Relaciones - Apuntes - Matemática discreta, Apuntes de Matemática Discreta

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Apuntes de Matem´atica Discreta

6. Relaciones

Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez

C´adiz, Octubre de 2004

Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas

ii

Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas

En esta lecci´on desarrollaremos algunas de las herramientas fundamentales y los conceptos asociados a las relaciones.

6.1 Generalidades

Hemos estudiado ya dos relaciones importantes entre proposiciones: la implicaci´on y la equivalencia. Tambi´en hemos estudiado la relaci´on de subconjunto para conjuntos. En ´algebra y c´alculo son impor- tantes las relaciones entre variables; en geometr´ıa lo son las relaciones entre figuras. Hasta el momento no hemos necesitado una definici´on precisa de la palabra relaci´on. Sin embargo, sin una definici´on formal es dif´ıcil responder preguntas sobre relaciones. ¿Qu´e se quiere dar a entender, por ejemplo, cuando se dice que dos relaciones aparentemente diferentes son iguales?

En la realidad que nos circunda existen relaciones entre elementos, entre conjuntos y entre elementos y conjuntos. Existen relaciones de parentesco, de amistad, de paisanaje, etc., entre personas; relaciones diplom´aticas, econ´omicas, etc., entre pa´ıses; relaciones de paralelismo o de perpendicularidad entre rectas de un plano; relaciones de inclusi´on entre conjuntos; relaciones como “mayor que” o “menor o igual que” entre n´umeros, etc. La matem´atica intenta, como ahora veremos, hacerse eco de tales sucesos y, mediante un proceso de abstracci´on, expresarlas y estudiarlas cient´ıficamente.

6.1.1 Relaci´on

Sean los conjuntos A 1 , A 2 ,... , An. Una relaci´on R sobre A 1 × A 2 × · · · × An es cualquier subconjunto de este producto cartesiano, es decir,

R ⊆ A 1 × A 2 × · · · × An

Si R = ∅, llamaremos a R, la relaci´on vac´ıa.

Si R = A 1 × A 2 × · · · × An, llamaremos a R la relaci´on universal.

Si Ai = A, ∀i = 1, 2 ,... , n, entonces R es una relaci´on n-aria sobre A.

Si n = 2, diremos que R es una relaci´on binaria y si n = 3, una relaci´on ternaria.

6.1.2 Igualdad de Relaciones

Sean R 1 una relaci´on n-aria sobre A 1 ×A 2 ×· · ·×An y R 2 una relaci´on n-aria sobre B 1 ×B 2 ×· · ·×Bm. Entonces R 1 = R 2 si, y s´olo si n = m y Ai = Bi, ∀i = 1, 2 ,... , n y R 1 y R 2 son conjuntos de n-tuplas ordenadas iguales.

6.2 Relaciones Binarias

La clase m´as importante de relaciones es la de las relaciones binarias. Debido a que este tipo de relaciones son las m´as frecuentes, el t´ermino “relaci´on” denota generalmente una relaci´on binaria; adoptaremos este criterio cuando no haya confusi´on y especificaremos las que no sean binarias con t´erminos tales como “ternaria” o “n-aria”.

Si (a, b) ∈ R diremos que a est´a relacionado con b y lo notaremos por aRb.

Si (a, b) ∈/ R, escribiremos aR/ b y diremos que a no est´a relacionado con b.

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Ejemplo 6.1 Sea A = {huevos, leche, ma´ız} y B = {vacas, cabras, gallinas}. Escribir la relaci´on R de A a B definida por: (a, b) ∈ R ⇐⇒ a es producido por b

Soluci´on

La relaci´on ser´ıa: R = {(huevos,gallinas),(leche,vacas),(leche,cabras)} 

Ejemplo 6.

