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Ejemplos de diseño óptimo de controladores en adelanto y en atraso
de fase.
Profesor: Carlos Felipe Rengifo.
28 de abril de 2017
1. Diseño óptimo de controladores en adelanto de fase
Considere el sistema descrito por la siguiente función transferencia
G(s) =
s(s + 1)
Para dicho sistema diseñe un controlador en adelanto de fase que permita obtener un tiempo de res- puesta de lazo cerrado Ts igual a 1 segundo y un sobre-impulso μp menor al 5 %.
Solucion: Primero se deduce la ubicación de los polos de lazo cerrado deseados a partir de las es- pecificaciones de desempeño. Para ello se utilizaran las expresiones correspondientes a sistemas su- bamortiguados de segundo orden
Ts =
σ · ωn
μp = e
− √− 1 σ−·πσ 2
Resolviendo para σ y ωn se obtiene
σ =
ωn = 4
El objetivo es entonces que la función de transferencia de lazo cerrado obtenida sea lo mas próxima posible de
Gdcl(s) =
ω n^2 s^2 + 2σωns + ω^2 n
Los polos de lazo cerrado de Gdcl(s) son:
s 1 = −4 + j 4 s 2 = − 4 − j 4
Ahora que se conoce la ubicación de los polos de lazo cerrado deseados, se ubican el polo y el cero del controlador con el fin de que el lugar geométrico de las raíces pase por s 1 y s 2. Es importante recalcar que la ubicación de estos elementos no es única, y que diferentes configuraciones polo-cero pueden llevar a lugares geométricos, que aunque diferentes, tendrán la característica común de pasar por los puntos s 1 y s 2. El procedimiento de calculo del controlador se ilustrará para z = − 2 y posteriormente se repetirá
φ φz φp^2 φp^1 p
Figura 1: Aportes angulares de los polos y los ceros.
para diferentes valores de z.
Para que el lugar geométrico de las raíces pase por el punto s 1 , la suma del aporte angular del cero menos los aportes angulares de los dos polos de la planta y el del controlador debe dar un múltiplo entero de − 180 o. Con base en el gráfico de la Figura 1 se obtiene:
φp 1 = arctan
= 135. 0000 o
φp 1 = arctan
= 126. 8699 o
φz = arctan
= 116. 5651 o
El ángulo φp debe satisfacer la siguiente igualdad
φz − (φp 1 + φp 2 + φp) = − 180 o
Al resolver para φp se obtiene: φp = 34. 6952 o. Con este valor se puede obtener la ubicación del polo
p = − 4 −
tan (34. 6952 o)
Ahora que se conocen los valores de z y p, se calcula la ganancia necesaria para que s 1 y s 2 sean polos de lazo cerrado
k = −
Gc(s)G(s)
s=−4+j 4
s(s + 1)(s + 9.7778) (s + 2)
s=−4+j 4
= 44. 4444 − j 9. 8686 × 10 −^15
−4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0
1
2
3
Ubicación óptima del cero del controlador
Índice de desempeño J
Ubicación del cero
Figura 3: Índice de desempeño (3) para el controlador.
como un problema de optimización con restricciones similar a (3)
J(x) = m´ın x≥ 0
∫ T
0
|ycld(t) − ycl(t, x)|^2 dt (4)
Siendo x =
[
K Z P
]T
el vector que contiene los parámetros del controlador en adelanto de fase
Gc(s) = K(s + Z) s + P
El objetivo del problema de minimización descrito por la ecuación (4) es encontrar el x que minimiza la diferencia entre la respuesta al escalón de lazo cerrado obtenida con el controlador Gc(s) y la respuesta de lazo cerrado deseada. Antes de presentar la solución del problema de optimización (4) se explicara la función fmincon de Matlab. Esta función permite encontrar un valor de x ∈ IRn^ que minimiza, global o localmente una función dada f (x) con f : IRn^ → IR
J(x) = m´ın x f (x). (6)
El vector x se supone sin embargo restringido a un subconjunto de IRn^ definido por las siguientes igualdades y desigualdades matemáticas
x ≥ xmin Ai · x = bi Ci(x) = 0 x ≤ xmax Ad · x ≤ bd Cd(x) ≤ 0.
Las matrices Ai y Ad, los vectores xmin, xmax, bi y bd y las funciones Ci y Cd dependen del problema que se quiera resolver. Estos parámetros en conjunto con la función f y con x 0 , el valor inicial a partir
Step Response
Time (sec)
Amplitude
0 0.5 1 1.5 2 2. 0
1
System: Gcl Peak amplitude: 1. Overshoot (%): 6. At time (sec): 0.
System: Gcld Peak amplitude: 1. Overshoot (%): 4. At time (sec): 0.
