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Cap´ıtulo 2
Las t´ecnicas b´asicas de la
Combinatoria
Contar es una t´ecnica... y un arte. Averiguar cu´antos objetos existen que se ajustan a determinadas caracter´ısticas puede no ser f´acil^1. En el caso de una colecci´on f´ısica, concreta, de objetos se trata simplemente de enumerarlos, es decir, de decir qui´en es el primero, qui´en el segundo, etc. Pero si, como es habitual, lo que tenemos es una colecci´on definida abstrac- tamente (como por ejemplo, los pasos de un algoritmo cuando los datos de entrada son de un determinado tama˜no), el procedimiento tiene que ser otro. Con frecuencia, la ´unica alterna- tiva es indirecta y consiste en comparar la colecci´on dada con otra colecci´on de objetos (cuyo n´umero conocemos) y comprobar, si fuera el caso, que tienen el mismo n´umero de objetos. En este cap´ıtulo discutiremos t´ecnicas ´utiles para llevar a cabo ese tipo de comprobaciones; pero c´omo seleccionar la colecci´on adecuada con la que se compara es m´as una cuesti´on de experiencia, y de prueba y error; todo un arte. Las colecciones de objetos que nos interesar´an vienen a veces ordenadas de forma natural y otras veces el orden resulta irrelevante. En ocasiones las colecciones se forman atendiendo a ciertos principios de exclusi´on que impiden repeticiones, y en otras no. Estos dos condicio- nantes, orden y repetici´on, aparecen siempre en cualesquiera cuestiones de Combinatoria. Y siempre, en cada caso particular, habr´a que precisarlos.
Un conjunto es una colecci´on (no ordenada) de objetos, que llamaremos sus elementos. Un conjunto muy especial es el conjunto vac´ıo, Ø, aqu´el que no tiene elemento alguno. Gen- eralmente, representaremos un conjunto escribiendo sus elementos entre llaves. Si permitimos que el conjunto contenga elementos repetidos, utilizaremos un nombre especial, multicon- juntos. Nos interesar´a, fundamentalmente, contar el n´umero de elementos de que consta un conjunto, lo que llamaremos su tama˜no o cardinal. En un momento precisaremos esta idea. En muchas ocasiones convendr´a considerar listas, colecciones ordenadas de objetos, en las que deberemos distinguir si se permite o no la aparici´on repetida de elementos (hablaremos de listas con y sin repetici´on permitida). Las representaremos generalmente escribiendo sus elementos entre par´entesis. El n´umero de elementos de que consta una lista ser´a su longitud. A una lista de longitud k nos referiremos en ocasiones, por abreviar, como una k-lista. (^1) Es bien sabido que hay tres tipos de matem´aticos: los que saben contar y los que no.
52 Cap´ıtulo 2. Las t´ecnicas b´asicas de la Combinatoria
Todas estas ideas ser´an convenientemente desarrolladas en las p´aginas siguientes, donde nos entrenaremos en la tarea de decidir qu´e tipo de objetos son los adecuados para describir cada problema particular.
A veces tendremos que mezclarlos y considerar, por ejemplo, conjuntos cuyos elementos son listas, o listas cuyos t´erminos son conjuntos. Supongamos, por ejemplo, que tenemos los objetos a, b y c. Podemos, por ejemplo, considerar los conjuntos de tama˜no 2 que podemos formar con estos objetos, {a, b}, {a, c}, {b, c} ,
o quiz´as las listas sin repetici´on de longitud 2,
(a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b).
Si permiti´eramos repetici´on de elementos, deber´ıamos a˜nadir, en el primer caso, los conjuntos {a, a}, {b, b} y {c, c}; y, en el segundo, las listas (a, a), (b, b) y (c, c). Obs´ervese el uso que hemos hecho de la notaci´on de las llaves y los par´entesis en esta enumeraci´on. Por ejemplo, el conjunto {a, b} es el mismo que {b, a}, mientras que la lista (a, b) es distinta de la lista (b, a).
2.1. Aprendiendo a contar
Se dice que un conjunto A tiene cardinal n si existe una funci´on biyectiva f del conjunto { 1 ,... , n} en el conjunto A. Por convenio se asigna cardinal cero al conjunto vac´ıo. Un momento de reflexi´on lleva a concluir que el cardinal no es m´as que el n´umero de elementos de un conjunto. A este cardinal lo llamaremos tambi´en, al menos cuando sea finito, tama˜no del conjunto. Para un conjunto A escribiremos, indistintamente,
tama˜no de A = |A| = #A
As´ı que, aunque pudiera sonar pedante, “contar” consiste en establecer una biyecci´on en- tre los elementos del conjunto y un conjunto de n´umeros naturales. Algo que en realidad hacemos continuamente, aunque no seamos conscientes del aparato formal que subyace en el procedimiento: si quisi´eramos contar el n´umero de alumnos que hay en el aula, empezar´ıamos por uno de ellos y le asignar´ıamos el 1 (quiz´as se˜nal´andolo y diciendo “uno” en alto), luego ir´ıamos al siguiente y le asignar´ıamos el 2, etc. El resultado final, por supuesto, no depende del orden en que hayamos hecho la asignaci´on (es decir, de la biyecci´on elegida), sino s´olo de la cantidad de n´umeros naturales 1, 2 ,... que hayamos utilizado.
Podemos ir un poco m´as all´a con esta idea. Una consecuencia directa de nuestra definici´on de cardinal es la siguiente:
si A y B son dos conjuntos y existe una aplicaci´on biyectiva de A sobre B, entonces |A| = |B|.
Es decir, dos conjuntos tienen el mismo cardinal si existe una biyecci´on entre ellos. Diremos que un conjunto es infinito si no se puede establecer una biyecci´on con { 1 ,... , n}, para ning´un n. En la subsecci´on 2.1.3 nos ocuparemos de la delicada cuesti´on de ampliar la noci´on de cardinal a conjuntos infinitos.
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2.1.1. El doble conteo
La t´ecnica de contar usando biyecciones se puede entender como un caso particular de una t´ecnica m´as general. Empecemos considerando el siguiente ejemplo:
Ejemplo 2.1.3 Divisores positivos y negativos.