(a) Sea R la relaci´on “menor que” definida en el conjunto Z de los n´umeros enteros. Escribiremos 3 < 5 para indicar que (3, 5) ∈ R y 5 </ 3 para indicar que (3, 5) ∈/ R

(b) Sea R la relaci´on “es un m´ultiplo de” en el conjunto de los enteros positivos. Entonces, 4R2 pero 2R/ 4. M´as generalmente, xRy si, y s´olo si x = ky para alg´un k ∈ Z+. As´ı para todo x, xR1. Si p > 1, entonces p es primo si xRp implica que x = 1 ´o x = p. Un n´umero x es impar si xR/ 2.

(c) Cuando un compilador traduce un programa inform´atico construye una tabla de s´ımbolos que contiene los nombres de los s´ımbolos presentes en el programa, los atributos asociados a cada nombre y las sentencias de programa en las que est´an presentes cada uno de los nombres. As´ı pues, si S es el conjunto de los s´ımbolos, A es el conjunto de los posibles atributos y P es el conjunto de las sentencias de programa, entonces la tabla de s´ımbolos incluye informaci´on representada por las relaciones binarias de S a A y de S a P.

(d) Como dijimos anteriormente, una relaci´on binaria sobre el conjunto de los n´umeros reales puede representarse gr´aficamente en el plano cartesiano. La figura siguiente es la gr´afica de la relaci´on

R = {(x, y) ∈ R × R : |x| + |y| = 1}

x

y

|x| + |y| = 1



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(e) Dos subconjuntos con cinco pares del producto cartesiano de A y B, ser´an distintos s´olo si se diferencian en alg´un par sin que el orden en que los mismos figuren en el subconjunto influya para nada, por tanto, el n´umero de subconjuntos de A×B con cinco pares ser´a igual al de combinaciones de nueve elementos tomados cinco a cinco, es decir, si N es el n´umero pedido, entonces

N = C 9 , 5 =

(f) Sea Ni el n´umero de relaciones que contienen i elementos y sea N el n´umero pedido. Entonces,

N = N 7 + N 8 + N 9

y razonando igual que en el apartado anterior,

Ni = C 9 ,i =

i

luego, N = C 9 , 7 + C 9 , 8 + C 9 , 9 =

Ejemplo 6.5 Para U = Z+, A = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }, B = { 10 , 11 , 12 , 13 , 14 }, escribir los elementos de la relaci´on R ⊂ A × B, donde

aRb si y s´olo si a divide (exactamente) a b.

Soluci´on

R = {(2, 10), (2, 12), (2, 14), (3, 12), (4, 12), (5, 10), (6, 12), (7, 14)}

6.3 Matriz de una Relaci´on

En este apartado veremos una de las formas de representar una relaci´on entre dos conjuntos finitos, como es su matriz booleana.

6.3.1 Definici´on

Dados dos conjuntos finitos, no vac´ıos,

A = {a 1 , a 2 ,... , am} y B = {b 1 , b 2 ,... , bn}

y una relaci´on R cualquiera de A a B, llamaremos matriz de R a la matriz booleana siguiente:

MR =

rij

: rij =

1 , si (ai, bj ) ∈ R 0 , si (ai, bj ) ∈/ R

donde i = 1, 2 ,...... , m; j = 1, 2 ,...... , n.

Directamente de la definici´on dada se deduce que la matriz de una relaci´on binaria es cuadrada.

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Ejemplo 6.6 Sea A = { 1 , 2 , 3 , 4 } y definimos la relaci´on

aRb ⇐⇒ b es m´ultiplo de a, ∀a, b ∈ A

Calcularemos la matriz de la relaci´on R.

Soluci´on

La relaci´on vendr´a dada por el conjunto

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)}

y la matriz ser´a, por tanto,

MR =

Nota 6.

− Obs´ervese que la matriz de una relaci´on caracteriza a la misma, o sea, si se conoce la relaci´on se conoce la matriz y si se conoce la matriz sabremos de que relaci´on trata.

− Obs´ervese tambi´en lo siguiente: si MR es la matriz de una relaci´on R de A a B, cada fila se corresponde con un elemento de A y cada columna con un elemento de B. Para calcular el dominio de R bastar´a ver en que filas hay, al menos, un uno y para calcular la imagen bastar´a con ver en que columnas hay, al menos, un uno.

En el ejemplo anterior, Dom (R) = { 1 , 2 , 3 , 4 } e Img (R) = { 1 , 2 , 3 , 4 } 

Existe otra forma de representar una relaci´on cuando es de un conjunto en si mismo, es decir, cuando la relaci´on es binaria.

6.4 Grafo Dirigido de una Relaci´on

Los grafos nos ofrecen una forma bastante conveniente de visualizar cuestiones relativas a una relaci´on binaria. Por esta raz´on desarrollaremos algunos conceptos de grafos dirigidos paralelamente a nuestro tratamiento de las relaciones binarias.

6.4.1 Definici´on

Un grafo dirigido o digrafo es un par ordenado D = (A, R) donde A es un conjunto finito y R es una relaci´on binaria definida sobre A. Al conjunto A lo llamaremos conjunto de nodos o v´ertices de D. A los elementos de R los llamaremos arcos o aristas del digrafo D.

− Un grafo dirigido caracteriza a una relaci´on, es decir, conociendo la relaci´on se conoce el digrafo y conociendo el digrafo, puede establecerse la relaci´on.

− Si GR es el grafo dirigido de una relaci´on en un conjunto finito A, entonces el dominio y la imagen de R est´an formados por los puntos que son, respectivamente, extremo inicial y final de alg´un arco. 

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Soluci´on

R =

(x, x + 2) : x ∈ Z+

Ejemplo 6.

Como Z+^ es un conjunto infinito, en la figura hemos hecho un diagrama que, necesariamente, es incom- pleto. 

6.5 Propiedades de las Relaciones

Las relaciones binarias, es decir definidas sobre un ´unico conjunto A, satisfacen ciertas propiedades que expondremos en este apartado.

6.5.1 Reflexividad

Una relaci´on binaria R sobre un conjunto A se dice que es reflexiva, cuando cada elemento de A est´a relacionado consigo mismo. Es decir,

R es reflexiva ⇐⇒ ∀a (a ∈ A =⇒ aRa)

Nota 6.2 La equivalencia anterior,

R es reflexiva ⇐⇒ ∀a (a ∈ A =⇒ aRa)

puede escribirse tambi´en, en la forma:

R es reflexiva ⇐⇒ ∀a [¬ (a ∈ A) ∨ aRa]

y si ahora negamos ambos miembros, tendremos

¬ (R es reflexiva) ⇐⇒ ¬∀a [¬ (a ∈ A) ∨ aRa]

es decir, R no es reflexiva ⇐⇒ ∃a : ¬ [(¬ (a ∈ A) ∨ aRa)]

luego, R no es reflexiva ⇐⇒ ∃a : (a ∈ A ∧ aR/ a)

Consecuentemente, si podemos encontrar, al menos, un elemento a en el conjunto A que no est´e rela- cionado consigo mismo, la relaci´on R no es reflexiva. 

Ejemplo 6.9 Sea A = { 1 , 2 , 3 , 4 } y R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 3), (3, 2), (4, 4)} una relaci´on definida en A.

¿Es reflexiva? Dibujar el digrafo y escribir la matriz de la relaci´on

Soluci´on

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MR =

Relaci´on Reflexiva

En efecto, R es reflexiva ya que para cada a ∈ A, el par (a, a) est´a en la relaci´on. La figura anterior nos muestra el digrafo y la matriz de R. 

Nota 6.3 Obs´ervese lo siguiente:

− El digrafo de una relaci´on reflexiva se caracteriza por tener un bucle (ciclo de longitud uno) en cada uno de los v´ertices.

− La matriz de una relaci´on reflexiva se caracteriza por tener todos los elementos de su diagonal principal iguales a uno. Es decir, si MR = (rij ), entonces

R es reflexiva ⇐⇒ rii = 1, ∀i

y R no es reflexiva ⇐⇒ ∃i : rii = 0

Ejemplo 6.10 Consideremos en el conjunto Z de los n´umeros enteros las relaciones “menor o igual que” y “menor que”. Estudiar la reflexividad de ambas relaciones.