Obtenido Deseado
Figura 4: Respuesta al escalón del sistema de lazo cerrado
del cual se comenzará la búsqueda del mínimo de f , constituyen los argumentos de entrada a la función fmincon. Por ejemplo, el problema de minimización
m´ınx −x 1 · x 2 · x 3
sujeto a
−x 1 − 2 x 2 − 2 x 3 ≤ 0 x 1 + 2x 2 + 2x 3 ≤ 72
puede ser resuelto con el código siguiente
C = []; xmin = []; xmax = []; bi = []; Ai = []; bd = [0; 72]; Ad = [-1, -2, -2; 1, 2, 2]; X0 = [10; 10; 10]; F = @(x) -x(1) * x(2) * x(3); XOpt = fmincon(F, X0, Ad, bd, Ai, bi, xmin, xmax, C);
En este caso el valor utilizado para iniciar la búsqueda del mínimo es x 10 = 10, x 20 = 10 y x 30 = 10. La solución entregada por fmincon es x 1 = 24, x 2 = 12 y x 3 = 12. Si la función f no puede escribirse en una sola linea de código, esta se debe especificar en un archivo independiente. Para el caso del ejemplo anterior, dicha función se escribiria de la siguiente manera
function [F] = fobjetivo(x)
Solución: Con un programa en Matlab similar al del ejercicio anterior se obtiene el siguiente con- trolador
Gc(s) = 22 .5465(s + 1.165) s
Este resultado es verdaderamente sorprendente ya que al algoritmo de optimización no hay manera de especificarle si el controlador a diseñar debe ser en adelanto o en atraso de fase. El proceso mismo de optimización converge naturalmente hacia un controlador en atraso de fase con un polo en s = 0. Esto garantiza un error de estado estacionario igual a cero. En la figura 5 se muestra la respuesta al escalón del sistema en lazo cerrado.
Respuesta de lazo cerrado
Tiempo [segundos] (sec)
Amplitude
(^00) 0.5 1 1.5 2 2.5 3
1
System: Gcl Peak amplitude: 1. Overshoot (%): 8.31At time (sec): 0.
System: Gcld Peak amplitude: 1.04Overshoot (%): 4. At time (sec): 0.
Obtenido Deseado
Figura 5: Respuesta al escalón del sistema en lazo cerrado obtenida a partir de la planta (9) y el controlador (10).
Debe tenerse presente que aunque las respuestas deseada y obtenida no son exactamente iguales, la respuesta obtenida es la mas cercana posible de la respuesta deseada. A continuación se mostrará que la definición del tiempo de establecimiento deseado juega un papel fundamental en el éxito del diseño. Por ejemplo, si el tiempo de establecimiento deseado se aumenta de 1 segundo a 1. 8 segundos, el controlador obtenido es:
Gc(s) =
9 .4591(s + 1.857) s
Este controlador conlleva a la respuesta de lazo cerrado ilustrada en la Figura 6. Al comparar las Figuras 5 y 6 se observa que paradójicamente el sistema diseñado con Ts = 1. 8 segundos tiene un tiempo de establecimiento mas pequeño que el sistema diseñado con Ts = 1 segundo. En conclusión, no es útil seleccionar una respuesta de lazo cerrado rápida, si no existe un controlador que conlleve a un comportamiento de lazo cerrado próximo de esta. Además, una disminución excesiva del tiempo de establecimiento deseado puede conllevar a un controlador sin acción integral. Por ejemplo, para
Respuesta de lazo cerrado
Tiempo [segundos] (sec)
Amplitude
(^00) 0.5 1 1.5 2 2.5 3
1
System: GcldPeak amplitude: 1. Overshoot (%): 4. At time (sec): 1.
System: Gcl Peak amplitude: 1. Overshoot (%): 4. At time (sec): 1.
Obtenido Deseado
Figura 6: Respuesta al escalón del sistema en lazo cerrado obtenida a partir de la planta (9) y el controlador (11).
Ts = 0. 6550 segundos se obtiene el controlador
Gc(s) = 51 .9154(s + 9.009) s + 10
Es importante recalcar que la ubicación del polo del controlador varia discontinuamente en función del tiempo de establecimiento deseado. Para Ts = 0. 656 segundos, el polo del controlador se ubica en s = − 10 y para Ts = 0. 657 segundos, este polo se ubica en s = 0. Si el tiempo de establecimiento se define como una variable a optimizar, el valor de Ts que produce el mejor ajuste a un sistema de segundo orden es Ts = 2 segundos. Para este valor de Ts se obtiene el controlador
Gc(s) = 8(s + 2) s
Este controlador, que cancela el polo dominante de la planta, conlleva a un sistema de lazo cerrado cuya respuesta al escalón es exactamente igual a la respuesta de lazo cerrado deseada. Esto significa que para el controlador precedente el valor del índice de desempeño descrito por la ecuación (4) es cero. En general para un sistema de la forma:
G(s) = kp (s + P 1 )(s + P 2 )
, 0 < P 1 ≤ P 2.
El tiempo de establecimiento que permite que permite llevar a cero el índice de desempeño (4) es Ts = 8/P 2. Para este valor de Ts el correspondiente controlador en atraso es:
Gc(s) = K(s + P 1 ) s
, K =
P 22
4 · kp · σ^2
