Combinaciones - Apuntes - Matemática discreta, Apuntes de Matemática Discreta

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Apuntes de Matem´atica Discreta

5. Combinaciones. Teorema del Binomio

Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez

C´adiz, Octubre de 2004

Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas

ii

Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas

Adem´as cada una de ellas estar´a repetida P 52 − 5 veces, luego por la regla del producto, dentro de las P 52 ordenaciones habr´a un total de P 5 · P(52−5) ordenaciones iguales. As´ı pues, el n´umero de manos distintas, M , por el n´umero de veces que se repite cada una ser´a igual al total de ordenaciones posibles de las 52 cartas, es decir, M · P 5 · P 52 − 5 = P 52

de aqu´ı que

M =

P 52

P 5 · P(52−5)

sea el n´umero de manos diferentes de cinco cartas que pueden obtenerse. La nueva situaci´on nos sit´ua ante la definici´on de combinaci´on que ahora veremos.

5.1.1 Definici´on

Dada una colecci´on de m objetos a 1 , a 2 ,... , am− 1 , am distintos y un n´umero entero positivo n 6 m, llamaremos combinaci´on de orden n a cualquier subcolecci´on, a 1 , a 2 ,... , an de n objetos de la colecci´on dada.

Dos combinaciones ser´an distintas si alg´un o algunos elementos de uno de los grupos no se encuentra en el otro, es decir, si difieren en alg´un o algunos elementos.

5.1.2 Formaci´on y n´umero de combinaciones

Al n´umero de combinaciones de orden n de una colecci´on de m objetos, lo designaremos por Cm,n y diremos que es el n´umero de combinaciones de m elementos tomados n a n. Su n´umero es

Cm,n =

m! n!(m − n)!

Demostraci´on

Procederemos por inducci´on para formar las combinaciones de m elementos tomados n a n y calcular su n´umero.

Paso b´asico. Para n = 1, las combinaciones de orden 1, ser´an:

a 1 a 2 a 3...... an

para n = 2, obtendremos las combinaciones de orden dos de m elementos. Estas podr´an obtenerse a˜nadiendo a cada combinaci´on de orden 1 los elementos que le siguen, uno a uno, es decir,

a 1 a 2 a 1 a 3 a 1 a 4 · · · · · · a 1 an a 2 a 3 a 2 a 4 · · · · · · a 2 an a 3 a 4 · · · · · · a 3 an .. . an− 1 an

Supuestas formadas las de orden n − 1, de modo que en cada una aparezcan los ´ındices ordenados de menor a mayor, las combinaciones de orden n, se obtienen a˜nadiendo a cada combinaci´on de orden n − 1 cada uno de los elementos posteriores al ´ultimo de los que en ella figuren.

De esta forma, todas las combinaciones n-arias as´ı formadas son distintas, bien porque proceden de combinaciones de orden n − 1, o bien, por tener diferente el ´ultimo elemento.

Matem´atica Discreta Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez

Adem´as se obtienen todas las posibles, pues si faltara alguna, separando en una cualquiera de ellas el ´ultimo elemento nos quedar´ıa una combinaci´on de orden n − 1 que no habr´ıa figurado entre las que nos hab´ıan servido de partida de orden n − 1 en contra de la hip´otesis.

Calculemos ahora el n´umero de combinaciones.

Supongamos formadas todas las combinaciones de orden n de m elementos, es decir, Cm,n. Si en cada combinaci´on permutamos de todos los modos posibles los n elementos que figuran en ella, obtendr´ıamos todas las variaciones posibles de esos m elementos tomados n a n. As´ı pues, cada combinaci´on da lugar a Pn variaciones, por tanto,

Vm,n = Cm,n · Pn =⇒ Cm,n =

Vm,n Pn

m! (m−n)! n!

m! n!(m − n)!

Al n´umero resultante se le llama n´umero combinatorio y se nota en la forma ( m n

m! n!(m − n)!

Ejemplo 5.1 Se dispone de doce puntos en un plano de tal manera que tres cualesquiera de ellos no est´an alineados.

(a) ¿Cu´antas rectas determinan dichos puntos? (b) ¿Cu´antas de las rectas anteriores pasan por un determinado punto a? (c) ¿Cu´antos tri´angulos contienen al punto a como v´ertice?