Soluci´on

(a) “Menor o igual que”. aRb ⇐⇒ a 6 b Sea a cualquier n´umero entero, entonces a = a

luego, a = a ∨ a < a

es decir, a 6 a

por tanto, ∀a (a ∈ Z =⇒ aRa)

Consecuentemente, la relaci´on propuesta es reflexiva.

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• 2 MR =

Relaci´on Sim´etrica

En efecto, R es sim´etrica ya que para cada par (a, b) ∈ R, el par (b, a) tambi´en pertenece a R.

El digrafo y la matriz de R se muestran en la figura anterior 

Nota 6.5 Obs´ervese lo siguiente:

− Si D es el digrafo de una relaci´on sim´etrica, entonces entre cada dos v´ertices distintos de D existen dos aristas o no existe ninguna.

− La matriz MR = (mij ) de una relaci´on sim´etrica, satisface la propiedad de que todo par de elementos colocados sim´etricamente respecto de la diagonal principal son iguales. Luego si MR = (rij ) es la matriz de R, entonces

R es sim´etrica ⇐⇒ rij = rji, ∀i, j

y R es no sim´etrica ⇐⇒ ∃i, j : rij 6 = rji 

6.5.3 Asimetr´ıa

Una relaci´on binaria R definida en un conjunto A se dice que es asim´etrica si cada vez que aRb se sigue que bR/ a. Es decir,

R es asim´etrica ⇐⇒ ∀a, b ∈ A (aRb =⇒ bR/ a)

Nota 6.6 La equivalencia

R es asim´etrica ⇐⇒ ∀a, b ∈ A (aRb =⇒ bR/ a)

puede escribirse en la forma

R es asim´etrica ⇐⇒ ∀a, b ∈ A (aR/ b ∨ bR/ a)

de donde negando ambos miembros, resulta

R no es asim´etrica ⇐⇒ ∃a, b ∈ A (aRb ∧ bRa)

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Ejemplo 6.12 Sea A = { 1 , 2 , 3 , 4 } y R = {(1, 2), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (4, 3)} una relaci´on definida en A.

¿Es asim´etrica? Dibujar el digrafo y escribir la matriz de la relaci´on.

Soluci´on

R es, en efecto, asim´etrica ya que para cada par (a, b) que pertenece a R, el par (b, a) no pertenece.

MR =

Relaci´on Asim´etrica

El digrafo y la matriz se muestran en la figura anterior. 

Nota 6.7 Obs´ervese lo siguiente

− Si D es el digrafo de una relaci´on asim´etrica, entonces entre cada dos v´ertices distintos del mismo, existe un arco o no existe ninguno.

− La matriz MR = (rij ) de una relaci´on asim´etrica, satisface la propiedad de que si i 6 = j, entonces rij = 0 ´o rji = 0.

6.5.4 Antisimetr´ıa

Una relaci´on binaria R sobre un conjunto A se dice antisim´etrica si cuando (a, b) ∈ R y (b, a) ∈ R, entonces a = b. Es decir,

R es antisim´etrica ⇐⇒ ∀a, b ∈ A(aRb ∧ bRa =⇒ a = b)

Obs´ervese que en virtud de la equivalencia l´ogica entre una proposici´on condicional y su contrarrec´ıproca,

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1 6 = 4 y (4, 1) ∈ R, pero (1, 4) ∈/ R, es decir 4R 1 ∧ 1 R/ 4.

2 6 = 3 y (2, 3) ∈/ R, (3, 2) ∈/ R, es decir 2R/ 3 ∧ 3 R/ 2.

2 6 = 4 y (2, 4) ∈/ R, (4, 2) ∈/ R, es decir 2R/ 4 ∧ 4 R/ 2.

