Grafos - Apuntes - Matemática discreta, Apuntes de Matemática Discreta

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Apuntes de Matem´atica Discreta

14. Grafos

Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez

C´adiz, Octubre de 2004

Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas

ii

Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas

14.7 Caminos y Ciclos de Euler............................. 420 14.7.1 Ciclo de Euler.................................... 421 14.7.2 Grafo Euleriano.................................... 422 14.7.3 Primer Lema..................................... 422 14.7.4 Camino de Euler................................... 423 14.7.5 Segundo Lema.................................... 423 14.7.6 Problema de los Puentes de K¨onisgberg...................... 424 14.7.7 Tercer Lema..................................... 424 14.7.8 Teorema........................................ 425 14.7.9 Corolario....................................... 431 14.8 Caminos y Ciclos de Hamilton.......................... 443 14.8.1 Ciclo de Hamilton.................................. 443 14.8.2 Grafo Hamiltoniano................................. 444 14.8.3 Camino de Hamilton................................. 444 14.8.4 M´etodo desarrollado por Hamilton......................... 444 14.8.5 Teorema........................................ 449 14.9 Representaci´on de Grafos............................. 456 14.9.1 Matriz de Adyacencia................................ 456 14.9.2 Teorema........................................ 460 14.9.3 Corolario....................................... 461 14.9.4 Caracterizaci´on de un Grafo Conexo........................ 461 14.9.5 Matriz de Incidencia................................. 462

El hecho es que la teor´ıa de grafos sirve como modelo matem´atico para cualquier sistema que implique una relaci´on binaria. Frank Harary

14.1 Generalidades

Definiremos un grafo como un sistema matem´atico abstracto. No obstante, para desarrollar el conoci- miento de los mismos de forma intuitiva los representaremos mediante diagramas. A estos diagramas les daremos, tambi´en, el nombre de grafos, aun cuando los t´erminos y definiciones no est´en limitados ´unicamente a los grafos que pueden representarse mediante diagramas.

Un grafo es un conjunto de puntos y un conjunto de l´ıneas donde cada l´ınea une un punto con otro. Veremos, para comenzar, una definici´on formal de grafo.

14.1.1 Definici´on

Llamaremos grafo, G, al par ordenado formado por un conjunto finito no vac´ıo, V , y un conjunto, A, de pares no ordenados de elementos del mismo.

V es el conjunto de los v´ertices o nodos del grafo.

A ser´a el conjunto de las aristas o arcos del grafo.

Utilizaremos la notaci´on G = (V, A) para designar al grafo cuyos conjuntos de v´ertices y aristas son, respectivamente, V y A.

A cualquier arista de un grafo se le puede asociar una pareja de v´ertices del mismo. Si u y v son dos v´ertices de un grafo y la arista a est´a asociada con este par, escribiremos a = uv.

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Por ejemplo, si V = {v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 }

y

A = {v 1 v 2 , v 1 v 3 , v 1 v 4 , v 2 v 4 , v 2 v 5 }

entonces el grafo G = (V, A) tiene a v 1 , v 2 , v 3 , v 4 y v 5 como v´ertices y sus aristas son v 1 v 2 , v 1 v 3 , v 1 v 4 , v 2 v 4 y v 2 v 5.

14.1.2 V´ertices Adyacentes

Diremos que los v´ertices u y v son adyacentes, si existe una arista a tal que a = uv. A los v´ertices u y v los llamaremos extremos de la arista.

14.1.3 Representaci´on Gr´afica

Un grafo se representa mediante un diagrama en el cual a cada v´ertice le corresponde un punto y si dos v´ertices son adyacentes se unen sus puntos correspondientes mediante una l´ınea.

Ejemplo 14.

v 1

v 3 v 2

v 4 v 5

Representaci´on gr´afica de un grafo

El grafo de la figura tiene como conjunto de v´ertices

V = {v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 }

siendo su conjunto de aristas, A = {v 1 v 2 , v 2 v 3 , v 2 v 5 , v 3 v 4 , v 3 v 5 }

V´ertices adyacentes: v 1 y v 2 ; v 2 y v 3 ; v 2 y v 5 ; v 3 y v 4 ; v 3 y v 5.

