¡Descarga Complemento Teorico - Apuntes - Matematicas y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
COMPLEMENTO TEORICO XIV
GEOMETRIA CLASICA
- 14.1 CONCEPTOS Y TECNICAS PARA LA RESOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS GUIÓN RESUMEN
- 14.1.1 GEOMETRIA
- 14.1.1.1 Definición
- 14.1.1.2 Tipos de geometrías
- 14.1.2 ANGULOS
- 14.1.2.1 Teoremas
- 14.1.3 TRIANGULOS
- 14.1.3.1 Definición de triángulo
- 14.1.3.2 Teoremas
- 14.1.3.3 Definición de igualdad de triángulos
- 14.1.3.4 Criterios de igualdad de triángulos
- 14.1.3.5 Corolarios de la igualdad de triángulos
- 14.1.4 RELACION ENTRE ÁNGULOS Y LADOS
- 14.1.4.1 Teoremas
- 14.1.5 PERPENDICULARES Y OBLICUAS
- 14.1.5.1 Teoremas
- 14.1.6 CUARILÁTEROS
- 14.1.6.1 Definición de cuadrilátero
- 14.1.6.2 Clases de cuadriláteros
- 14.1.6.2 Propiedades comunes a todos los cuadriláteros convexos
- 14.1.6.3 Propiedades comunes a todos los paralelogramos
- 14.1.6.4 Propiedades particulares de cada paralelogramo
- 14.1.7 LINEAS NOTABLES DE UN TRIANGULO
- 14.1.7.1 Teoremas
- 14.1.8 CIRCUNFERENCIA
- 14.1.8.1 Teorema de la tangente
- 14.1.8.2 Teoremas del diámetro
- 14.1.8.3 Relación entre arcos y cuerdas
- 14.1.8.4 Posición relativa de dos circunferencias
- 14.1.8.5 Angulos en la circunferencia
- 14.1.9 PROPORCIONALIDAD
- 14.1.9.1 Teorema de igualdad de segmentos
- 14.1.9.2 Teoremas de proporcionalidad de segmentos(Teorema de Thales)
- 14.1.10 SEMEJANZA DE TRIANGULOS
- 14.1.10.1 Definición de semejanza de triángulos
- 14.1.10.2 Criterios de semejanza de triángulos
- 14.1.11 RELACIONES METRICAS
- 14.1.11.1 Teorema del cateto y de la altura
- 14.1.11.2 Teorema de Pitágoras
- 14.1.11.3Teorema generalizado de Pitágoras
- 14.1.11.4Teorema generalizado de la altura
- 14.1.11.5Teoremas de la mediana
- 14.1.11.6Teoremas de Euler
- 14.1.11.7Corolario del teorema Euler
- 14.1.11.8Teorema de la bisectriz del ángulo interior
- 14.1.11.9Teorema de la bisectriz del ángulo exterior
- 14.1.12 RELACIONES METRICAS ENTRE LINAEAS DE LA CIRCUNFERENCIA
- 14.1.12.1Teorema de las secantes a la circunferencia
14.1.2 ANGULOS
14.1.2.1 Teoremas
- Las bisectrices de dos ángulos adyacentes son perpendiculares.
- Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales.
- Las bisectrices de los ángulos opuestos por el vértice están en línea recta. Las bisectrices de los 4 ángulos que forman dos rectas al cortarse constituyen dos rectas perpendiculares entre sí.
- Por un punto situado en una recta puede trazarse una perpendicular a dicha recta ay sólo una.
- Por un punto exterior a una recta puede trazarse a dicha recta una perpendicular y sólo una.
Gráficos de estos teoremas
http://roble.pntic.mec.es/~jgad
14.1.3 TRIANGULOS
14.1.3.1 Definición de triángulo
Es la porción del plano limitado por tres segmentos rectilíneos que tienen dos a dos un extremo común.
14.1.3.2 Teoremas
- En todo triángulo isósceles, a lados iguales se oponen ángulos iguales.
- En todo triángulo , a ángulos iguales se oponen lados iguales.
- Todo triángulo equilátero es equiángulo , y recíprocamente , todo triángulo equiángulo es equilátero. La bisectriz del ángulo desigual en un triángulo isósceles, es a la vez altura , mediana y mediatriz de la base de dicho triángulo.
14.1.3.3 Definición de igualdad de triángulos
Dos triángulos son iguales si tienen iguales sus lados y sus ángulos homólogos.
14.1.3.4 Criterios de igualdad de triángulos
- Dos triángulos son iguales si tienen iguales un lado y los dos ángulos adyacentes son iguales.
- Dos triángulos que tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido son iguales.
- Dos triángulos serán iguales si tienen iguales respectivamente los tres lados. Si dos triángulos tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos son iguales.
Gráficamente
http://roble.pntic.mec.es/~jgad
Ovservamos que los triángulos son igules de acuerdo al primer criterio.Tienen igual el lado AB y los ángulos adyacentes al mismo.
14.1.3.5 Corolarios de la igualdad de triángulos
- Si dos triángulos son iguales , son respectivamente iguales sus seis elementos, y a lados iguales se oponen
ángulos iguales , y recíprocamente. En la superposición de triángulos iguales los ángulos que coinciden se llaman ángulos homólogos, y también los lados que que coinciden se llaman lados homólogos.
14.1.4 RELACION ENTRE ÁNGULOS Y LADOS
14.1.4.1 Teoremas
- En todo triángulo un ángulo exterior es mayor que cualquiera de los interiores no adyacentes.
