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ÁLGEBRA LINEAL Tema 2. Espacios Vectoriales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 1 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS
SUBTEMA. COMBINACIÓN Y DEPENDENCIA LINEAL
Problema 1: Sea el conjunto A = { u v w , , }, donde u = ( 2,1), v = ( 2, 4) y w = ( 5, 4).
Representar al vector w como combinación lineal de los vectores u y v.
SOLUCIÓN:
1 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
Con la ecuacion de combinacion lineal:
Sustituyendo valores: 5, 4 2,1 2, 4 5, 4 2 , 2 , 4 5, 4 2 2 , 4
w u v
= α + α
- = α + α = α α + α α = α + α α + α
1 2 1 2
Igualando terminos: 2 2 5 4 4
α + α = α + α =
2
1 2 1 1
Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior matricialmente:
2 2 5 1 4 4 1 4 4 1 4 4 0 6 3 0 1 1/ 2 1 2 4 4 4 2 2
Por tanto: 2 1 2 w u v
⎜ ⎟ →^ ⎜ − − ⎟ →⎜ ⎟
α =
α + α = → α = − → α =
= + (^) Combinación lineal pedida
ÁLGEBRA LINEAL Tema 2. Espacios Vectoriales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 2 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS
Problema 2: Determinar si el siguiente conjunto de vectores de R 3 :
A = (^) { ( −1,0, 2 , 0, (^) ) ( − 4, 2 , 2,0,) ( − (^4) )}
es linealmente dependiente o independiente.
SOLUCIÓN:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Con la ecuacion de dependencia lineal: 0
Sustituyendo valores: 1,0, 2 0, 4, 2 2,0, 4 0 2 , 4 , 2 2 4 0,0,
Igualando terminos: 2 0 4 0 2 2 4 0
u v w
α + β + γ =
- α − + β − + γ − = −α + γ − β α + β − γ =
- − α + γ = − β = α + β − γ =
Resolviendo el sistema anterior matricialmente: 1 0 2 1 0 2 1 0 2 0 4 0 0 1 0 0 1 0 2 2 4 0 2 0 0 0 0
De donde se obtiene: 0 0 0 2 0 2
a R
a
- ⎛ −^ ⎞ ⎛ −^ ⎞ ⎛ − ⎞ ⎜ (^) − ⎟ (^) → ⎜ ⎟ (^) →⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ − ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
- γ = → γ = ∈ β = α − γ = → α =
- Los escalares α y γ son diferentes de cero, por tanto, el conjunto “A” es linealmente dependiente (es un conjunto generador).
ÁLGEBRA LINEAL Tema 2. Espacios Vectoriales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 4 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS
Problema 4: Para el conjunto: A = (^) {( k − (^5) ) x^2^ + x , 2 x^2^ − 2 x + 3, 2 x^2 + 3 x − (^3) }
Obtener el valor de k ∈ R , tal que “A” sea linealmente dependiente.
SOLUCIÓN:
1 2 3
Con la ecuacion de dependencia lineal: a a a 0
( ) (^) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
Sustituyendo valores: 5 2 2 3 2 3 3 0
Aplicando isomorfismo y realizando operaciones: 5,1, 0 2, 2,3 2,3, 3 0, 0, 0 5 2 2 , 2 3 ,3 3 0, 0, 0
k x x x x x x
k k
α ⎡⎣^ − + ⎤⎦+ β − + + γ + − =
α − + β − + γ − = α − α + β + γ α − β + γ β − γ =
( )
( )
( )
Igualando terminos: 5 2 2 0 2 3 0 3 3 0
Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior matricialmente: 1 2 3 5 1 2 3 1 2 3 5 2 2 0 2 8 3 17 0 1 1 0 3 3 0 1 1 2 8 0 0 9
k
k k k k k k
- α − + β + γ = α − β + γ = β − γ =
⎛ −^ ⎞ −^ + ⎛ −^ ⎞ ⎛ − ⎞ ⎜ (^) − ⎟ (^) → ⎜ (^) − − + ⎟ (^) → ⎜ (^) − ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ −^ ⎠ ⎝ −^ ⎠ −^ + ⎝ −^ + ⎠
( )
Del ultimo renglon de la matriz escalonada anterior se observa que: k 9 0
− + γ =
Donde se debe cumplir que: 0 y k 9 0
γ ≠ − + =
- Por tanto, para que A sea linealmente dependiente: k = 9.
A es linealmente dependiente
ÁLGEBRA LINEAL Tema 2. Espacios Vectoriales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 5 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS
Problema 5: Sea A = { u, , v w } un conjunto de vectores linealmente independiente de un
espacio vectorial “V”. Determinar si el conjunto de vectores B = { u − 2 v + w u , + v u , − v }
es linealmente dependiente o independiente.
SOLUCIÓN:
1 2 3
Ecuacion de dependencia lineal para la base "B": 0 Sustituyendo valores: 2 0 2 0
b b b
u v w u v u v u v w u v u v
α + β + γ =
- α − + + β + + γ − = α − α + α + β + β + γ − γ =
Factorizando: 2 0
"A" es linealmente independiente, por tanto: 0 2 0 0
u v w se obtiene la ecuacion de dependencia lineal para A
α + β + γ + − α + β − γ + α = ←
α + β + γ = − α + β − γ = α =
Resolviendo matricialmente: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 0 3 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 2 0 0 1
⎝ ⎠ ⎝ −^ −^ ⎠ ⎝ − ⎠ ⎝ ⎠
- De la matriz escalonada anterior, se obtiene que: γ = 0 β + γ = 0 → β = 0 α + β + γ = 0 → α = 0
- Los escalares α, β y γ son iguales a cero, por tanto, el conjunto “B” es linealmente independiente (es una base).