V´ertices no adyacentes: v 1 y v 3 ; v 1 y v 4 ; v 2 y v 4 ; v 4 y v 5. 

Ejemplo 14.2 Sean V = {v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 } y A = {v 1 v 2 , v 1 v 4 , v 2 v 3 , v 2 v 5 , v 3 v 5 , v 4 v 5 }. Constr´uyase la representaci´on gr´afica del grafo G = (V, A).

Soluci´on

Representamos cada uno de los v´ertices por un punto y luego cada arista por una l´ınea que una dos v´ertices que representan los extremos de la misma como muestra la figura. La soluci´on no es, obviamente, la ´unica.

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En la figura, (a) representa un multigrafo cuyo conjunto de v´ertices es

V = {v 1 , v 2 , v 3 }

y el de aristas

A = {v 1 v 2 , v 1 v 2 , v 1 v 3 , v 1 v 3 , v 2 v 3 }

(b) representa un pseudografo cuyo conjunto de v´ertices es

V = {v 1 , v 2 , v 3 }

y el de aristas,

A = {v 1 v 2 , v 1 v 3 , v 2 v 3 , v 1 v 1 }

y (c) representa un grafo que es, a un tiempo, pseudo y multigrafo cuyo conjunto de v´ertices es

V = {v 1 , v 2 , v 3 }

y que tiene por conjunto de aristas

A = {v 1 v 2 , v 1 v 2 , v 1 v 3 , v 1 v 3 , v 2 v 3 , v 1 v 1 }



14.1.6 Digrafo

Es un grafo en el cual el conjunto de las aristas A est´a formado por pares ordenados del conjunto de v´ertices V. Lo llamaremos tambi´en grafo dirigido.

Esto asigna un orden en los extremos de cada arista. Dicho orden se indica en el diagrama con una flecha y llamaremos origen o inicial al primer v´ertice de una arista y fin o terminal al segundo.

14.2 Grados

14.2.1 Grado de un V´ertice

Llamaremos grado o valencia de un v´ertice al n´umero de aristas que incidan en ´el.

Notaremos por grG(v) al grado del v´ertice v en el grafo G y cuando no haya posibilidad de confusi´on notaremos, simplemente, gr(v).

14.2.2 V´ertice Aislado

Un v´ertice de grado cero se denomina aislado.

14.2.3 Grafo Regular

Un grafo se dice que es regular cuando todos sus v´ertices tienen el mismo grado.

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14.2.4 Suma de los Grados de un Grafo

En cualquier grafo se verifica,

(a) La suma de todos sus grados es igual al doble del n´umero de sus aristas.

(b) El n´umero de v´ertices de grado impar es par.

Demostraci´on

Sea G = (V, A) un grafo cuyo conjunto de v´ertices es

V = {v 1 , v 2 ,... , vq }

y sea |A| el n´umero de aristas de G.

(a) Cada una de las aristas une dos v´ertices luego al sumar los grados de ´estos, las contamos, exactamente, dos veces, de aqu´ı que ∑q

i=

gr(vi) = 2 |A|

(b) En efecto, supongamos que de los q v´ertices que tiene G hay p con grado par (los p primeros) y el resto, es decir q − p, tienen grado impar. Entonces, por el apartado (a), ∑^ q

i=

gr(vi) = 2 |A| (14.1)

Ahora bien,

gr(vi) es par, 1 6 i 6 p =⇒ gr(vi) = 2ki, 1 6 i 6 p

∑^ p

i=

gr(vi) = 2

∑^ p

i=

ki

gr(vi) es impar, p + 1 6 i 6 q =⇒ gr(vi) = 2ki + 1, p + 1 6 i 6 q

∑^ q

i=p+

gr(vi) = 2

∑^ q

i=p+

ki +

∑^ q

i=p+

∑^ q

i=p+

gr(vi) = 2

∑^ q

i=p+

ki + (q − p)

de aqu´ı se sigue que ∑^ p

i=

gr(vi) +

∑^ q

i=p+

gr(vi) = 2

∑^ p

i=

ki + 2

∑^ q

i=p+

ki + (q − p)

es decir, ∑q

i=

gr(vi) = 2

∑^ q

i=

ki + (q − p)

sustituyendo en (14.1), resulta

2

∑^ q

i=

ki + (q − p) = 2 |A|

y, consecuentemente,

q − p = 2 |A| − 2

∑^ q

i=

ki

es decir, q − p es par.

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gr(v 4 ) = 1

gr(v 5 ) = 4

y

∑^5

i=

gr(vi) = 12 = 2 · 6 = 2 |A|

Por otra parte, el n´umero de v´ertices de grado impar es 2 (v 3 y v 4 ). 

Ejemplo 14.5 ¿Se puede construir un grafo regular con 10 aristas en el que cada v´ertice tenga grado 4?

Soluci´on

Seg´un el teorema anterior,

∑^ p

i=

gr(vi) = 2 |A| =⇒

∑^ p

i=

gr(vi) = 2 · 10 =⇒ 4 p = 20 =⇒ p = 5

luego es posible y ha de tener cinco v´ertices. La figura siguiente nos muestra dos ejemplos de grafos que cumplen estas condiciones.

u 1

u 2

u 3

u 4 u 5

v 2 v 1

v 3 v 4

v 5

G 1 G 2

Ejemplo 14.

14.2.5 Grado de Entrada y de Salida

Si v es un v´ertice de un digrafo D, entonces su grado de entrada gre(v) es el n´umero de arcos en D de la forma uv y su grado de salida grs(v) es el n´umero de arcos en D de la forma vu.

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14.3 Isomorfismo

14.3.1 Isomorfismo de Grafos

Dos grafos G 1 = (V 1 , A 1 ) y G 2 = (V 2 , A 2 ) se dice que son isomorfos cuando existe una biyecci´on entre los conjuntos de sus v´ertices que conserva la adyacencia. Si los grafos G 1 y G 2 son isomorfos, notaremos G 1 ' G 2.

Nota 14.1 Seg´un la definici´on anterior,

G 1 ' G 2 ⇐⇒ ∃f : V 1 −→ V 2 :

f es biyectiva uv ∈ A 1 ⇐⇒ f (u)f (v) ∈ A 2 ; ∀u, v ∈ V 1

Ejemplo 14.6 Construir un grafo isomorfo al de la siguiente figura.

u 2 u 1

u 3 u 4

G 1

Soluci´on

Sea G 1 = (V 1 , A 1 ) el grafo dado y sea G 2 = (V 2 , A 2 ) el grafo que buscamos. Entonces,

V 1 = {u 1 , u 2 , u 3 , u 4 }

y

A 1 = {u 1 u 2 , u 1 u 3 , u 1 u 4 , u 2 u 3 , u 2 , u 4 , u 3 u 4 }

son, respectivamente, sus conjuntos de v´ertices y de aristas.

Pues bien, como tenemos que construir una funci´on entre los conjuntos de v´ertices que sea biyectiva, V 2 ha de tener el mismo n´umero de elementos que V 1 , es decir 4. Podemos escribir, por tanto,

V 2 = {v 1 , v 2 , v 3 , v 4 }.

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Sean G 1 y G 2 dos grafos y sea f un isomorfismo entre ambos. Veamos que si u es un v´ertice arbitrario de G 1 , entonces gr(u) = gr(f (u)).

En efecto, como f es una biyecci´on que conserva la adyacencia, el n´umero de v´ertices adyacentes a u en G 1 ha de ser el mismo que el de v´ertices adyacentes a f (u) en G 2 , por lo tanto, el n´umero de aristas con extremo en u ha de coincidir con el n´umero de aristas con extremo en f (u) y, consecuentemente, sus grados ser´an iguales. 