Vamos a considerar los conjuntos
A = {n ∈ N : n es divisor de 60000} y C = {n ∈ Z : n es divisor de 60000}.
A cada divisor n positivo de 60000 le corresponden dos divisores en Z, n y −n. As´ı que podemos construir una aplicaci´on f : C −→ A de manera que a cada elemento n ∈ C se le asocia un elemento de A mediante la receta f (n) = |n|.
Es una aplicaci´on sobreyectiva, pues cada elemento de A tiene al menos una preimagen, un elemento de C con el que est´a relacionado a trav´es de la aplicaci´on f. Sin embargo, no es biyectiva, porque hay elementos de C cuyas im´agenes coinciden (n y −n van ambos a |n|). De hecho, cada elemento de A tiene exactamente dos preim´agenes. As´ı que C tiene el doble de elementos que A. ♣
Obs´ervese que para obtener la conclusi´on del ejemplo anterior ha sido necesario que la aplicaci´on fuera sobreyectiva (que no se “saltara” ning´un elemento de A). Consideremos entonces dos conjuntos X e Y, entre los que se ha establecido una aplicaci´on sobreyectiva
X f −→ Y. si cada elemento de Y tiene una ´unica preimagen, esto es, si la aplicaci´on es adem´as inyectiva (y por tanto biyectiva), entonces, como bien sabemos, |X | = |Y|. Pero si cada elemento de Y tiene exactamente dos preim´agenes, lo que escribiremos generalmente como #{f −^1 (y)} = 2 para todo y ∈ Y, entonces |X | = 2 |Y|. A este tipo de aplicaciones se les llama muchas veces, por razones evidentes, aplicaciones 2 a 1. O m´as generalmente: si la aplicaci´on f cumple que #{f −^1 (y)} = k para todo y ∈ Y, esto es, si es una aplicaci´on k a 1, entonces |X | = k |Y|. Hay una manera muy gr´afica de entender estos resultados (y algunos m´as generales que veremos a continuaci´on). Se trata de una t´ecnica simple, pero eficaz, que se recoge en el lema del doble conteo^2. Consiste en la siguiente idea: dada una matriz, si sumamos los valores de todas sus entradas, el resultado no depender´a de si primero sumamos cada fila y luego los resultados obtenidos, lo que llamaremos sumar por filas; o de si primero sumamos cada columna y luego los resultados (sumar por columnas). Es algo sobre lo que ya reflexionamos en la p´agina 38, cuando explic´abamos las manipulaciones con sumas dobles. (^2) Lamentar´ıamos que nuestro entusiasmo por el doble conteo pudiera inducir al lector a amalgamar dentro de este t´ermino a la doble contabilidad. El doble conteo es un truco, la doble contabilidad es una trampa. Nota de Nota: No debe confundirse tampoco la doble contabilidad con la contabilidad de doble entrada. En 1494, Fray Luca Pacioli, del que hablaremos en la secci´on 4.4, quien es considerado el padre de la Con- tabilidad moderna, public´o su libro Summa de Arithmetica, 36 de cuyos cap´ıtulos estaban dedicados a explicar la partida doble, o Contabilidad de doble entrada, como mecanismo contable. Johann Wolfgang von Goethe, quiz´a el escritor m´as influyente de finales del siglo XVIII, describir´ıa el sistema de Pacioli como “algo de perenne belleza y simplicidad y uno de los mayores logros del intelecto humano”.
2.1. Aprendiendo a contar 55
Apliquemos esta idea a nuestro caso. Tenemos una apli- caci´on sobreyectiva
y 1 y 2 y 3 · · · ym x 1 1 0 0 · · · 0 x 2 0 0 1 · · · 0 x 3 0 0 0 · · · 1 .. .
.. .
.. .
.. .
... .. . xn 1 0 0 · · · 0
X
f −→ Y
y construimos la siguiente matriz: en verticales colocamos los elementos de X = {x 1 ,... , xn} y en horizontales, los de Y = {y 1 ,... , ym}. En otros t´erminos, etiquetamos las filas con los elementos de X y las columnas con los de Y. Las entradas de la matriz ser´an ceros o unos. Colocaremos un 1 en la posici´on (i, j) si f (xi) = yj , y un 0 en caso contrario. Obtenemos as´ı matrices como la que aparece a la derecha. El que sea una aplicaci´on nos garantiza que en cada fila aparece exactamente un 1, pues cada elemento de X tiene una ´unica imagen. As´ı que la suma en cada fila da 1, y en total habr´a |X | unos en la matriz. La sobreyectividad garantiza, por su parte, que no haya columnas s´olo con ceros. Si, adem´as, la aplicaci´on f es biyectiva, (sobreyectiva e inyectiva, ´o 1 a 1), entonces en cada columna s´olo aparece un 1. Sumando en todas las columnas, obtenemos |Y| unos. Y como el resultado no ha de depender de si sumamos por filas o por columnas, deducimos que |X | = |Y|, como ya sab´ıamos.
Si la aplicaci´on es 2 a 1, entonces en cada columna hay dos unos, y en total obtenemos 2 |Y| unos, de manera que tendr´ıamos |X | = 2 |Y|. En general, si la aplicaci´on es k a 1, tendremos que |X | = k |Y|. Observe el lector que, en estos argumentos y resultados, es fundamental la hip´otesis de sobreyectividad.
Intentemos ahora escribir una relaci´on general, v´alida para aplicaciones f cualesquiera de X a Y. En la matriz correspondiente la suma por filas sigue dando |X |, por ser f una aplicaci´on. Y en la columna etiquetada con yi obtenemos tantos unos como preim´agenes tenga yi, es decir, #{f −^1 (yi)} unos. En total,
|X | =
y∈Y
#{f −^1 (y)}.
