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Combinatoria
En todo problema combinatorio hay varios conceptos claves que debemos distinguir:
Conceptos de combinatoria
- Población
Es el conjunto de elementos que estamos estudiando. Denominaremos con m al número de elementos de este conjunto.
- Muestra
Es un subconjunto de la población. Denominaremos con n al número de elementos que componen la muestra.
Los diferentes tipos de muestra vienen determinados por dos aspectos:
Orden
Es decir, si es importante que los elementos de la muestra aparezcan ordenados o no.
Repetición
La posibilidad de repetición o no de los elementos.
Es el producto de los “n” factores consecutivos desde “n” hasta 1. El factorial de un número se denota por n!.
Factorial de un número natural
Ejemplo
Calcular factorial de 5.
Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a los distintos grupos formados por n elementos de forma que:
Variaciones
No entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
También podemos calcular las variaciones mediante factoriales:
Las variaciones se denotan por
Ejemplos
- Calcular las variaciones de 6 elementos tomados de tres en tres.
2.¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5?
m = 5n = 3 m ≥ n
No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.
Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.
3.¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5?
m = 6n = 3 m ≥ n
Tenemos que separar el número en dos bloques:
El primer bloque, de un número, lo puede ocupar sólo uno de 5 dígitos porque un número no comienza por cero (excepto los de las matriculas, los de la lotería y otros casos particulares),
- ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5?
m = 6 n = 3
Tenemos que separar el número en dos bloques:
El primer bloque, de un número, lo puede ocupar sólo uno de 5 dígitos porque un número no comienza por cero (excepto los de las matriculas, los de la lotería y otros casos particulares),
m = 5 n = 1
El segundo bloque, de dos números, lo puede ocupar cualquier dígito.
m = 6 n = 2
- ¿Cuántas quinielas de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los 15 resultados?
m = 3 n = 15 m < n
Sí entran todos los elementos. En este caso el número de orden es mayor que el número de elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Se llama permutaciones de m elementos (m = n) a las diferentes agrupaciones de esos m elementos de forma que:
Permutaciones
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
Ejemplos
- Calcular las permutaciones de 6 elementos.
P 6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
- ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.
m = 5 n = 5
Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.
Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.
- ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?
Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.
Permutaciones circulares
Es un caso particular de las permutaciones.
Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en círculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se sitúe" en la muestra determina el principio y el final de muestra.
Ejemplos
- Calcular las permutaciones circulares de 7 elementos.
PC 7 = (7 − 1)! = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
- En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que:
Combinaciones
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
También podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:
Las combinaciones se denotan por
Ejemplos
- Calcular el número de combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4.
- En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
No entran todos los elementos.
No importa el orden: Juan, Ana.
No se repiten los elementos.
Las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (m ≥ n), son los distintos grupos formados por n elementos de manera que:
Combinaciones con repetición
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Ejemplo
En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?
No entran todos los elementos. Sólo elije 4..
No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.
Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.
El triángulo de números combinatorios de Tartaglia o de Pascal (debido a que fue este matemático quien lo popularizó) es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico, del que podemos ver sus primeras líneas:
Triángulo de Pascal o de Tartaglia
- La primera fila corresponde a los números combinatorios de 1, el número superior es un 1, la segunda de 2, la tercera de 3 y así sucesivamente.
Propiedades del Triángulo de Pascal o de Tartaglia
2.Todas la filas empiezan y acaban en 1.
3.Todas las filas son simétricas.
4.Cada número se obtiene sumando los dos que están situados sobre él.
Aplicando estas propiedades podemos escribir el triángulo de Pascal:
El triángulo de Pascal o de Tartaglia nos será muy útil para calcular los coefecientes del binomio de Newton.
La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton.
El binomio de Newton
Podemos observar que:
El número de términos es n+1.
Los coeficientes son números combinatorios que corresponden a la fila enésima del triángulo de Tartaglia.
En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo, de uno en uno, de n a cero; y los exponentes de b van aumentando, de uno en uno, de cero a n, de tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada término es igual a n.
En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan los signos positivos y negativos.