Ejemplo 14.7 Los grafos de la figura siguiente tienen el mismo n´umero de v´ertices (6) y de aristas (9). ¿Son isomorfos?

u 1

u 3 u 2

u 4

u 5 u 6

v 1

v 2

v 3

v 4 v 5 v 6

G 1 G 2

Grafos no isomorfos

Soluci´on

Observemos que grG 1 (u 1 ) = 2 grG 1 (u 2 ) = 4 grG 1 (u 3 ) = 3 grG 1 (u 4 ) = 2 grG 1 (u 5 ) = 4 grG 1 (u 6 ) = 3

y grG 2 (v 1 ) = 4 grG 2 (v 2 ) = 2 grG 2 (v 3 ) = 4 grG 2 (v 4 ) = 2 grG 2 (v 5 ) = 4 grG 2 (v 6 ) = 2

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y, seg´un la proposici´on anterior,

si G 1 es isomorfo a G 2 entonces grG 1 (u) = grG 2 (f (u))

para cualquier v´ertice u del grafo G 1.

Por lo tanto, si encontramos, al menos, un v´ertice u en G 1 tal que grG 1 (u) 6 = grG 2 (f (u)), entonces f no ser´ıa un isomorfismo, es decir, no podr´ıa establecerse entre ambos grafos una funci´on biyectiva que conserve la adyacencia.

Pues bien, si tenemos en cuenta, por ejemplo, que en G 1 hay dos v´ertices de grado 2 y en G 2 hay tres, cualquier funci´on que establezcamos entre ambos grafos har´a corresponder a un v´ertice de grado 2 un v´ertice de grado distinto de 2 y, consecuentemente, ambos grafos no son isomorfos. 

Ejemplo 14.

(a) Probar que los grafos G 1 y G 2 en la figura no son isomorfos. (b) Idem con los grafos G 2 y G 3

G 1 G 2 G 3

Ejemplo 14.

Soluci´on

(a) G 1 y G 2. En efecto, si existiese una biyecci´on entre los conjuntos de v´ertices de G 1 y G 2 , ambos grafos deber´ıan tener el mismo n´umero de v´ertices. Pero G 1 tiene ocho v´ertices y G 2 diez, luego es imposible que exista tal biyecci´on y, consecuentemente, no son isomorfos.

(b) G 2 y G 3. En efecto, ambos tienen el mismo n´umero de v´ertices, luego existen aplicaciones biyectivas entre los conjuntos de v´ertices de G 2 y G 3. Ahora bien, un isomorfismo entre grafos conserva el grado de los v´ertices de aqu´ı que el n´umero de v´ertices de grado 2 en G 2 deba ser igual al de v´ertices del mismo grado en G 3. Como G 2 tiene 2 v´ertices de grado 2 y G 3 tiene 6, dichos grafos no son isomorfos.

14.4 Subgrafos

14.4.1 Definici´on

Un subgrafo de un grafo G = (V (G), A(G)) es un grafo H = (V (H), A(H)) tal que V (H) ⊆ V (G) y A(H) ⊆ A(G).

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v 3 v 2 v 1

v 4 v 5 v 6

v 3 v 2 v 1

v 5

v 3 v 2 v 1

v 4 v 5 v 6

G H 1 H 2

Subgrafos expandido e inducido

En la figura anterior, H 2 es un subgrafo expandido de G, ya que contiene a todos los v´ertices de G, sin embargo H 1 no lo es ya que le faltan v 4 y v 6.

Por otra parte, H 1 es un subgrafo inducido ya que si W = {v 1 , v 2 , v 3 , v 5 }, el subgrafo H 1 contiene todas las aristas de G incidentes con los v´ertices de W , pero H 2 no lo es ya que le faltan las aristas v 1 v 6 , v 3 v 4 y v 5 v 6. 

14.4.4 Eliminaci´on de Aristas

Si a es una arista del grafo G, entonces el subgrafo G \ {a} es el grafo que se obtiene de G eliminando la arista a.

En general, escribiremos G{a 1 , a 2 ,... , ak} para denominar al subgrafo que se obtiene de G eliminando las aristas a 1 , a 2 ,... , ak.

14.4.5 Eliminaci´on de V´ertices

Si v es un v´ertice del grafo G, entonces G \ {v} es el subgrafo obtenido del G eliminando el v´ertice v junto con todas las aristas incidentes con ´el.

