( )^^ dx^ + f^ ( ) x g^^ '( ) x^ dx

   obtenemos: y despejando la segunda integral: Así obtenemos la FÓRMULA DE INTEGRACIÓN POR PARTES.

f ( ) x g x ( ) = f ´( ) x g x ( ) dx + f ( ) x g '( ) x dx

 

f ( ) x g '( ) x dx = f ( ) x g x ( ) − f ´( ) x g x ( ) dx

 

f Determine las siguientes integrales:

d x + dx c x e dx b x x dx a x xdx x ) ln( 2 1 ) ) ) ln ) sen 2 2

1 °) INTEGRALES DE LA FORMA: ׬ 𝑠𝑒𝑛

𝑛 𝑥 𝑑𝑥 ; (^) ׬ 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 En este caso consideramos: i) Si n es un entero par positivo, usamos las siguientes identidades: 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 = 1 −cos(2𝑥) 2

2 𝑥 = 1 +cos(2𝑥) 2 Calcular: (^) ׬ 𝑠𝑒𝑛 4 𝑥 𝑑𝑥 Solución. (^) ׬ 𝑠𝑒𝑛 4 𝑥 𝑑𝑥= (^) ׬ 1 −cos(2𝑥) 2 2 𝑑𝑥 = 1 4 ׬ 1 −^2 cos^ 2𝑥^ +^ 𝑐𝑜𝑠 2 (2𝑥 )𝑑𝑥 = 3 𝑥 8

1 32

Integrales de las funciones trigonométricas Ejemplo: