Principios básicos de conteo - Apuntes - Matemática discreta, Apuntes de Matemática Discreta

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Apuntes de Matem´atica Discreta

3. Principios B´asicos de Conteo

Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez

C´adiz, Octubre de 2004

Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas

ii

Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas

3.1.2 Recubrimiento

Si los subconjuntos B 1 , B 2 ,...... , Bn de un conjunto A cumplen las condiciones 1. y 3. de la definici´on anterior, diremos que B 1 , B 2 ,...... , Bn constituyen un recubrimiento de A.

Ejemplo 3.

A 1

A 2 A 3

A 4

A

Partici´on del conjunto A. Ejemplo 3.

Los subconjuntos A 1 , A 2 , A 3 y A 4 constituyen una partici´on de A. 

Ejemplo 3.2 Si A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k}, los conjuntos

A 1 = {a, b, c, d}

A 2 = {c, d, e, f, g}

A 3 = {g, h, i}

A 4 = {j, k}

constituyen un recubrimiento del conjunto A.

Soluci´on

En efecto,

Ai 6 = ∅; i = 1, 2 , 3 , 4

A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ∪ A 4 = {a, b, c, d} ∪ {c, d, e, f, g} ∪ {g, h, i} ∪ {j, k} = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k} = A

Matem´atica Discreta Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez

Sin embargo no es una partici´on ya que, por ejemplo,

A 1 ∩ A 2 = {a, b, c, d} ∩ {c, d, e, f } = {c, d} 6 = ∅



3.1.3 Cardinal de un conjunto

Si A es un conjunto finito no vac´ıo, designaremos por cardinal de A al n´umero de elementos que tiene A. Si A es el conjunto vac´ıo, entonces su cardinal es cero. Lo notaremos |A|.

3.2 Principio de Adici´on

Estudiamos el m´as b´asico y simple de los principios para contar elementos de un conjunto.

3.2.1 Teorema

Si A 1 , A 2 ,... , An es una colecci´on de conjuntos finitos no vac´ıos, disjuntos dos a dos, entonces

|A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ An| = |A 1 | + |A 2 | + · · · + |An|

Demostraci´on

Procederemos por inducci´on sobre el n´umero de conjuntos n.

Paso b´asico. Veamos que el teorema es cierto para n = 2.

En efecto, sean A 1 y A 2 dos conjuntos finitos tales que A 1 ∩ A 2 = ∅. Pues bien, si

A 1 = {a 1 , a 2 ,... , aq } y A 2 = {b 1 , b 2 ,... , br }

al ser disjuntos no tendr´an elementos comunes, de aqu´ı que

A 1 ∪ A 2 = {a 1 , a 2 ,... , aq , b 1 , b 2 ,... , br }

luego,

|A 1 ∪ A 2 | = q + r = |A 1 | + |A 2 |

y el teorema es cierto para n = 2.

Paso inductivo. Supongamos que el teorema es cierto para n = p, es decir, si A 1 , A 2 ,... , Ap son una familia de conjuntos finitos y disjuntos dos a dos, entonces

∣ ∣ ∣ ∣ ∣

⋃^ p

i=

Ai

∑^ p

i=

|Ai|

Veamos que el teorema es cierto para n = p + 1. En efecto, sea A 1 , A 2 ,... , Ap, Ap+1 una familia de conjuntos finitos y dos a dos disjuntos, entonces por la asociatividad de la uni´on de conjuntos,

p⋃+

i=

Ai = A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ Ap ∪ Ap+1 = (A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ Ap) ∪ Ap+1 =

( (^) p ⋃

i=

Ai

∪ Ap+

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formas distintas de obtener una, dos, tres o cuatro caras. 

3.3 Principio de Multiplicaci´on

Este principio nos va a permitir resolver con m´as comodidad situaciones que involucren procesos que consistan en acciones sucesivas.

Supongamos una acci´on que consista en una secuencia de pasos. Por ejemplo tirar un dado, luego otro y a continuaci´on un tercero. Diremos que los pasos son independientes si el n´umero de formas en que puede hacerse cada uno de ellos no depende del n´umero de formas en que pueden realizarse cada uno de los otros.

3.3.1 Teorema

Si A 1 , A 2 ,... , An es una colecci´on de conjuntos finitos no vac´ıos, entonces

|A 1 × A 2 × · · · × An| = |A 1 | · |A 2 | · · · · · |An|

Demostraci´on

Procederemos por inducci´on sobre el n´umero de conjuntos, n.

Paso b´asico. Veamos si el teorema es cierto para n = 2. En efecto, sean A 1 y A 2 dos conjuntos finitos no vac´ıos, A 1 = {a 1 , a 2 ,... , aq } y A 2 = {b 1 , b 2 ,... , br }

Por definici´on de producto cartesiano,

A 1 × A 2 = {(ai, bj ) : ai ∈ A 1 y bj ∈ A 2 }

para cada uno de los ai, 1 6 i 6 q, tendremos los pares distintos,

(ai, b 1 ), (ai, b 2 ),... , (ai, br )

es decir, r pares o r elementos de A 1 × A 2. Haciendo lo mismo para cada uno de los ai ∈ Ai, 1 6 i 6 q, tendremos (a 1 , b 1 ), (a 1 , b 2 ),... , (a 1 , br ) (a 2 , b 1 ), (a 2 , b 2 ),... , (a 2 , br )

........................... (aq , b 1 ), (aq , b 2 ),... , (aq , br )

o sea, un total de q · r pares distintos en A 1 × A 2 , luego

|A 1 × A 2 | = q · r = |A 1 | · |A 2 |

por tanto, la proposici´on es cierta para n = 2.

Paso inductivo. Supongamos que es cierta para n = p, es decir si A 1 , A 2 ,... , Ap es una colecci´on de conjuntos finitos no vac´ıos. Entonces,

|A 1 × A 2 × · · · × Ap| = |A 1 | · |A 2 | · · · · · |Ap|

Veamos si la proposici´on es cierta para n = p + 1. En efecto, si A 1 , A 2 ,... , Ap, Ap+1 es una colecci´on de conjuntos finitos no vac´ıos, entonces

|A 1 × A 2 × · · · × Ap × Ap+1| = |(A 1 × A 2 × · · · × Ap) × Ap+1| {Asociatividad de ×} = |A 1 × A 2 × · · · × Ap| · |Ap+1| {Paso b´asico} = |A 1 | · |A 2 | · · · · · |Ap| · |Ap+1| {Paso inductivo}

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Consecuentemente, por el Principio de inducci´on matem´atica, el teorema es cierto para todo entero positivo, n, es decir, |A 1 × A 2 × · · · × An| = |A 1 | · |A 2 | · · · · · |An| 

Ejemplo 3.4 ¿Cu´antos resultados distintos son posibles al tirar tres dados diferentes?

Soluci´on

Sean A 1 , A 2 y A 3 los conjuntos formados por los posibles resultados que podamos obtener al tirar cada uno de los tres dados, entonces |Ai| = 6, i = 1, 2 , 3 y cada resultado es un elemento del producto cartesiano A 1 × A 2 × A 3 , luego por el principio de multiplicaci´on, habr´a

|A 1 × A 2 × A 3 | = |A 1 | · |A 2 | · |A 3 | = 6 · 6 · 6 = 216

resultados distintos.

Obs´ervese que al ser diferentes los dados, podemos etiquetarlos como primero, segundo y tercero y tratar la tirada como una acci´on con tres pasos sucesivos, cada uno de las cuales tiene seis resultados posibles. El n´umero de posibilidades ser´a, por tanto,

6 · 6 · 6 = 216

Obs´ervese tambi´en que si los dados no fueran diferentes, la respuesta ser´ıa distinta. Por ejemplo ser´ıa imposible distinguir entre el resultado 152 y el 251. 

Ejemplo 3.5 Un n´umero de tel´efono consta de siete d´ıgitos. Si la primera ha de ser un n´umero entre 2 y 9, ambos inclusive, la segunda y la tercera han de ser n´umeros entre 1 y 9 ambos inclusive. ¿Cu´antos n´umeros de tel´efono distintos pueden formarse con estas condiciones?

Soluci´on

Sean los conjuntos,

A 1 = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }

A 2 = A 3 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }

A 4 = A 5 = A 6 = A 7 = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }

El n´umero de tel´efonos con numeraciones distintas que pueden formarse son los del conjunto

A 1 × A 2 × A 3 × A 4 × A 5 × A 6 × A 7

Por el principio de multiplicaci´on,

|A 1 × A 2 · · · × A 7 | = |A 1 | · |A 2 | · |A 3 | · |A 4 | · |A 5 | · |A 6 | · |A 7 | = 8 · 9 · 9 · 10 · 10 · 10 · 10 = 6. 480. 000 

3.3.2 Regla del Producto

Si un procedimiento puede descomponerse en las etapas primera y segunda, y si existen m resultados posibles de la primera etapa y si, para cada uno de estos resultados, existen n resultados posibles para la segunda etapa, entonces el procedimiento entero puede realizarse, en el orden dado, de mn formas.

Ejemplo 3.6 Se dispone de una baraja de 40 cartas de la cual extraemos cuatro de dos formas difer- entes:

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(b) Sean A 1 = { 2 } B 1 = { 1 , 3 , 4 , 5 , 6 } y A 2 = { 1 , 3 , 4 , 5 , 6 } B 2 = { 2 } donde Ai y Bi, i = 1, 2, representan, respectivamente, los resultados de los dados azul y rojo. Entonces, todos los resultados en los cuales aparece un 2 en uno s´olo de los dados, son los elementos del conjunto (A 1 × B 1 ) ∪ (A 2 × B 2 ) siendo A 1 × B 1 y A 2 × B 2 , disjuntos. Consecuentemente, por el principio de adici´on y luego por el de multiplicaci´on tendremos que el n´umero de resultados en los que uno s´olo de los dados muestra un 2 es

|(A 1 × B 1 ) ∪ (A 2 × B 2 )| = |A 1 × B 1 | + |A 2 × B 2 | = |A 1 | · |A 2 | + |B 1 | · |B 2 | = 1 · 5 + 1 · 5 = 10

(c) Utilizando los mismos conjuntos que en el apartado anterior, los resultados en los que ninguno de los dos dados muestra un 2 son los elementos de A 2 × B 1. Por el principio de multiplicaci´on, habr´a

|A 2 × B 1 | = |A 2 | · |B 1 | = 5 · 5 = 25

resultados que cumplen la condiciones pedidas. 

Ejemplo 3.8 Un viajante de comercio ha de visitar n ciudades sin pasar dos veces por ninguna de ellas. ¿Cu´antas rutas distintas puede tomar si el viaje ha de empezar y terminar en la ciudad A?

Soluci´on

El viajante elige cualquiera de las n − 1 ciudades restantes para la primera visita, las opciones para la segunda ser´ıan n−2 y n−3 posibilidades para la siguiente. Seguimos as´ı sucesivamente y por el principio de multiplicaci´on, el n´umero de rutas distintas ser´ıa:

(n − 1)(n − 2) · · · 3 · 2 · 1

Obs´ervese que al contar de esta forma, el orden en que se visitan las ciudades es importante, es decir una ruta tal como ABCDEFA es distinta de la AFEDCBA. Si las rutas que se recorren en sentidos inversos las consideramos iguales, el n´umero de posibilidades se reducir´ıa a:

(n − 1)(n − 2) · · · 3 · 2 · 1 2

es decir, la mitad de opciones. 

En el siguiente ejemplo, veremos una situaci´on en la cual se mezclan los principios de adici´on y multipli- caci´on.

Ejemplo 3.9 El viajante de comercio del ejemplo anterior ha de visitar cinco ciudades A,B,C,D y E, teniendo su base en la ciudad A. ¿Cu´antas rutas distintas puede tomar si no puede visitar la ciudad E hasta despu´es de haber visitado la B o la C?

Soluci´on

Como la ciudad E no puede ser visitada hasta despu´es de visitar B o C, la primera visita deber´a ser a B o a C o a D.

Matem´atica Discreta Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez

− Si la primera visita es a la ciudad B, entonces el viajante tiene tres opciones para la segunda, dos para la siguiente y una para la ´ultima, luego por el principio de multiplicaci´on hay

rutas distintas teniendo a B como la primera ciudad visitada.

− Si la primera ciudad visitada es C, un razonamiento id´entico al anterior ofrecer´a al viajante el mismo n´umero de opciones, es decir, seis rutas distintas.

− Si la primera ciudad visitada es la D, entonces hay dos opciones para la segunda (B y C), dos opciones para la siguiente y una para la ´ultima. Consecuentemente, el n´umero de opciones distintas es, en este caso, por el principio de multiplicaci´on

As´ı pues, por el principio de adici´on existen un total de

rutas posibles que puede tomar el viajante. 

3.4 Principio de Inclusi´on-Exclusi´on

El principio de adici´on establec´ıa que si X es la uni´on de una colecci´on de conjuntos A 1 , A 2 ,... , An, disjuntos dos a dos, entonces

|X| = |A 1 | + |A 2 | + · · · + |An|.

En muchas ocasiones, necesitaremos calcular el n´umero de elementos de un conjunto X que es la uni´on de una colecci´on de conjuntos A 1 , A 2 ,... , An que no sean disjuntos. El principio de inclusi´on-exclusi´on nos dice como hacerlo en funci´on del n´umero de elementos de los conjuntos A 1 , A 2 ,... , An.

En s´ıntesis, este principio nos dice que si sabemos contar elementos de intersecciones de conjuntos, entonces podremos determinar el tama˜no de la uni´on de dichos conjuntos.

3.4.1 Teorema

Sean A y B dos subconjuntos de un conjunto universal arbitrario, U. Entonces,

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

Demostraci´on

Matem´atica Discreta Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez

De (3.6) se sigue directamente que

A ∪ B = (A \ B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B \ A). (3.7)

Adem´as, (A \ B) ∩ (A ∩ B) = (A ∩ Bc) ∩ (A ∩ B) = A ∩ (Bc^ ∩ B) = A ∩ ∅ = ∅

(A \ B) ∩ (B \ A) = (A ∩ Bc) ∩ (B ∩ Ac) = A ∩ Bc^ ∩ B ∩ Ac = A ∩ ∅ ∩ Ac = ∅

(A ∩ B) ∩ (B \ A) = (A ∩ B) ∩ (B ∩ Ac) = A ∩ B ∩ Ac = A ∩ Ac^ ∩ B = ∅

es decir, los tres conjuntos son disjuntos dos a dos, por lo tanto (3.3), (3.5) y (3.7) son, respectivamente, descomposiciones de los conjuntos A, B y A ∪ B en uni´on de subconjuntos disjuntos, de aqu´ı que por el principio de adici´on,

|A| = |A \ B| + |A ∩ B| =⇒ |A \ B| = |A| − |A ∩ B| |B| = |B \ A| + |A ∩ B| =⇒ |B \ A| = |B| − |A ∩ B| |A ∪ B| = |A \ B| + |A ∩ B| + |B \ A|

y sustituyendo los dos primeros resultados en la tercera igualdad,

|A ∪ B| = |A| − |A ∩ B| + |B| − |A ∩ B| + |A ∩ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| 

Ejemplo 3.10 De un grupo de programadores, 35 est´an familiarizados con ordenadores del tipo A, 41 con ordenadores del tipo B y 46 con algunos de los dos. ¿Cu´antos est´an familiarizados con ambos?

Soluci´on

Sea P el conjunto de todos los programadores y sean A y B los subconjuntos de P formados por los que est´an familiarizados con los ordenadores de tipo A y tipo B, respectivamente. Los que lo est´an con ambos son, por tanto, los del conjunto A ∩ B. Pues bien, seg´un los datos del enunciado,

|A| = 35

|B| = 41

|A ∪ B| = 46.

Aplicando el principio de inclusi´on-exclusi´on,

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| =⇒ |A ∩ B| = 35 + 41 − 46 = 30

Hay, por tanto, 30 programadores que est´an familiarizados con ambos tipos de ordenadores. 

Ejemplo 3.11 Los 100 alumnos de una facultad se han examinado de Matem´atica Discreta y de L´ogica Matem´atica, obteniendo los siguientes resultados en los ex´amenes.

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20 alumnos no han aprobado ninguna de las dos asignaturas.

Han aprobado las dos asignaturas un total de 25 personas.

El n´umero de alumnos que han aprobado Matem´atica discreta es el doble de los que han aprobado el L´ogica Matem´atica.

¿Cu´antos alumnos aprobaron ´unicamente Matem´atica discreta?

¿Cu´antos alumnos aprobaron ´unicamente L´ogica Matem´atica?

Soluci´on

Un diagrama de Venn que refleja la situaci´on planteada en el ejercicio es el de la figura, donde D y L son los conjuntos cuyos elementos son los alumnos que han aprobado Matem´atica Discreta y L´ogica Matem´atica, respectivamente.

Dc^ ∩ Lc

D

D ∩ Lc^ D ∩ L Dc^ ∩ L

L

U

Ejemplo 3.

Los alumnos que han aprobado una de las dos asignaturas puede que no hayan aprobado la otra o que si la hayan aprobado, luego D = (D ∩ Lc) ∪ (D ∩ L),

L = (D ∩ L) ∪ (Dc^ ∩ L)

y D ∪ L = (D ∩ Lc) ∪ (D ∩ L) ∪ (Dc^ ∩ L)

donde (D ∩ Lc) ∩ (D ∩ L) = D ∩ Lc^ ∩ L = D ∩ ∅ = ∅

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Apoy´andonos en el teorema anterior y en la distributividad de la intersecci´on respecto a la uni´on de conjuntos,

|A ∪ B ∪ C| = |A ∪ (B ∪ C)|

= |A| + |B ∪ C| − |A ∩ (B ∪ C)|

= |A| + |B| + |C| − |B ∩ C| − |(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)|

= |A| + |B| + |C| − |B ∩ C| − (|A ∩ B| + |A ∩ C| − |(A ∩ B) ∩ (A ∩ C)|)

= |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|



Ejemplo 3.12 ¿Cu´antos n´umeros existen entre 1 y 1000, ambos inclusive, que no sean ni cuadrados perfectos, ni cubos perfectos ni cuartas potencias?

Soluci´on

Sea Z el conjunto de todos los enteros entre 1 y 1000 y sean A 1 , A 2 y A 3 los subconjuntos de Z formados por los cuadrados perfectos, los cubos perfectos y las cuartas potencias, respectivamente. Entonces,

A 1 =

x : x = n^2 , n ∈ Z

A 2 =

x : x = n^3 , n ∈ Z

A 3 =

x : x = n^4 , n ∈ Z

Pues bien,

312 = 961 < 1000 y 32^2 = 1024 > 1000, luego |A 1 | = 31

103 = 1000, luego |A 2 | = 10

54 = 625 y 6^4 = 1296, luego |A 3 | = 5

Observemos ahora lo siguiente:

A 1 ∩ A 2 =

x : ∃n ∈ Z+; x = n^2 y x = n^3

x : ∃n ∈ Z; x = n^6

y al ser 3^6 = 729 < 1000 y 4^6 = 4096 > 1000, tendremos que |A 1 ∩ A 2 | = 3.

Por otra parte,

x ∈ A 3 ⇐⇒ x = n^4 , n ∈ Z =⇒ x =

n^2

, n ∈ Z ⇐⇒ x ∈ A 1

es decir cada cuarta potencia es tambi´en un cuadrado, luego A 3 ⊆ A 1 y, por tanto, A 1 ∩ A 3 = A 3 y |A 1 ∩ A 3 | = 5. Tambi´en,

A 2 ∩ A 3 =

x : x = n^3 y x = n^4 , n ∈ Z+

x : x = n^12 , n ∈ Z+

luego el conjunto A 2 ∩ A 3 estar´a formado por todos los n´umeros que son a un tiempo, cubos y cuartas potencias, es decir son de la forma n^12 para alg´un entero n y al ser 2^12 = 4096 > 1000, tendremos que |A 2 ∩ A 3 | = 1.

Finalmente,

x ∈ A 2 ∩ A 3 ⇐⇒ x = n^12 =⇒ x =

n^6

, n ∈ Z ⇐⇒ x ∈ A 1

luego las doceavas potencias son tambi´en cuadrados, es decir, A 2 ∩ A 3 ⊆ A 1 de aqu´ı que

A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 = A 2 ∩ A 3

Matem´atica Discreta Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez

y |A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 | = 1

Con todos estos datos,

|A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 | = |A 1 | + |A 2 | + |A 3 | − |A 1 ∩ A 2 | − |A 1 ∩ A 3 | − |A 2 ∩ A 3 | + |A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 | = 31 + 10 + 5 − 3 − 5 − 1 + 1 = 38

Consecuentemente, el n´umero de enteros entre 1 y 1000 que no son cuadrados, cubos o cuartas potencias son 1000 − 38 = 962. 

Ejemplo 3.13 Demostrar que

|A ∪ B ∪ C| = |A \ (B ∪ C)| + |B \ (A ∪ C)| + |C \ (A ∪ B)|

• |(A ∩ B) \ C| + |(A ∩ C) \ B| + |(B ∩ C) \ A|
• |A ∩ B ∩ C|

donde A, B y C est´an incluidos en un universal arbitrario U.

Soluci´on

En efecto, sea x un elemento arbitrario de U. Entonces

x ∈ (A ∪ B ∪ C) ⇐⇒ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) ∨ (x ∈ C).

Pues bien, si x est´a en A, entonces puede estar en A y no estar en B ni en C, o estar en A y en B pero no estar en C o estar en A y en C pero no en B o estar en A, en B y en C (la situaci´on planteada puede apreciarse con claridad en la figura), es decir,

C \ (A ∪ B) (B ∩ C) \ A B \ (A ∪ C)

A ∩ B ∩ C

A \ (B ∪ C)

(A ∩ C) \ B (A ∩ B) \ C

A

C B

U

Ejemplo 3.

Matem´atica Discreta Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez

(a) ¿Cu´antas personas no leen ninguno de los tres peri´odicos?

(b) ¿Cu´antas personas leen ´unicamente el Diario de C´adiz?

(c) ¿Cu´antas personas leen un s´olo peri´odico?

Soluci´on

Un diagrama de Venn de la situaci´on planteada se muestra en la figura.

U

D

P M

D ∩ M c^ ∩ P c

D ∩ M c^ ∩ P D ∩ M ∩ P c

D ∩ M ∩ P

Dc^ ∩ M c^ ∩ P Dc^ ∩ M ∩ P Dc^ ∩ M ∩ P c

Dc^ ∩ M c^ ∩ P c

Ejemplo 3.

Sea U el conjunto formado por todas las personas encuestadas y sean D, M y P los conjuntos formados por las personas que leen Diario de C´adiz, El Mundo y El Pa´ıs, respectivamente. Seg´un los datos del enunciado

|D| = 40

|M | = 42

|P | = 45

|D ∩ M | = 13

|M ∩ P | = 20

|D ∩ P | = 18

|D ∩ M ∩ P | = 7

Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas

(a) Veamos cu´antas personas no leen ninguno de los tres peri´odicos. El conjunto D ∪ M ∪ P est´a formado por las personas que leen, al menos, uno de los tres peri´odicos, luego el conjunto de las personas que no leen ninguno de los tres peri´odicos ser´a su complementario (D ∪ M ∪ P ) c y al ser D ∪ M ∪ P y (D ∪ M ∪ P ) c disjuntos, por el principio de adici´on, tendremos

|U | = |(D ∪ M ∪ P ) ∪ (D ∪ M ∪ P )c| = |D ∪ M ∪ P | + |(D ∪ M ∪ P )c|

de aqu´ı que |(D ∪ M ∪ P )c| = |U | − |D ∪ M ∪ P |. Por el principio de inclusi´on-exclusi´on para tres conjuntos, tendremos

|D ∪ M ∪ P | = |D| + |M | + |P | − |D ∩ M | − |M ∩ P | − |D ∩ P | + |D ∩ M ∩ P | = 40 + 42 + 45 − 13 − 20 − 18 + 7 = 134 − 51 = 83

por lo tanto, |(D ∪ M ∪ P )c| = 200 − 83 = 117

(b) Calculemos ahora el n´umero de personas que leen ´unicamente Diario de C´adiz. Las personas que leen ´unicamente Diario de C´adiz ser´an aquellas que lean Diario de C´adiz y no lean El Mundo ni El Pa´ıs, es decir las del conjunto D ∩ M c^ ∩ P c. Para calcular el n´umero de estas personas, y teniendo en cuenta los datos que proporciona el enunciado, habr´a que hacerlo en funci´on de |D|, |D ∩ M |, |D ∩ P | y |D ∩ M ∩ P |. Pues bien, las personas que leen Diario de C´adiz puede que lean alguno de los otros dos peri´odicos (D ∩ (M ∪ P )) o que no lean ninguno de los otros dos (D ∩ (M ∪ P )c), es decir,

D = [D ∩ (M ∪ P )] ∪ [D ∩ (M ∪ P )c]

siendo esta descomposici´on en uni´on de disjuntos. Aplicando el principio de adici´on y, posterior- mente, el de inclusi´on-exclusi´on,

|D| = |D ∩ (M ∪ P )| + |D ∩ (M ∪ P )c| = |(D ∩ M ) ∪ (D ∩ P )| + |D ∩ M c^ ∩ P c| = |D ∩ M | + |D ∩ P | − |D ∩ M ∩ P | + |D ∩ M c^ ∩ P c|

de donde,

|D ∩ M c^ ∩ P c| = |D| − |D ∩ M | − |D ∩ P | + |D ∩ M ∩ P | = 40 − 13 − 18 + 7 = 16

(c) Veamos ahora cu´antas personas leen un s´olo peri´odico. Las personas que leen ´unicamente un s´olo peri´odico ser´an aquellas que lean ´unicamente Diario de C´adiz (ni El Mundo, ni El Pa´ıs) o que ´unicamente lean El Mundo (ni Diario de C´adiz ni El Pa´ıs) o que lean ´unicamente El Pa´ıs (ni Diario de C´adiz ni El Mundo), es decir las del conjunto

(D ∩ M c^ ∩ P c) ∪ (Dc^ ∩ M ∩ P c) ∪ (Dc^ ∩ M c^ ∩ P )

y como estos tres conjuntos son disjuntos dos a dos, por el principio de adici´on, tendremos

|(D ∩ M c^ ∩ P c) ∪ (Dc^ ∩ M ∩ P c) ∪ (Dc^ ∩ M c^ ∩ P )| = |D ∩ M c^ ∩ P c| + |Dc^ ∩ M ∩ P c|

• |Dc^ ∩ M c^ ∩ P | (3.8)

El primero de los sumandos lo hemos calculado en el apartado anterior. Si seguimos un camino an´alogo para calcular los otros dos, tendremos:

|Dc^ ∩ M ∩ P c| = |M | − |M ∩ P | − |D ∩ M | + |D ∩ M ∩ P | = 42 − 20 − 13 + 7 = 16 (3.9)