Reguladores, Apuntes de Administración de Empresas

¡Descarga Reguladores y más Apuntes en PDF de Administración de Empresas solo en Docsity!

Reguladores ´optimos de tiempo continuo

PhD. Carlos Felipe Rengifo - Wilber Acu˜na-Bravo

Departamento de electr´onica, instrumentaci´on y control

Contenido

(^1) Asignaci´on directa

2 Asignaci´on ´optima

Sistema de lazo cerrado

x ˙(t) = (A − BK ) , x(t)

Asignaci´on de valores propios de lazo cerrado Si el sistema de lazo abierto es controlable, entonces existe un K que permite fijar los valores de A − BK en ubicaciones deseadas (semiplano izquierdo abierto).

Valores propios de lazo cerrado

Los valores propios de lazo cerrado son los λ (reales o complejos), que satisfacen la siguiente ecuaci´on:

det (λ I − A + B K ) = 0 As´ı, los valores propios de lazo cerrado quedan expresados en funci´on de los componentes del vector K.

Ejemplo

El sistema en lazo cerrado es ˙x = (A − BK )x:

 

δ x˙ δ v˙ δ I˙m

g x 0 −^2

cg mx − k L^1 − k L^2 − RL − k L^3

δx δv δIm

el polinomio caracter´ıstico est´a dado por:

pa(s) = s^3 +

R

L

k 3 L

s^2 +

k 2 L

cg mx

g x

s+

k 1 L

cg mx

g x

R

L

k 3 L

Ejemplo

Ahora, asuma que el polinomio deseado est´a dado por:

pd (s) = (s + α)

s^2 + 2ζωn + ω n^2

= s^3 + (2ζωn + α)s^2 +

ω^2 n + 2ζωnα

s + ω^2 n α

igualando t´erminos,

R L

k 3 L

= 2ζωn + α

k 2 L

cg mx

g x = ω n^2 + 2ζωnα

k 1 L

cg mx

g x

R

L

k 3 L

= ω n^2 α,

Resolviendo para k 1 , k 2 y k 3...

Limitaciones de la funci´on place

La multiplicidad de los polos de lazo cerrado no puede ser mayor que el n´umero de entradas al sistema. Es decir, en sistemas SISO la multiplicidad debe de los polos debe ser uno.

1 % Continuous time double integrator 2 A = [0 ,1; 0 , 0]; 3 B = [0; 1]; 4 C = [1 0]; 5 % Desired closed loop poles 6 Poles = [ -1; -1]; 7 % Gain 8 K = place (A ,B , Poles );

Error using place (line 79) The place command cannot place poles with multiplicity greater than rank(B).

Contenido

(^1) Asignaci´on directa

2 Asignaci´on ´optima

Matrices de ponderaci´on Q y R

Si Q = I y R = I son matrices identidad, el funcional se convierte en:

J(u) =

0

x 12 + x 22 + · · · + x n^2 + u^21 + · · · + u^2 m dt

0

x 12 + x 22 + · · · + x n^2 dt +

0

u^2 dt

∑^ n

i=

0

x i^2 dt ︸ ︷︷ ︸ energ´ıa xi

∑^ m

i=

0

u^2 i dt ︸ ︷︷ ︸ energ´ıa ui

Lo anterior significa que se busca encontrar una ley de control u = −L x que minimice la energ´ıa asociada a cada estado y a cada componente de la ley de control.

Selecci´on de Q y R

Si Q y R son matrices diagonales: Q = diag(q 1 , q 2 ,... , qn) y R = diag(r 1 , r 2 ,... , rm), entonces J(u) es una suma ponderada de energ´ıas:

J(u) =

∑^ n

i=

qi

0

x i^2 dt ︸ ︷︷ ︸ energ´ıa xi

∑^ m

i=

ri

0

u^2 i dt ︸ ︷︷ ︸ energ´ıa ui Si por ejemplo, q 1 = 10 q 2 , la minimizaci´on de J(u) conducir´a a que la trayectoria de x 1 sea mucho m´as cercana a cero que la de x 2 (las desviaciones de x 1 con respecto a cero son m´as costosas que las de x 2

Soluci´on de la ecuaci´on algebraica de Riccati

Condiciones: El par (A, B) debe ser estabilizable. R > 0 y Q ≥ 0. El espacio observable del par (Q, A) debe incluir al eje imaginario.

Sistema no controlable pero estabilizable:

x˙ 1 = −x 1 x ˙ 2 = 2 x 2 + u

Sistema no controlable y no estabilizable:

x˙ 1 = x 1 x ˙ 2 = 2 x 2 + u

Doble integrador en tiempo continuo

1 % Continuous time double integrator 2 A = [0 , 1; 0 , 0]; 3 B = [0; 1]; 4 % Desired closed loop poles 5 [ L1 , S1 , E1 ] = lqr (A ,B , eye (2) ,0.1); 6 [ L2 , S2 , E2 ] = lqr (A ,B , eye (2) ,10); 7 % Simulation 8 Model1 = ss (A - B * L1 ,B , eye ( size ( A )) ,0); 9 Model2 = ss (A - B * L2 ,B , eye ( size ( A )) ,0); 10 initial ( Model1 , Model2 ,[10;10]); 11 legend ( ’R =0.1 ’ , ’R =10 ’ );

Caso de estudio: P´endulo de base m´ovil

x

y 0

x 0

y 1

θ x 1

y (^2) x 2

El objetivo es mantener el p´endulo en θ = 90o^ aplicando una fuerza u(t) a la base del carro.

Modelo del p´endulo de base m´ovil

M + m −m α L sin θ

−m α L sin θ m α^2 L^2 + J

A(q)

¨x

θ^ ¨

¨q

−m α L cos θ θ˙^2

m α L g cos θ

H(q, q˙)

F

Par´ametro S´ımbolo Valor Unidades Masa del carro M 1. 000 kg Masa del p´endulo m 0. 100 kg Inercia del p´endulo J 0. 025 kg − m^2 Longitud del p´endulo L 0. 500 m Centro de masa del p´endulo ( %) a 0. 500 Adimensional