Soluci´on

Recordemos que dos puntos cualesquiera del plano determinan una recta y que un tercer punto, o bien est´a alineado con los otros dos, en cuyo caso pertenece a la recta que ambos determinan, o bien no lo est´a, y en tal caso, determina con los otros puntos, dos rectas, una con cada uno de ellos. Dado que disponemos de doce puntos y tres cualesquiera de ellos no est´an alineados, podremos asegurar que cada dos de ellos determinan una recta distinta de las dem´as.

(a) Supongamos que los puntos son a, b, c, d, e, f, g, h, i, j y k y notemos ad como la recta que determinan los puntos a y d. Pues bien, ad y por da son iguales ya que la recta que determinan a y d es la misma que la determinada d y a, por tanto el orden en que tomemos los puntos no influye en la recta que ambos determinan. Sin embargo, los puntos a y d determinan una recta distinta de la que determinan d y e que, a su vez, es distinta de la que determinan a y f , por tanto el cambio de alg´un o algunos puntos influye en el hecho de que las rectas que determinan sean distintas. Consecuentemente, las rectas que determinan los doce puntos ser´ıan combinaciones de orden dos elegidas entre ellos y C 12 , 2 =

ser´a el n´umero de rectas distintas que hay.

(b) Bastar´ıa dejar fijo el punto a y trazar una recta a cada uno de los restantes once puntos, luego habr´a, en total, once rectas que pasan por dicho punto. (c) Cada tres puntos no alineados en el plano determinan un tri´angulo que los tiene como v´ertices. Dejando fijo el punto a, bastar´ıa calcular las combinaciones de orden dos de los once puntos restantes y obtendr´ıamos

C 11 , 2 =

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Ejemplo 5.3 Para hacer un apuesta de la Loter´ıa Primitiva hay que marcar seis n´umeros elegidos entre el 1 y el 49. ¿De cu´antas formas diferentes puede marcar una persona 6, 5, 4 ´o 3 n´umeros?

Soluci´on

Supongamos que marcamos los n´umeros 2, 3, 5, 7, 11 y 13 en este orden. Si los hubi´eramos marcado en cualquier otro orden la apuesta ser´ıa la misma. Sin embargo, cambiando alg´un o algunos n´umeros de ´estos por otros, tendr´ıamos una apuesta distinta.

Por tanto, las apuestas que pueden hacerse ser´an combinaciones de orden seis elegidas entre los cuarenta y nueve n´umeros disponibles.

♦ Marcando seis n´umeros, el resultado ser´a

C 49 , 6 =

formas diferentes.

♦ Cinco n´umeros se podr´an marcar de

C 49 , 5 =

formas diferentes.

♦ An´alogamente, cuatro n´umeros se podr´an marcar de

C 49 , 4 =

formas distintas.

♦ Finalmente, podremos marcar tres n´umeros de

C 49 , 3 =

formas diferentes. 

Ejemplo 5.4 Demostrar que si n es un n´umero entero positivo, entonces

C 2 n,n + C 2 n,n− 1 =

C 2 n+2,n+

Soluci´on

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C 2 n,n + C 2 n,n− 1 =

2 n n

2 n n − 1

2 n! n! · n!

2 n! (n − 1)! · (n + 1)!

2 n! · (n + 1) n! · (n + 1)!

2 n! · n n! · (n + 1)!

2 n! · (2n + 1) n! · (n + 1)!

(2n + 1)! n! · (n + 1)!

(2n + 1)! · (2n + 2) (2n + 2) · n! · (n + 1)!

(2n + 2)! (n + 1)! · (n + 1)!

2 n + 2 n + 1

C 2 n+2,n+



Ejemplo 5.5 Se quiere elegir un comit´e de doce personas de un grupo formado por diez hombres y diez mujeres. Decir de cu´antas formas puede hacerse la elecci´on

(a) Si no hay restricciones. (b) Si debe haber 6 hombres y 6 mujeres.

(c) Si debe haber un n´umero par de mujeres.

(d) Si debe haber 8 hombres como m´ınimo.

Soluci´on

Se quieren elegir doce personas de entre las veinte que forman el grupo. Obviamente, el orden en el que se elijan no influye en la composici´on del comit´e, aunque ´este si var´ıa cuando cambiamos alguna o algunas personas. Se trata, por tanto, de combinaciones de orden doce escogidas de entre las veinte personas.