Ahora ya no es necesario que la aplicaci´on sea sobreyectiva, porque si f se “salta” un cierto elemento yi ∈ Y, entonces #{f −^1 (yi)} = 0, y el valor de la suma de arriba no cambia. Una expresi´on alternativa, que resulta ´util en diversas circunstancias, es la que se obtiene “agrupando” en la suma anterior los elementos de Y en funci´on del n´umero de preim´agenes que tengan. Llamemos ak = #
y ∈ Y : #{f −^1 (y)} = k
Esto es, ak es el n´umero de elementos de Y que tienen exactamente k preim´agenes. Entonces
|X | =
k
k ak.
Quiz´as el lector encuentre excesivo, a estas alturas, introducir toda esta maquinaria del doble conteo. Confiamos en que se convenza de su utilidad m´as adelante, cuando descubra c´omo su aplicaci´on permite codificar de manera transparente resultados dif´ıciles de probar por otros m´etodos (en el principio de inclusi´on/exclusi´on, en grafos, en el lema de Hall, etc.). El siguiente ejemplo es simp´atico, y nos lo volveremos a encontrar en diversos contextos.
2.1. Aprendiendo a contar 57
Ejemplo 2.1.5 ¿Cu´antos n´umeros entre 1 y 60000 no dividen al propio 60000?
El conjunto de inter´es es C = {n ∈ N , 1 ≤ n ≤ 60000 : n no divide a 60000}, que est´a inclui- do en X = { 1 , 2 ,... , 6000 }. Obs´ervese que |X| = 60000. Ya consideramos, en el ejemplo 2.1.1, el conjunto A = {n ∈ N : n divide a 60000}. Observe el lector que A tambi´en est´a incluido en X (pues los divisores de 60000 deber´an ser ≤ 60000). Pero m´as a´un, A resulta ser, justa y afortunadamente, X \ C. As´ı que
|C| = |X| − |X \ C| = 6000 − |A|.
Tenga a´un un poco de paciencia el lector, hasta que lleguemos al ejemplo 2.2.1, con el que podremos completar todos estos c´alculos. ♣
2.1.3. El infinito
Figura 2.1: Hilbert
¿Qu´e es un conjunto infinito? Siguiendo la definici´on dada unas p´aginas atr´as, cualquier conjunto que no pueda ser puesto en biyec- ci´on con { 1 ,... , n}, sea cual sea n. Desde luego, el propio conjunto de los n´umeros naturales, N, es un conjunto infinito. Tambi´en son infinitos el conjunto de los n´umeros enteros Z, el de los racionales Q, el de los reales R, etc. Ahora bien, casi cualquier pregunta que nos hagamos al respecto, como por ejemplo: ¿hay infinitos “m´as grandes” que otros?; ¿hay alguna manera de compararlos?, requiere un an´ali- sis cuidadoso y delicado, que es el que pretendemos hacer en esta subsecci´on. Porque el concepto del infinito^5 es elusivo y desaf´ıa en muchas ocasiones nuestra intuici´on. En palabras de Hilbert^6 ,
¡El infinito! Ninguna otra cuesti´on ha conmovido nunca tan profundamente el esp´ıritu humano; ninguna otra idea ha estim- ulado tan fruct´ıferamente su intelecto; y ning´un otro concepto tiene tanta necesidad de ser clarificado. Dej´emonos guiar por el caso finito. Recordemos que si A y B son dos conjuntos finitos y existe una funci´on biyectiva entre ellos, entonces decimos que A y B tienen el mismo tama˜no o cardinal. Decidimos entonces ampliar el rango de aplicaci´on de esta definici´on: dos conjuntos cualesquiera A y B tienen el mismo cardinal si existe una biyecci´on entre ambos. (^5) Aqu´ı convendr´ıa se˜nalar que el concepto de infinito al que nos estamos refiriendo es al de un infinito actual, una entidad, un objeto dado. Desde Arist´oteles (que lo prohib´ıa expresamente en el Libro III de su F´ısica) hasta Gauss s´olo se manejaba un concepto de infinito potencial, como la posibilidad de considerar procesos ad infinitum. (^6) David Hilbert (1862-1943) fue uno de los matem´aticos m´as influyentes de finales del siglo XIX y prin- cipios del XX. Realiz´o important´ısimas aportaciones a diversas ramas de las matem´aticas, como la Teor´ıa Algebraica de N´umeros, la Geometr´ıa, los Fundamentos de las Matem´aticas, el An´alisis Funcional, la F´ısica matem´atica... Los ahora llamados espacios de Hilbert son la base de la formulaci´on de la Mec´anica cu´antica, que ha conseguido describir satisfactoriamente los fen´omenos subat´omicos. En 1900, en el segundo Congreso Internacional de Matem´aticos celebrado en Par´ıs, propuso una lista de 23 problemas que ´el consider´o como los m´as relevantes en las Matem´aticas de aquel momento; algunos de ellos todav´ıa no se han resuelto comple- tamente, como es el caso de la hip´otesis de Riemann. Quiz´as sirva como ilustraci´on de su esp´ıritu una de sus frases favoritas: Wir m¨ussen wissen, wir werden wissen. Esto es, “Debemos saber, sabremos”.
58 Cap´ıtulo 2. Las t´ecnicas b´asicas de la Combinatoria
Esta definici´on depara inmediatamente sorpresas. Consideremos, por ejemplo, dos con- juntos infinitos, como el de los n´umeros naturales N y el conjunto P de todos los n´umeros naturales pares. A´un siendo ambos infinitos, la intuici´on nos dice que “hay m´as” n´umeros naturales que n´umeros naturales pares. Al fin y al cabo, P ⊂ N. Pero consideremos la funci´on f : N → P dada por f (n) = 2 n para cada n ∈ N. Es f´acil comprobar que esta funci´on es una biyecci´on entre los dos conjuntos, as´ı que, seg´un nuestra definici´on, tienen el mismo cardinal. Lo mismo ocurre con N y los n´umeros naturales impares (tomando, por ejemplo, la funci´on f (n) = 2n − 1). Sorpr´endase el lector: los naturales pares (o los impares) son un subconjunto de N (y no son todo N), y sin embargo ambos conjuntos tienen el mismo cardinal.