3 6 = 4 y (3, 4) ∈ R, pero (4, 3) ∈/ R, es decir 3R 4 ∧ 4 R/ 3.

luego, si a 6 = b, entonces (a, b) ∈/ R ´o (b, a) ∈/ R

de aqu´ı que R sea antisim´etrica.

El digrafo y la matriz de R se muestran en la figura anterior. 

Nota 6.9 Obs´ervese lo siguiente:

− Si D es el digrafo de una relaci´on antisim´etrica, entonces entre cada dos v´ertices distintos de A, existe un arco o no existe ninguno.

− La matriz MR = (rij ) de una relaci´on antisim´etrica, satisface la propiedad de que si i 6 = j, entonces rij = 0 ´o rji = 0. Es decir,

R es antisim´etrica ⇐⇒ ∀i 6 = j, rij = 0 ∨ rji = 0

y R es no antisim´etrica ⇐⇒ ∃i, j : rij = 1 ∧ rji = 1 ∧ i 6 = j



Ejemplo 6.14 En el conjunto Z de los n´umeros enteros, consideramos la relaci´on

R = {(a, b) ∈ Z × Z : a 6 b}

es decir, la relaci´on “menor o igual que”. ¿Es sim´etrica?, ¿Es antisim´etrica?

Soluci´on

Simetr´ıa.

Considerando los enteros 1 y 2, tendremos que

1 es menor que 2 y 2 no es menor que 1

es decir, 1 R2 y 2R/ 1

luego, ∃a, b ∈ Z : (aRb ∧ bR/ a)

de aqu´ı que por 4, la relaci´on propuesta sea no sim´etrica.

Antisimetr´ıa.

Sean a y b dos enteros cualesquiera. Entonces,

a 6 = b =⇒ a < b ∨ b < a =⇒ ¬ (b 6 a) ∨ ¬ (a 6 b) =⇒ aR/ b ∨ bR/ a

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Consecuentemente, tendremos que

∀a, b ∈ A (a 6 = b =⇒ aR/ b ∨ bR/ a)

de aqu´ı que la relaci´on propuesta sea antisim´etrica.

Veamos otra forma de probar la antisimetr´ıa.

aRb ⇐⇒ a 6 b =⇒ ∃p ∈ Z+ 0 : b = a + p y bRa ⇐⇒ b 6 a =⇒ ∃q ∈ Z+ 0 : a = b + q

=⇒ a = a + p + q =⇒ p + q = 0 =⇒ p = q = 0 =⇒ a = b

Ejemplo 6.15 En el conjunto Z de los n´umeros enteros se considera la relaci´on R definida por:

xRy ⇐⇒ |x| = |y|

Estudiar la simetr´ıa y la antisimetr´ıa de R.

Soluci´on

Si x e y son dos enteros cualesquiera, entonces

xRy =⇒ |x| = |y| =⇒ |y| = |x| =⇒ yRx

es decir la relaci´on propuesta es sim´etrica.

Por otra parte, si x es un entero cualquiera distinto de cero, entonces

x 6 = −x y |x| = |−x| y |−x| = |x|

es decir,

(xR(−x) ∧ (−x)Rx) ∧ x 6 = −x

luego R no es antisim´etrica. 

6.5.5 Transitividad

Se dice que una relaci´on R definida en un conjunto A es transitiva si cuando (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R, entonces (a, c) ∈ R. Es decir,

R es transitiva ⇐⇒ ∀a, b, c ∈ A (aRb ∧ bRc =⇒ aRc)

Nota 6.10 Negando los dos miembros de la equivalencia anterior, tendremos

R es no transitiva ⇐⇒ ∃a, b, c ∈ A : aRb ∧ bRc ∧ aR/ c

es decir, la relaci´on R no es transitiva, si podemos encontrar elementos a, b, c en A tales que aRb y bRc, pero aR/ c. 

Ejemplo 6.16 Sea A = { 1 , 2 , 3 , 4 } y R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3)} una relaci´on definida sobre A. ¿Es transitiva? Dibujar el digrafo y escribir la matriz de la relaci´on.