(a) Si no hay restricciones, quiere decir que la composici´on del comit´e puede ser cualquiera, luego la elecci´on puede hacerse de C 20 , 12 =

(b) Si en el comit´e debe haber seis hombres y seis mujeres, elegimos seis hombres de entre los diez que hay en el grupo y para cada uno de ellos se eligen seis mujeres de entre las diez que hay en el mismo. Los seis hombres pueden elegirse de C 10 , 6 formas distintas y para cada una de estas combinaciones habr´a C 10 , 6 formas distintas de elegir a las mujeres, consecuentemente, por la regla del producto, la elecci´on del comit´e podr´a hacerse de

C 10 , 6 · C 10 , 6 =

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5.2 Teorema del Binomio

Si n es un n´umero entero positivo, entonces,

(a + b)n^ =

∑^ n

k=

n k

akbn−k

Demostraci´on

Observemos lo siguiente:

(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a · a + a · b + b · a + b · b

donde hemos multiplicado el primer sumando (la a) del primer factor (a + b) por los dos del segundo y luego el segundo sumando (la b) del primer factor por los dos del segundo. De esta forma vemos que en cada uno de los cuatro sumandos que configuran el resultado figura uno, y s´olo un elemento de cada factor. El siguiente diagrama resume la situaci´on.

a

b

a• a^2

• (^) b ab

a • ba

• (^) b b^2

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Procediendo de forma id´entica,

(a + b)^3 = (a + b)(a + b)(a + b) = a · a · a + a · a · b + a · b · a + a · b · b + b · a · a + b · a · b + b · b · a + b · b · b

y un diagrama similar al anterior ser´ıa,

a

b

a

b

a

b

a • a^3

a^2 b

b a^ • a^2 b

• b ab^2

a • a^2 b

• b ab^2

a • ab^2

b^3

b

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3

Matem´atica Discreta Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez

y el siguiente ´arbol nos permitir´ıa escribir el desarrollo de (a + b)^4.

a

b

a

b

a

b

a• • b a• • b a• • b a• • b

a• a^4

• b a^3 b

a• a^3 b

• b a^2 b^2

a• a^3 b

a^2 b^2

b a• a^2 b^2

ab^3

b a• a^3 b

a^2 b^2

b a• a^2 b^2

ab^3

b a• a^2 b^2

ab^3

b a• ab^3

b^4

b

(a + b)^4 = a^4 + 6a^2 b^2 + 4ab^3 + b^4

Obs´ervese que al elegir una letra, y s´olo una (la a o la b), de cada factor, todos y cada uno de los factores resultantes han de tener el mismo n´umero de letras, dos en (a + b)^2 , tres en (a + b)^3 , cuatro en (a + b)^4 y as´ı sucesivamente. Veamos un ejemplo de lo que decimos e intentemos sacar alguna conclusi´on.

Supongamos que queremos saber el coeficiente de alguno de los sumandos del desarrollo de (a+b)^7. Como hemos visto todos tendr´an siete letras. Consideremos por ejemplo ababaaa, es decir a^5 b^2 y fij´emonos ´unicamente en las aes. Teniendo en cuenta que cada una de ellas pertenece a un ´unico factor y llamando a ´estos f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 , f 6 y f 7 para calcular todas las opciones posibles, podemos utilizar el siguiente esquema:

a a a a a f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 2 f 1 f 5 f 3 f 5 f 7 f 6 f 3 f 2 f 4 .. .

Por lo tanto, el n´umero de veces que se repetir´a a^5 (y, consecuentemente, a^5 b^2 ) es igual al n´umero de grupos de 5 factores que podamos elegir entre los 7 de que disponemos y de tal forma que el orden no influye en el hecho de que dos grupos sean distintos, es decir, el coeficiente de a^5 b^2 en el desarrollo de (a + b)^7 es C 7 , 5.

Un razonamiento id´entico nos permite decir que el coeficiente de a^3 b^4 en el mismo desarrollo es C 7 , 3 , y as´ı podemos calcular los coeficientes de todos los sumandos.

Este mismo razonamiento puede utilizarse para calcular el coeficiente de cualquier sumando en el desar- rollo de (a + b)n. Si k es cualquier n´umero entero entre 0 y n, el sumando akbn−k^ tiene la a repetida k veces correspondiendo una, y s´olo una, a cada factor, luego son grupos de k elementos (factores) elegidos entre n (total de factores) y donde el orden no importa. Por lo tanto su n´umero es Cn,k.