Oigamos a Antonio Machado con el siguiente Ejercicio de Sof´ıstica de Juan de Mairena: La serie de los n´umeros pares es justamente la mitad de la serie total de n´umeros. La serie de los n´umeros impares es justamente la otra mitad. La serie de los pares y la serie de los impares son —ambas— infinitas. La serie total de los n´umeros es tambi´en infinita. ¿Ser´a entonces doblemente infinita que la serie de los n´umeros pares y que la serie de los impares? Ser´ıa absurdo pensarlo, porque el concepto de infinito no admite ni m´as ni menos. Entonces, las partes —la serie par y la impar—, ¿ser´an iguales al todo?
- Atenme esta mosca por el rabo y d´´ ıganme en qu´e consiste lo sof´ıstico de este argumento. Juan de Mairena gustaba de hacer razonar en prosa a sus alumnos, para que no razonasen en verso.
Figura 2.2: Galileo
Tambi´en el conjunto Q = { 1 , 4 , 9 , 16 , 25 ,... } de los n´umeros natu- rales que son cuadrados es un conjunto infinito que puede ser puesto en biyecci´on con N. Sobre esto reflexionaba, algo atribulado, Galileo^7 : No veo otra decisi´on sino admitir que el conjunto de los n´umeros [naturales] es infinito; los cuadrados son infinitos, y ni la cantidad de cuadrados es menor que la cantidad de naturales, ni al rev´es. Los atributos de igualdad, de mayor o menor no tienen cabida al tratar cantidades infinitas, sino s´olo en cantidades finitas. Como veremos pronto, Machado y Galileo s´olo ten´ıan raz´on en parte: en realidad, el concepto de infinito s´ı admite “m´as y menos”. El que una parte tenga igual cardinal que el todo no puede ocurrir, por supuesto, para conjuntos finitos. Un buen ejemplo de esta paradoja (^7) Galileo Galilei (1564-1642), astr´onomo, fil´osofo, matem´atico, es bien conocido por sus trabajos sobre la ca´ıda de los cuerpos, su uso del telescopio o su desarrollo del m´etodo experimental (o cient´ıfico), as´ı como por los problemas que tuvo con la Inquisici´on por apoyar la teor´ıa helioc´entrica de Cop´ernico. Es legendaria la frase (quiz´as ap´ocrifa) de eppur si muove (“y, sin embargo, se mueve”) que pronunci´o cuando fue obligado a abjurar de sus planteamientos helioc´entricos. En el siguiente extracto de su obra de 1623 El ensayador (Aguilar, Buenos Aires, 1981), Galileo defiende con pasi´on la necesidad de manejar el lenguaje de las Matem´aticas para entender el “libro de la Naturaleza”: La Filosof´ıa est´a escrita en ese grand´ısimo libro que tenemos abierto ante los ojos, quiero decir, el Universo, pero no se puede entender si antes no se aprende a entender la lengua, a conocer los caracteres en los que est´a escrito. Est´a escrito en lengua matem´atica y sus caracteres son tri´angulos, c´ırculos y otras figuras geom´etricas, sin las cuales es imposible entender ni una palabra; sin ellos es como girar vanamente en un oscuro laberinto.
60 Cap´ıtulo 2. Las t´ecnicas b´asicas de la Combinatoria
B. Conjuntos numerables y no numerables Provistos de esta nueva tecnolog´ıa, nos disponemos a analizar otros conjuntos infinitos. Para nombrar el cardinal de N, nuestro conjunto infinito preferido (por ahora), utilizamos la primera letra del alfabeto hebreo, ℵ 0 (l´ease “alef sub cero”). La biyecci´on f que construimos un par de p´aginas atr´as entre N y el conjunto P de los naturales pares nos confirma que ambos conjuntos tienen el mismo cardinal. Y adem´as nos permite listar los elementos de P ; as´ı, 2 es el “primer” elemento (pues es la imagen de 1), 4 es el “segundo” (imagen de 2), etc. Esto es algo general: sea A un conjunto para el que existe una biyecci´on f : N → A. Para cada n ∈ N, llamemos an al elemento de A que es imagen de n mediante f , f (n) = an. Entonces podemos listar los elementos del conjunto A: (a 1 , a 2 , a 3 ,... ). Cualquier conjunto que pueda ser puesto en biyecci´on con N se dice que es numerable^10 , y su cardinal ser´a el mismo que el de N, esto es, ℵ 0. El propio N es, claro, numerable, y tambi´en lo son, como hemos visto, los conjuntos de los naturales pares, impares o cuadrados. De hecho, cualquier subconjunto infinito de N es numerable (v´ease el ejercicio 2.1.5). Resulta natural preguntarse si hay conjuntos numerables de los que N sea una parte. Por ejemplo, ¿es acaso numerable el conjunto de los enteros, Z? S´ı, lo es, pues la aplicaci´on f : N → Z dada por f (n) = n 2 si^ n^ es par y^ f^ (n) =^1 − 2 nsi^ n^ es impar, es una biyecci´on, que se corresponde con la siguiente enumeraci´on ordenada de los enteros: (0, 1 , − 1 , 2 , − 2 ,... ). Seguimos adelante y, ambiciosos, nos preguntamos si el conjunto Q de los n´umeros racionales es numerable o no. La respuesta ya no es tan obvia: ¿c´omo los enumeramos?, no podemos ordenarlos en forma creciente, pues, para empezar, no hay un racional “m´as peque˜no”. Pero s´ı, Q tambi´en es numerable. El siguiente argumento nos muestra la numer- abilidad de Q+, esto es, de los racionales positivos (la extensi´on a todo Q ser´a inmediata). Todo lo que tenemos que hacer es listarlos adecuada- mente, con la ayuda de la tabla (infinita) que aparece a la izquierda.
3 3
2 3
4 3
1 2
1 3
2 2
3 2
3 1
2 1
4 1
1 1
4 2
1 5
2 5
3 5
3 4
2 4
4 4
1 4
4 5
Los racionales de denominador 1 est´an en la primera fila, los de denominador 2 en la segunda, etc., as´ı que la tabla incluye a todos los racionales positivos. Ahora los recorremos siguiendo el itinerario zigzagueante que marcan las flechas del dibujo. Observe el lector que en el recorrido visitamos todos los elementos de Q+. Y aunque se repiten (por ejemplo, pasamos por 1/1, 2/2, 3 /3, etc., que son el 1), el procedimiento da lugar a una aplicaci´on sobreyectiva f : N → Q+^ que permite de- ducir la numerabilidad de Q+^ (v´ease el ejercicio 2.1.6). Una vez enumerados los racionales positivos, hacer lo mismo con todos los racionales es tarea sencilla (ejerci- cio 2.1.8). El mismo argumento permite comprobar que el conjunto N×N, los pares de n´umeros naturales, es numerable. De hecho, cualquier producto cartesiano de un n´umero finito de copias de N es numerable (v´ease el ejercicio 2.1.9). (^10) Hay quien entiende que numerable incluye tambi´en el caso en que el conjunto es finito. A veces se utiliza la palabra contable, como aqu´el que se puede contar o enumerar.
2.1. Aprendiendo a contar 61
Figura 2.3: Cantor
¿Pero es que todos los conjuntos infinitos son numerables?, se pre- guntar´a el lector, algo decepcionado por la posibilidad de que, despu´es de todo, el concepto de infinito no sea tan rico como empezaba a supon- er. Por ejemplo, ¿qu´e ocurre con R, es numerable o no?
Teorema 2.1 (Cantor) El conjunto de los n´umeros reales R no es numerable.
Demostraci´on. El argumento que sigue, conocido como el argumen- to diagonal de Cantor^11 es de una belleza e ingenio desbordantes. Antes de entrar a describirlo, observemos que queremos probar un re- sultado de imposibilidad: a saber, que no es posible poner en biyecci´on N y R. En realidad, haremos s´olo el argumento que demuestra que el intervalo (0, 1) no puede ser puesto en biyecci´on con N (el que (0, 1) y R s´ı que pueden ser relacionados mediante una biyecci´on es sencillo de comprobar, v´ease el ejercicio 2.1.11). Procederemos por reducci´on al absurdo: supongamos que (0, 1) es nu- merable. Sabemos que entonces podremos listar en orden todos sus elementos; llam´emosles (x 1 , x 2 , x 3 ,... ) y enumer´emoslos exhibiendo sus expresiones decimales.
x 1 = 0 , a^11 a^12 a^13 a^14... x 2 = 0 , a^21 a^22 a^23 a^24... x 3 = 0 , a^31 a^32 a^33 a^34... x 4 = 0 , a^41 a^42 a^43 a^44... .. .
En la lista de la izquierda, aji significa el entero (entre 0 y 9) que ocupa la posici´on i-´esima del desarrollo decimal del n´umero real xj , que ocupa la posici´on j en esta ordenaci´on. Ahora construimos un n´umero real (en el intervalo (0, 1)) y = 0, b 1 b 2 b 3 b 4...
de la siguiente manera: si a^11 = 1, entonces b 1 = 2, y si a^11 = 1, entonces b 1 = 1. La segunda cifra decimal, b 2 , ser´a 1 si a^22 = 1 y ser´a 2 si a^22 = 1. En general,
bn =
1 , si ann = 1, 2 , si ann = 1.
La expresi´on decimal del n´umero y as´ı construido consta de una lista de unos y doses tras la cifra decimal; como es un n´umero de nuestro intervalo, ha de aparecer en nuestra lista, en alguna posici´on, digamos en la posici´on k. As´ı que y = xk. Pero esto no puede ocurrir, porque bk, la k-´esima cifra del desarrollo decimal de y es, por construcci´on, diferente de akk, la k-´esima del desarrollo de xk (y el desarrollo decimal de y no termina en una lista infinita de ceros o nueves, lo que podr´ıa dar lugar a ambig¨uedad, v´ease la p´agina 208). Hemos llegado as´ı a una contradicci´on.
El cardinal de R (y el de los conjuntos que se pueden poner en biyecci´on con ´el^12 ) se nombra con la letra c; se dice que tiene el cardinal del continuo. (^11) Georg Cantor (1845-1918) es considerado como el padre de la moderna Teor´ıa de Conjuntos. Sus trabajos en este campo, sus estudios sobre el infinito, hicieron que Hilbert llegara a decir que “nadie nos expulsar´a del para´ıso que Cantor ha creado para nosotros”. Tambi´en contribuy´o a definir conceptos como la dimensi´on o la medida. Su biograf´ıa est´a salpicada de relaciones tempestuosas con matem´aticos de la ´epoca, como Kronecker o Mittag-Leffler. Sufri´o numerosas crisis depresivas y, de hecho, muri´o internado en un sanatorio psiqui´atrico. (^12) Como un intervalo de la recta real, o algunos otros tan extra˜nos como el conjunto ternario de Cantor de todos los n´umeros reales entre 0 y 1 cuyo desarrollo en base 3 no contiene ning´un uno.
2.1. Aprendiendo a contar 63
Algo descolocados por la casi incre´ıble conclusi´on anterior, nos centramos en la segunda cuesti´on, para la que, como veremos, s´ı que tenemos una respuesta (afirmativa): hay m´as infinitos, adem´as de los dos que hemos hallado hasta ahora. De hecho, toda una jerarqu´ıa de infinitos distintos.
Para verlo, consideremos un conjunto cualquiera X, y llamemos P(X) a la colecci´on de todos los subconjuntos de X (este conjunto se nombra como partes de X). Ya hemos visto, en el caso finito (v´ease el ejemplo 2.1.2), una biyecci´on de P(X) en el conjunto de las listas de ceros y unos de longitud n que nos permitir´a deducir m´as adelante (ejemplo 2.2.2) que, si |X| = n, entonces P(X) tiene tama˜no 2n. Pero el resultado que aqu´ı nos interesa es el siguiente:
Teorema 2.2 (Cantor) Dado un conjunto X, no puede existir una biyecci´on de X so- bre P(X).
Demostraci´on. Supongamos, por el contrario, que hubiera una biyecci´on f : X → P(X). Esta aplicaci´on asocia a cada elemento x ∈ X una imagen f (x) que es un cierto subconjunto de X, esto es, un elemento de P(X). En el otro sentido, cualquier subconjunto de X (cualquier elemento de P(X)) es la imagen, f (y), de un cierto y ∈ X.
Ahora consideremos el conjunto A = {x ∈ X : x /∈ f (x)} ,
que, en palabras, es el conjunto de los elementos de x ∈ X que no est´an incluidos en el subconjunto f (x) que les asocia la biyecci´on. Por supuesto, A es un subconjunto de X, es decir, A ∈ P(X), as´ı que existir´a cierto y ∈ X para el que A = f (y).
Concluimos la demostraci´on analizando las dos posibilidades que existen, dependiendo de si ese elemento y est´a o no en A. La conclusi´on en ambos casos es expeditiva, y har´a bien el lector en meditar detenidamente sobre ellas:
Si y ∈ A, entonces, por la definici´on de A, y /∈ f (y). Pero esto es una contradicci´on, porque A = f (y). Si y /∈ A, entonces y ∈ f (y). Pero entonces y deber´ıa estar en A = f (y), de nuevo una contradicci´on.
En ambos casos llegamos a una contradicci´on, as´ı que la supuesta biyecci´on f : X → P(X) no puede existir en realidad.
Obs´ervese que, sin embargo, es sencillo establecer una aplicaci´on inyectiva de X en P(X), asignando, por ejemplo, a cada x ∈ X, el conjunto formado ´unicamente por ´el mismo, esto es, {x}. As´ı que cardinal(X) ≤ cardinal(P(X)). Pero como el Teorema 2.2 nos dice que los conjuntos no tienen el mismo cardinal, deducimos finalmente que el cardinal de X es, con seguridad, menor que el de P(X).
En particular, el cardinal de N es menor que el cardinal de P(N) (que es, por cierto, el del continuo, v´ease el ejercicio 2.1.13). Repitiendo el argumento, primero para P(N) y P(P(N)), luego para... llegamos a descubrir toda una cadena de cardinales infinitos:
cardinal(N) < cardinal(P(N)) < cardinal(P(P(N))) < · · ·
64 Cap´ıtulo 2. Las t´ecnicas b´asicas de la Combinatoria
EJERCICIOS DE LA SECCI ON 2.1´
2.1.1 Se forman todas las listas de longitud n con los n´umeros { 1 ,... , 6 } y con repetici´on permitida. Una tal lista se dice impar si la suma de los n´umeros que la forman es impar, y par en caso contrario. (a) Demu´estrese que la mitad de las listas son pares. (b) ¿Ocurrir´ıa lo mismos si las listas estuvieran formadas con los n´umeros { 1 , 2 ,... , 7 }?
2.1.2 Sobre el hotel de Hilbert. Durante una hora ocurre lo siguiente: al empezar, el hotel est´a vac´ıo; a lo largo de la primera media hora llegan dos hu´espedes, y se va uno; a lo largo del siguiente cuarto de hora llegan otros dos hu´espedes y se va uno (de los tres que habr´ıa en ese in- stante); a lo largo del siguiente octavo de hora llegan otros dos, y se va uno (de los cuatro que habr´ıa entonces); y as´ı sucesivamente. Obs´ervese que al final del n-´esimo per´ıodo de tiempo tenemos siempre n habitaciones ocupadas. (a) Compru´ebese, sin embargo, que si en cada per´ıodo de tiempo el hu´esped que se marcha es el m´as antiguo en ese momento, al final de la hora el hotel queda vac´ıo. (b) Por el contrario, si quien se marcha es el hu´esped m´as reciente, el hotel tendr´a infinitas habita- ciones ocupadas al final de la hora. (c) ¿Cu´antos hu´espedes quedan en el hotel si, en cada periodo, quien se marcha es el segundo hu´esped m´as antiguo?
2.1.3 Sean A y B dos conjuntos. Compru´ebese que si tenemos una aplicaci´on inyectiva A → B, entonces hay tambi´en una aplicaci´on sobreyectiva B → A (y viceversa).
2.1.4 En este ejercicio detallamos los pasos de una demostraci´on del teorema de Bernstein- Schr¨oder, que afirma que si existen sendas aplicaciones inyectivas f : A → B y g : B → A, entonces existe una aplicaci´on biyectiva h : A → B (y, por tanto, A y B tienen el mismo cardinal). Observemos primero que si g(B) = A, entonces g es sobreyectiva y, por tanto, biyectiva. Supong- amos entonces que g(B) = A y llamemos C 0 = A \ g(B). (a) Consideremos ahora el conjunto C 1 = (g ◦ f )(C 0 ). Compru´ebese que C 1 ⊂ A y que C 1 ∩ C 0 = Ø. (b) Definimos, de manera recursiva, los siguientes conjuntos:
Cn = (g ◦ f )n(C 0 ) para cada n ≥ 1.
Pru´ebese por inducci´on que todos ellos son subconjuntos de A y que Cn ∩ Cm = Ø si n = m. (c) Finalmente, consideramos el conjunto
C =
⋃^ ∞
n=
Cn.
Ya estamos en disposici´on de definir la aplicaci´on h : A → B dada por
h(x) =
{ f (x) si x ∈ C; g−^1 (x) si x /∈ C.
Compru´ebese que h est´a bien definida. (d) Compru´ebese que h es una biyecci´on de A en B.
2.1.5 Pru´ebese que cualquier subconjunto infinito de N es numerable.
2.1.6 Sea S un conjunto infinito.
66 Cap´ıtulo 2. Las t´ecnicas b´asicas de la Combinatoria
2.2. La regla del producto
Empecemos con un ejemplo sencillo, como es el de contar el n´umero de “palabras” que podemos formar con una letra y un n´umero (en este orden), suponiendo que tenemos a nuestra disposici´on 23 letras {a,... , z} y 10 n´umeros, { 0 , 1 ,... , 9 }. Las palabras a las que nos referimos son listas de dos posiciones, en las que situamos dos s´ımbolos, una letra seguida de un n´umero, como por ejemplo (b3) ´o (c9).