En general, escribimos G \ {v 1 , v 2 ,... , vk} para notar al grafo obtenido eliminando los v´ertices v 1 , v 2 ,... , vk en G y todas las aristas incidentes con cualquiera de ellos.

Ejemplo 14.11 La figura nos muestra un grafo y dos subgrafos suyos obtenidos eliminando aristas y v´ertices, respectivamente.

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v 1

v 3 v 2

v 4 v 5 v 1

v 3 v 2

v 4 v 5

v 3 v 2

v 5

G G \ {v 1 v 5 , v 4 v 5 } G \ {v 1 , v 4 }

Eliminando aristas y v´ertices

14.4.6 Grafos Completos

Se dice que un grafo es completo cuando todos sus v´ertices son adyacentes a todos los v´ertices del grafo, es decir, cuando cada par de v´ertices son los extremos de una arista. Notaremos por Kn los grafos completos de n v´ertices.

Ejemplo 14.12 La figura siguiente muestra los cinco primeros grafos completos.

K 1 K 2 K 3 K 4 K 5

Grafos Completos

Ejemplo 14.13 Demostrar que todo grafo completo es regular y dar un ejemplo de que el rec´ıproco no es cierto.

Soluci´on

En efecto, si G es un grafo completo con p v´ertices, entonces cualquier v´ertice de G es adyacente a otro v´ertice de G, por lo tanto su grado es p − 1. Consecuentemente, G es un grafo regular de grado p − 1.

Veamos que el rec´ıproco no es cierto.

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v 2 v 1

v 3 v 4

v 2 v 1

v 3 v 4

G G

Complemento de un Grafo

En la figura representamos un grafo de cuatro v´ertices y su complemento. 

14.5 Caminos y Ciclos

14.5.1 Camino

Sea G un grafo o un multigrafo. Un camino en G es una sucesi´on donde se alternan v´ertices y aristas, comenzando y terminando con v´ertices y en el que cada arista es incidente con los dos v´ertices que la preceden y la siguen.

Un camino que une los v´ertices v 1 y vn ser´ıa:

v 1 , v 1 v 2 , v 2 , v 2 v 3 ,... , vn− 1 , vn− 1 vn, vn

Si se trata de un grafo (no un multigrafo) este camino tambi´en puede especificarse simplemente por la sucesi´on de sus v´ertices, v 1 , v 2 , v 3... , vn− 1 , vn y lo representaremos por:

γ = 〈v 1 , v 2 , v 3 ,... , vn− 1 , vn〉

A los v´ertices v 1 y vn se les denomina extremos del camino. Suele decirse tambi´en que el camino conecta v 1 con vn o que va de v 1 a vn. La longitud del camino es el n´umero n − 1 de aristas que contiene.

Un camino es simple si en la sucesi´on de v´ertices no hay ninguno repetido.

14.5.2 Ciclo

Sea G un grafo o un multigrafo. Un ciclo en G es un camino en el que sus extremos coinciden.

El ciclo ser´a simple si no hay, adem´as del primero y el ´ultimo, ning´un otro v´ertice repetido.

En un grafo dirigido, utilizaremos los t´erminos caminos y ciclos dirigidos.

Ejemplo 14.

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v 1

v 2

v 3

v 4

v 5 v 6

Caminos y Ciclos

γ = 〈v 1 , v 2 , v 6 , v 3 , v 4 , v 6 , v 5 〉 es un camino.

γ = 〈v 1 , v 2 , v 3 , v 4 〉 es un camino simple ya que no hay ning´un v´ertice repetido.

γ = 〈v 1 , v 2 , v 6 , v 5 , v 4 , v 6 , v 2 , v 1 〉 es un ciclo.

γ = 〈v 2 , v 3 , v 4 , v 5 , v 6 , v 2 〉 es un ciclo simple ya que se repiten, ´unicamente, los v´ertices primero y ´ultimo.

Ejemplo 14.17 Sea G el grafo de la figura. Encontrar:

v 1

v 3 v 2

v 4

v 5 v 6

v 7

G