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El conjunto

A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ An =

⋃^ n

k=

Ak

estar´a formado por todos los resultados en los que aparezcan una, dos,.. ., o n caras. Por tanto, el n´umero pedido es el cardinal de dicho conjunto. Como los Ak son disjuntos dos a dos, por el principio de adici´on, ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

⋃^ n

k=

Ak

∑^ n

k=

|Ak|

El esquema siguiente nos ayudar´a a calcular |Ak| para 1 6 k 6 n.

c c c

(k · · · c c 1 2 3 · · · k − 1 k 2 3 k · · · 1 k − 1 2 n 3 · · · n − 1 1 .. .

Ser´an todos los grupos de k lanzamientos que podamos elegir entre los n, de tal forma que el orden no influye en el hecho de que dos grupos sean distintos (obs´ervese que las dos primeras filas de la tabla anterior significan lo mismo aunque est´en en distinto orden). Por lo tanto,

|Ak| = Cn,k.

De aqu´ı que (^) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

⋃^ n

k=

Ak

∑^ n

k=

|Ak|

∑^ n

k=

Cn,k

∑^ n

k=

n k

∑^ n

k=

n k

1 k^ · 1 n−k^ −

n 0

= 2 n^ − 1

Ejemplo 5.8 ¿De cu´antas maneras puede elegir un profesor a uno o m´as estudiantes entre seis?

Soluci´on

Sean a, b, c, d, e y f los seis estudiantes y supongamos que el profesor elige a un grupo de tres, abc. Es obvio que el orden en que los escoja no influye en el grupo elegido, sin embargo el cambio de alg´un o algunos estudiantes si influye ya que los grupos abc y ade son distintos.

Por tanto, las formas de elegir los estudiantes ser´an combinaciones de orden k seleccionadas de entre los seis estudiantes, siendo 1 6 k 6 6, por tanto el profesor dispone de

∑^6

k=

C 6 ,k =

∑^6

k=

k

∑^6

k=

k

∑^6

k=

k

1 k 16 −k^ −

= (1 + 1)^6 − 1 = 2^6 − 1 = 63

maneras distintas de elegir a uno o m´as estudiantes entre seis. 

Ejemplo 5.9 Para elaborar una pizza podemos utilizar, adem´as de queso y tomate, los siguientes ingredientes: carne, champi˜nones, pimientos, cebolla, salami y anchoas. Decir cu´antas pizzas diferentes es posible elaborar en los casos siguientes:

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(a) pueden tener desde todos a ning´un ingrediente.

(b) tienen al menos, champi˜nones y anchoas.

(c) no tienen ni carne ni salami.

Soluci´on

Dos pizzas ser´an distintas cuando en su elaboraci´on utilicemos, adem´as de queso y tomate, diferentes ingredientes. El orden en que se utilizan los mismos no es relevante, por tanto las diferentes pizzas ser´an combinaciones de orden n elegidas entre los seis ingredientes de que se disponen.

(a) Si pueden tener desde todos a ning´un ingrediente, entonces n variar´a entre seis y cero, por tanto, el n´umero total de pizzas diferentes

∑^6

n=

C 6 ,n =

∑^6

n=

n

∑^6

n=

n

1 n^ · 16 −n^ = (1 + 1)^6 = 2^6 = 64

(b) Si han de intervenir en su composici´on, champi˜nones y anchoas, entonces le a˜nadimos estos dos ingredientes a todas las posibles pizzas que puedan elaborarse con los otros cuatro. El total de pizzas diferentes ser´a, utilizando el mismo razonamiento que en (a),

∑^4

n=

C 4 ,n =

∑^4

n=

n

∑^4

n=

n

1 n^ · 14 −n^ = (1 + 1)^4 = 2^4 = 16

(c) Al no tener carne ni salami, el total de pizzas diferentes ser´a igual al anterior ya que tendr´ıamos cuatro ingredientes, luego ∑^4

n=

C 4 ,n = 16

es el total de pizzas diferentes que no llevan carne ni salami. 

Ejemplo 5.10 ¿Cu´antos subconjuntos tiene un conjunto con n elementos?

Soluci´on

Elegido cualquier subconjunto del conjunto dado, el orden en que est´en situados los elementos en el mismo es irrelevante luego dos subconjuntos ser´an distintos si, y s´olo s´ı se diferencian en, al menos, un elemento, de aqu´ı que los subconjuntos con k elementos sean las combinaciones de orden k que puedan elegirse entre los n elementos del conjunto dado, siendo 0 6 k 6 n.

Obs´ervese que k = 0 se corresponde con subconjuntos con cero elementos, es decir, el conjunto vac´ıo.

Pues bien, de acuerdo con este razonamiento, el n´umero de subconjuntos que tiene un conjunto con n elementos ser´a

∑^ n

k=

Cn,k =

n 0

∑^ n

k=

n k

∑^ n

k=

n k

1 n 1 n−k^ = (1 + 1)n^ = 2n

Ejemplo 5.11 Dado el conjunto A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }, determinar el n´umero de

(a) subconjuntos de A.

(b) subconjuntos no vac´ıos de A.

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que consideraremos distinta de la

1 + 5 + 2 = 8

y otra podr´ıa ser

7 + 1 = 8

Las descomposiciones m´as extremas ser´ıan en un ´unico sumando

8 = 8

y en ocho sumandos

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8.

As´ı pues habr´a que calcular cu´antas descomposiciones pueden hacerse con 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 y 8 sumandos y luego sumarlas todas. Calcularemos el n´umero de descomposiciones con k sumandos donde k var´ıa entre 1 y 8.

El n´umero de descomposiciones que hay con k sumandos ser´a igual al n´umero de soluciones de la ecuaci´on,

x 1 + x 2 + · · · · · · + xk = 8, 1 6 k 6 8

donde xi > 0 , i = 1, 2 ,... , k, ya que si alguna de las xi fuese cero, entonces no habr´ıa k sumandos sino k − 1. Pues bien,

xi > 0 =⇒ xi > 1 =⇒ xi − 1 > 0

y haciendo yi = xi − 1 y sustituyendo, tendremos que

y 1 + 1 + y 2 + 1 + · · · · · · + yk + 1 = 8

es decir,

y 1 + y 2 + · · · · · · + yk = 8 − k, con yi > 0 , i = 1, 2 ,... , k

luego el problema se reduce a calcular el n´umero de soluciones enteras no negativas de la ecuaci´on anterior que, como ya sabemos, es

P Rkk−−^1 1+8,^8 −−kk = P Rk 7 −^1 ,^8 −k, para 1 6 k 6 8

Por lo tanto, el n´umero total de descomposiciones, ser´a

∑^8

k=

P R^87 − k,k−^1 =

∑^8

k=

(k − 1)!(8 − k)!

∑^8

k=

k − 1

∑^7

k=

k

∑^7

k=

k

1 k^ · 17 −k

= (1 + 1)^7

Matem´atica Discreta Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez

5.2.1 Proposici´on

Si n y k son dos n´umeros enteros no negativos tales que 0 6 k 6 n, entonces, ( n + 1 k

n k

n k − 1

Demostraci´on

Sea A un conjunto con n elementos y B un conjunto con un s´olo elemento, por ejemplo, B = {b} y tal que b no pertenezca a A. Entonces, A ∩ B = ∅ y si C = A ∪ B, por el principio de adici´on, tendremos que |C| = |A| + |B| = n + 1.

Pues bien, sea P el conjunto formado por todos los subconjuntos de C con k elementos, es decir,

P = {X ⊆ C : |X| = k}

y sea X cualquiera de P. Hay dos opciones:

Los k elementos de X son de A, es decir X es un elemento de

Q = {X ⊆ A : |X| = k}

o

los k elementos de X son k − 1 de A y b es elemento que le falta, o sea es un elemento de

R = {X = D ∪ B : D ⊆ A, |D| = k − 1 }.

Adem´as, P = Q ∪ R, con Q ∩ R = ∅

luego por el principio de adici´on, |P | = |Q| + |R|

pero, |P | = Cn+1,k |Q| = Cn,k |R| = Cn,k− 1

de aqu´ı que Cn+1,k = Cn,k + Cn,k− 1

es decir, (^) ( n + 1 k

n k

n k − 1

5.2.2 F´ormula de Pascal

Si n y k son dos enteros positivos tales que 1 6 k 6 n − 1 , entonces ( n k

n − 1 k

n − 1 k − 1

Demostraci´on

Matem´atica Discreta Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez

5.2.3 Tri´angulo de Pascal

Con la f´ormula de Pascal puede obtenerse un m´etodo para el c´alculo de los coef icientes del desarrollo de (a + b)n.