Para formar una de estas palabras, se- guramente el lector escoger´a, sucesivamente y en este orden, primero la letra y luego el n´umero. Las posibilidades que tenemos en este procedimiento de construcci´on de “izquierda a derecha” se exhiben, gr´afica- mente, en el esquema de la derecha.
a (^) b c (^) d · · · y^ z
0 1 · · · 9 0 1 · · · 9
En el primer “piso” del “´arbol” situamos las 23 posibles elecciones de letra. Y luego, para cada posible elecci´on de letra, tenemos 10 posibilidades para el n´umero. Cada una de las ramas del “´arbol” dibujado nos conduce a un resultado distinto. No le resultar´a sorprendente al lector la conclusi´on de que hay 23 × 10 palabras distintas, pues por cada elecci´on de letra hay 10 elecciones posibles de n´umeros; y hay 23 elecciones iniciales de letra distintas.
La generalizaci´on de este argumento nos lleva a enunciar una primera versi´on de la regla del producto: supongamos que un cierto proceso se puede separar en una primera y una segunda etapas y que tenemos m y n posibles resultados para las etapas, respectivamente. Entonces, el proceso total se puede realizar, en el orden designado, de m × n maneras.
M´as generalmente, supongamos que nos dan n conjuntos A 1 ,... , An y que formamos n-listas en las que el primer elemento pertenece al conjunto A 1 , el segundo a A 2 , etc.:
1 2 j n − 1 n
Aqu´ı, un elemento de A 1 Aqu´ı, un elemento de^ Aj
¿Cu´antas listas de este tipo distintas habr´a? Habr´a |A 1 | posibles elecciones para la primera posici´on, |A 2 | para la segunda, etc.:
|A 1 | posibilidades |A 2 | |A 3 | |An− 1 ||An|
As´ı que el n´umero total es |A 1 | · |A 2 | · · · |An|.
No siempre es posible aplicar de manera directa esta regla. Imagine el lector que queremos contar el n´umero de 2-listas con ceros y unos que no tienen dos ceros. Hay dos posibilidades para la primera posici´on, pero, para la segunda, el n´umero de posibilidades depende del s´ımbo- lo utilizado en la primera (habr´a una si hemos colocado un 0, y dos si hemos ubicado un 1). Veremos pronto otras reglas y procedimientos que nos permiten abordar casos como ´este.
2.2. La regla del producto 67
Con la regla del producto podemos completar algunos ejemplos que ten´ıamos pendientes.
Ejemplo 2.2.1 El n´umero de divisores positivos de 6000, segunda parte.
Recordando los argumentos del ejemplo 2.1.1, nos bastar´a con contar el n´umero de 3-listas (α, β, γ) donde 0 ≤ α ≤ 5, 0 ≤ β ≤ 1 y 0 ≤ γ ≤ 4. Ser´an listas del tipo:
(^) 6 posibilidades 2 posibilidades 5 posibilidades { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } { 0 , 1 } { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }
As´ı que en total tendremos 6 × 2 × 5 = 60 listas. Por tanto, 60 es el n´umero de divisores positivos de 60000. ♣
Ejemplo 2.2.2 El n´umero de subconjuntos distintos que podemos extraer de un conjunto con n elementos, segunda parte.
Sea el conjunto X = { 1 , 2 ,... , n}; ya establecimos, en el ejemplo 2.1.2, la biyecci´on
A = {subconjuntos de X} ←→ B =
n-listas con repetici´on permitida formadas con los elementos del conjunto { 0 , 1 }
Para determinar el tama˜no del conjunto B (y con ello, tambi´en el de A) basta aplicar la regla del producto: para la primera posici´on tendremos dos posibilidades, para la segunda otras dos, etc. As´ı que
|B| = 2n^ =⇒ #{subconjuntos de un conjunto de tama˜no n} = 2n^. (^) ♣
Ejemplo 2.2.3 El sistema de matriculaci´on de veh´ıculos en Espa˜na.
En el sistema antiguo, una matr´ıcula, digamos en la provincia de Madrid, era de la forma
M 1397 TF
es decir, una lista de siete posiciones: la letra que identifica la provincia, cuatro n´umeros y otras dos letras (entre las que no se cuentan ni la N ni la Q). Dado que la primera letra es˜ siempre una M, podemos olvidarnos de ella y limitarnos a contar el resto. Aplicando la regla del producto, obtenemos que el n´umero de matr´ıculas madrile˜nas distintas posibles es
104 × 252 = 6250000.
A finales del a˜no 2000, este sistema estaba a punto de agotarse. Tras numerosas discusiones, se decidi´o adoptar un nuevo tipo de matr´ıculas (sin distintivos provinciales): una lista de cuatro n´umeros, seguida de tres letras (se excluyen las vocales y las consonantes N y Q):˜
0000 BBB
Tenemos as´ı un total de 10^4 × 203 posibilidades, esto es, 80 millones matr´ıculas distintas para toda Espa˜na^16. ♣ (^16) El ritmo anual de matriculaciones en Espa˜na es, en estos albores del siglo XXI, de aproximadamente dos millones de veh´ıculos. Eval´ue el lector el periodo de vigencia de este nuevo sistema si se mantuviera este ritmo. ¿Y si creciera un 10 % anual?
2.2. La regla del producto 69
la regla del producto: obs´ervese que el problema es contar el n´umero de listas de longitud k en los que en cada posici´on situamos s´ımbolos de unos ciertos conjuntos A 1 , A 2 ,... , Ak. Podemos suponer que A 1 = A, pero a partir de ah´ı ya no conocemos el resto de los Aj : por ejemplo, si en la primera posici´on situamos el s´ımbolo 3, ´este s´ımbolo ya no puede estar en ninguno de los restantes conjuntos. Mientras que si empez´aramos por el s´ımbolo 5, ser´ıa ´este el que no pertenecer´ıa a ninguno de los restantes Aj.