Soluci´on

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b

c

a

R 1

b • •^ c

a

R 2

b

c

a

R 3

b

c

a

R 4

b • •^ c

a

R 5

Ejemplo 6.

Soluci´on

(a) R 1 es la relaci´on de igualdad sobre A. Es reflexiva, sim´etrica, antisim´etrica y transitiva.

(b) R 2 es sim´etrica. No es reflexiva, ni antisim´etrica, ni transitiva.

(c) La relaci´on R 3 es antisim´etrica y transitiva. No es reflexiva, ni sim´etrica.

(d) La relaci´on R 4 es la relaci´on vac´ıa. Es sim´etrica, antisim´etrica, y transitiva, pero no es reflexiva.

(e) R 5 es la relaci´on universal. Es reflexiva, sim´etrica y transitiva, pero no es antisim´etrica. 

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Ejemplo 6.18 Para las siguientes afirmaciones sobre relaciones en un conjunto A, donde |A| = n, determinar si la proposici´on es verdadera o falsa. Si es falsa dar un contraejemplo.

(a) Si R es una relaci´on reflexiva en A, entonces |R| > n.

(b) Si R es una relaci´on en A y |R| > n, entonces R es reflexiva.

(c) Si R 1 y R 2 son dos relaciones en A, tales que R 1 ⊆ R 2 , se verifica

Si R 1 es reflexiva, sim´etrica y transitiva, entonces R 2 tambi´en lo es.

(d) ¿Se verifica el rec´ıproco del apartado anterior?

Soluci´on

(a) Verdadera. Para todo a ∈ A ha de cumplirse que (a, a) ∈ R, luego en R hay, al menos, el mismo n´umero de elementos que en A.

(b) Falsa. Por ejemplo, sea A = { 1 , 2 } y R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1 } el |R| > |A| y, sin embargo, R no es reflexiva.

(c) Reflexiva. Verdadero. En efecto, si R 1 es reflexiva, entonces (a, a) ∈ R 1 para cada a de A, luego como R 1 ⊆ R 2 , tendremos que (a, a) ∈ R 2 , ∀a ∈ A y R 2 tambi´en ser´a reflexiva. Sim´etrica. Falso. En efecto, si A = { 1 , 2 } , R 1 = {(a, a)} y R 2 = {(a, a), (a, b)}, entonces R 1 es sim´etrica, R 1 ⊆ R 2 pero R 2 no es sim´etrica. Transitiva. Falso. En efecto, sea A = {a, b, c} , R 1 = {(a, b), (b, c), (a, c)} y R 2 = {(a, b), (b, c), (a, c), (c, a)}. Entonces, R 1 es transitiva, R 1 ⊆ R 2 , pero R 2 no es transitiva.

(d) Reflexiva. Falso. En efecto, si A = {a, b} , R 1 = {(b, b)} y R 2 = {(a, a), (b, b)}, entonces R 2 es reflexiva, R 1 ⊂ R 2 , pero R 1 no es reflexiva. Sim´etrica. Falso. En efecto, si A = {a, b} , R 1 = {(a, b)} y R 2 = {(a, b), (b, a)}, entonces R 2 es sim´etrica, R 1 ⊆ R 2 , pero R 1 no es sim´etrica. Transitiva. Falso. En efecto, si A = {a, b, c} , R 1 = {(a, b), (b, c)} y R 2 = {(a, b), (b, c), (a, c)}, entonces R 2 es transitiva, R 1 ⊆ R 2 , pero R 1 no es transitiva. 

Ejemplo 6.19 Determinar las propiedades de las siguientes relaciones

(a) R es la relaci´on definida en Z, donde xRy si y s´olo si x + y es par (impar).

(b) R es la relaci´on definida en Z × Z, donde (a, b)R(c, d) si y s´olo si a 6 c.

Soluci´on

(a) xRy ⇐⇒ x + y es par (impar)