En efecto, si tenemos en cuenta que para cualquier entero no negativo n se verifica que ( n 0

n n

y los tomamos como valores inicial y final, respectivamente, los coeficientes de las sucesivas potencias de (a + b)n^ pueden distribuirse en una figura que se conoce como tri´angulo de Pascal.^2

( 0 0

que desarrollando los n´umeros combinatorios, resulta

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

.......................................

Todas y cada una de las filas empiezan y terminan con 1 y cualquier otro n´umero en el tri´angulo es suma de los dos que est´an encima suya. 

5.3 Combinaciones con Repetici´on

Supongamos que disponemos de m objetos a 1 , a 2 ,... , am y que son bocadillos.

Supongamos, tambi´en, para fijar ideas supongamos que m = 4, es decir, hay cuatro clases distintas de bocadillos, por ejemplo a 1 es de jam´on (j), a 2 de chorizo (c), a 3 de salchich´on (s) y a 4 de tortilla (t).

(^2) Figura en el Trait´e du Triangle Arithm´etique publicado por Pascal en 1665. Tambi´en recibe el nombre de tri´angulo de Yang Hui’s, en honor al matem´atico chino que lo descubri´o en 1261. El matem´atico Chu Shih-Chieh, tambi´en chino, lo incluye en su libro El espejo precioso de los cuatro elementos de 1303.

Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas

Supongamos que diez estudiantes de Matem´atica Discreta entran en la cafeter´ıa de la Escuela dispuestos a comerse un bocadillo cada uno.

¿De cu´antas maneras distintas pueden pedir los bocadillos los estudiantes?

Designaremos con las letras c, j, s y t a los bocadillos de chorizo, jam´on, salchich´on y tortilla, respectiva- mente. Uno de los pedidos puede ser cccjjstttt que, obviamente, es igual al pedido ccjcstttt y distinto al ccjjssttt. El orden, por tanto, es irrelevante y lo ´unico que hace a dos peticiones distintas es el cambio de alg´un o algunos elementos entre los que no sean iguales entre s´ı.

Estamos, pues, ante un problema de combinaciones, aunque los elementos pueden repetirse, luego no podremos utilizar lo estudiado en el apartado anterior.

Calcularemos este n´umero con el m´etodo siguiente: a cada grupo de diez elementos le hacemos corre- sponder otro de catorce elementos escribiendo tantos unos como elementos distintos haya en los grupos, seguidos de tantos ceros como veces se repita el elemento en el mismo.

En nuestro ejemplo, hay cuatro clases de bocadillos que lo supondremos ordenados en la forma csjt, luego habr´a cuatro unos, as´ı, la petici´on, cjjtttccss se corresponder´a con el grupo, 10001001001000. La siguiente tabla representa alguna de las peticiones y los grupos de ceros y unos correspondientes.

A B

cccjjcjctt 10000011000100

cccjjtttss 10001001001000

ssssjjjjjj 11000010000001

tttttttttt 11110000000000

En la columna A tenemos todas las combinaciones con repetici´on de cuatro elementos tomados diez a diez y su n´umero coincidir´a con el n´umero de grupos distintos que haya en la columna B.

Obs´ervese que los grupos de la columna B comienzan todos con un uno. Para calcular cu´antos grupos hay podemos prescindir de la primera posici´on y quedan, por tanto, trece elementos, de los cuales tres son unos y los diez restantes son ceros. Consecuentemente, el n´umero total de grupos es igual al de permutaciones con repetici´on de trece elementos donde hay tres iguales entre s´ı y distintos a otros diez, tambi´en iguales entre s´ı, por tanto, el n´umero ser´a

P R^313 ,^10

As´ı pues,

CR 4 , 10 = P R^313 ,^10 =

Las combinaciones con repetici´on se definen de la misma forma que las combinaciones simples, salvo que ahora, no es necesario que todos los elementos sean distintos. Por tanto, dos combinaciones con repetici´on ser´an iguales cuando est´en formadas por los mismos elementos repetidos igual n´umero de veces.

5.3.1 Definici´on

Llamaremos combinaciones con repetici´on de orden n definidas en un conjunto A con m elementos, a los diferentes grupos de n elementos, iguales o distintos, que pueden formarse con los m elementos dados, de modo que dos grupos sean distintos cuando difieran, al menos, en un elemento.

El orden n de una combinaci´on con repetici´on puede ser mayor que el n´umero de elementos con los cuales se forma. Cuando n 6 m, entre las combinaciones con repetici´on figuran las combinaciones simples del mismo orden.