Pero la observaci´on que nos permite obtener una respuesta es que, aunque no conozcamos los conjuntos Aj , s´ı conocemos sus tama˜nos. Porque para la primera posici´on tenemos n posibilidades, mientras que para la segunda ya s´olo tenemos n − 1 posibilidades (el s´ımbolo utilizado en la primera posici´on ya no est´a a nuestra disposici´on). Esto se cumple sea cual sea la elecci´on de primer s´ımbolo: basta con saber que hay n − 1 s´ımbolos disponibles, no importa cu´ales. Para la tercera tendr´ıamos n − 2 posibilidades, y as´ı sucesivamente,
1 2 3 · · · k − 1 k
· · ·
n
n− 1
n− 2
n−k+
n−k+
de manera que^18
k-listas sin repetici´on formadas con { 1 ,... , n}
= n(n − 1) · · · (n − k + 1) =
n! (n − k)!
Por supuesto, este resultado es v´alido cuando k ≤ n, porque si k > n, no tendremos ninguna k-lista con esos n s´ımbolos. Recordemos que la notaci´on n! (el factorial de n, ´o n factorial) resume el producto n(n − 1) · · · 3 · 2 · 1 (por convenio, se asigna el valor 0! = 1).
Un caso especial, que merece atenci´on y nombre propio, es aqu´el en el que formamos n- listas sin repetici´on con n s´ımbolos. Estas listas se denominan permutaciones, y de ellas hay
#{permutaciones de n elementos} = n!
Si el conjunto de s´ımbolos que consideramos es el { 1 ,... , n}, una lista sin repetici´on de n posiciones formada con ellos es simplemente una reordenaci´on de estos s´ımbolos. Veremos en la secci´on 3.2 que estas permutaciones tienen una estructura muy rica. Analicemos ahora un ejemplo sorprendente:
Ejemplo 2.2.4 ¿Cu´al es la probabilidad p de que, de entre 50 personas escogidas al azar, al menos dos de ellas tengan la misma fecha de cumplea˜nos^19?
Antes de entrar en los detalles, atr´evase el lector a adelantar una respuesta aproximada: ¿una probabilidad alta, baja? Hay 365 posibles fechas de cumplea˜nos, y s´olo 50 personas en la muestra. Parece dif´ıcil que haya coincidencias... Pero, como veremos, y como ocurre en muchas otras cuestiones probabil´ısticas, esta intuici´on inicial falla estrepitosamente. Y es que... ¡la intuici´on se educa! En nuestro an´alisis s´olo haremos uso del habitual concepto de “probabilidad” como cociente entre los casos favorables y los casos posibles, de manera que se trata de una cuesti´on puramente combinatoria.
(^18) En algunos textos se llaman variaciones con repetici´on, VRnk, a las primeras y variaciones sin repetici´on, en s´ımbolo, V (^) nk , a las segundas. No usaremos aqu´ı esta terminolog´ıa. (^19) Es ´este un problema de corte probabil´ıstico muy conocido, el llamado problema de los cumplea˜nos, que a su vez es el caso m´as sencillo de toda una serie de cuestiones a las que nos referiremos gen´ericamente como el problema de las coincidencias cuando lo analicemos en detalle en el cap´ıtulo 19.
70 Cap´ıtulo 2. Las t´ecnicas b´asicas de la Combinatoria
El paso esencial consiste en identificar los objetos que manejaremos en nuestro an´alisis. 1 j
d´ıa de nacimiento de la persona j
50
Obs´ervese que una “muestra” de fechas de cumplea˜nos no es m´as que una lista de 50 posiciones (cada una de las cuales corresponde a una persona de la muestra), en cuyas posiciones colocamos el d´ıa del a˜no que corresponde a cada persona (supondremos que hay 366 posibles, para incluir los a˜nos bisiestos^20 ). Contemos primero los casos posibles:
casos posibles = # {50-listas con repetici´on permitida extra´ıdas de { 1 ,... , 366 }} = 366^50.
Ahora, en lugar de contar los casos favorables, y haciendo uso del paso al complementario, contaremos los “desfavorables”, lo que resulta mucho m´as sencillo. Nos interesamos, pues, por las listas de 50 posiciones en las que no hay dos s´ımbolos iguales; esto es, sin repetici´on:
casos desfavorables
50-listas sin repetici´on extra´ıdas de { 1 ,... , 366 }
= 366 × 365 × · · · × 317.
Por lo tanto,
casos favorables
casos posibles
casos posibles − # casos desfavorables
casos posibles
=
36650 − 366 × 365 × · · · × 317
¡As´ı que con una probabilidad en torno al 97 % ocurrir´a lo que se recoge en el enunciado! Esto es, con una alt´ısima certeza el experimento que describimos en la nota al pie de la p´agina anterior “funcionar´a”, y descubriremos a dos personas con la misma fecha de cumplea˜nos.
0
1
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 n
En un grupo de n personas, ¿cu´al es la probabilidad de que haya al menos dos cuya fecha de cumplea˜nos coincida? Como hay 366 posibles fechas de cumplea˜nos, si n ≥ 367 habr´a con seguridad dos personas con igual fecha de cumplea˜nos (como ya vimos, aplicando el principio del palomar, en el ejemplo 1.2.7), as´ı que la probabili- dad ser´a 1. Pero mientras que n sea menor que 367, cabe la posibilidad de que no se repitan. Con la ayuda del ordenador hemos obtenido la gr´afica de la izquierda. En ella, el valor de n va en abcisas, y el ordenadas represen- tamos la probabilidad de que haya al menos dos personas con la misma fecha de cumplea˜nos. Obs´ervese c´omo esta probabilidad se acerca muy r´apidamente a uno; para una muestra de 23 personas es un poco mayor que 0,5, mientras que para 60 personas ya es pr´acticamente 1.♣ (^20) Esto supone una cierta inexactitud, porque el 29 de febrero aparece, m´as o menos, la cuarta parte de veces que las dem´as fechas. En realidad, como bien se sabe, no es realista considerar que todas las fechas son igualmente probables. As´ı que, en un modelo m´as ajustado, no todas las listas de 50 posiciones habr´ıan de ser igualmente probables, de manera que el an´alisis del problema ha de ir m´as all´a de la simple enumeraci´on de casos favorables y posibles. Pero, como veremos en el cap´ıtulo 19, el caso de la equiprobabilidad es en el que con m´as dificultad tendremos coincidencias.