- En todo triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.
- En todo triángulo a mayor ángulo se opone mayor lado.
- Un lado cualquiera de un triángulo es menor que la suma de los otros dos.
- En todo triángulo un lado cualquiera es mayor que la diferencia de los otros dos.
http://roble.pntic.mec.es/~jgad
En la figura anterior aparece la prueba del teorema primero.
En la figura anterior aparece la prueba del teorema segundo.
http://roble.pntic.mec.es/~jgad
14.1.5 PERPENDICULARES Y OBLICUAS
14.1.5.1 Teoremas
- Si desde un punto exterior a una recta se trazan a ésta un segmento perpendicular y varios oblicuos:
- El segmento perpendicular es menor que cualquier oblicuo.
- Los segmentos oblicuos cuyos pies equidistan del pie del perpendicular son iguales. De dos oblicuos cuyos pies distan desigualmente del pie del perpendicular, el mayor es aquel cuyo pie está más.
- Todo punto de la mediatriz de un segmento rectilíneo equidista de los extremos de este segmento. Todo punto que equidista de los extremos de un segmento rectilíneo, está en la mediatriz de dicho segmento.
- Los segmentos de paralelas comprendidos entre paralelas son iguales. Si dos ángulos tienen sus lados directa o inversamente paralelos , serán iguales y si tienen dos lados directamente paralelos e inversamente paralelos los otros dos serán suplementarios.
Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente perpendiculares, son iguales, si ambos son agudos o obtusos, y son suplementarios si uno es agudo y otro obtuso.
La suma de los ángulos de un polígono convexo de n lados es igual a
ángulos llanos.
http://roble.pntic.mec.es/~jgad
http://roble.pntic.mec.es/~jgad
14.1.6 CUARILÁTEROS
14.1.6.1 Definición de cuadrilátero
- En todo cuadrilátero convexo, la suma de los ángulos interiores es 4 rectos.
14.1.6.3 Propiedades comunes a todos los paralelogramos
- Los lados opuestos son iguales
- Los ángulos opuestos son iguales
- Los ángulos adyacentes a un mismo lado son suplementarios
- Una cualquiera de las dos diagonales de un paralelogramo lo divide en dos triángulos iguales no simétricos.
- Las dos diagonales de un paralelogramo se cortan mutuamente en su punto medio. El punto O , que divide en partes iguales las diagonales del paralelogramo, divide también en partes iguales a cualquier otro segmento que pasando por él tiene sus extremos en los lados opuestos del paralelogramo.
14.1.6.4 Propiedades particulares de cada paralelogramo
- Las diagonales de un romboide son desiguales y oblicuas Las diagonales de un rombo son desiguales ,perpendiculares , y bisectrices de los ángulos.Las diagonales dividen al rombo en 4 triángulos iguales.
- Las diagonales del rectángulo son iguales y oblicuas.
- Las diagonales del cuadrado son iguales, perpendiculares y bisectrices de los ángulos.
14.1.7 LINEAS NOTABLES DE UN TRIANGULO
14.1.7.1 Teoremas
Si por un par de vértices de un triángulo se trazan paralelas a los lados opuestos se obtiene otro triángulo tal que los puntos medios de sus lados son los vértices del triángulo dado.Los 4 triángulos obtenidos son iguales.
- Las mediatrices se cortan en un punto que equidista de los tres vértices. Las tres alturas de un triángulo o sus prolongaciones se conrtan en un punto único.El punto donde se cortan las alturas se llama ortocentro.
Si por el punto medio de uno de los lados de un triángulo se traza una paralela a otro lado , esta paralela pasará por el punto medio del tercer lado y el segmento determinado en ella por dichos lados será igual a la mitad del lado paralelo con ella.
Las medianas de un triángulo concurren en un punto que dista de cada vértice , doble que del punto medio del lado opuesto.
En todo trapecio el segmento que une el punto medio de los lados no paralelos es paralelo a la base e igual a la semisuma de estas.
En todo trapecio el segmento de base media interceptada por las diagonales es igual a la semidiferencia de las bases.
En todo triángulo las bisectrices de los ángulos interiores se cortan en un punto interior , al triángulo , y equidistante de los tres lados.El punto de corte de las bisectrices se llama incentro.Es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo.
En todo triángulo las bisectrices de dos ángulos externos y la bisectriz del ángulo interno no adyacente se cortan en un punto exterior al triángulo.Este punto es el centro de la circunferencia exinscrita al triángulo.La circunferencia exiscrita es tangente a un lado y a las prolongaciones de los otros dos lados del triángulo.En el plano de un triángulo existen 4 puntos equidistantes de los tres lados del triángulo.Uno es interior al triángulo y los otros son exteriores al mismo.
14.1.8 CIRCUNFERENCIA
14.1.8.1 Teorema de la tangente
Para que una recta sea tangente a una circunferencia, es necesario y suficiente que sea perpendicular al radio en su extremo.
14.1.8.2 Teoremas del diámetro
- Todo diámetro de una circunferencia es un eje de simetría de la curva.
- Todo diámetro divide a la circunferencia y al círculo en dos partes iguales.
- El diámetro es mayor que cualquier otra cuerda.
14.1.8.3 Relación entre arcos y cuerdas
Definición de ángulo central
Es el ángulo cuyo vértice está en el centro de la circunferencia.
Teoremas:
- En una misma circunferencia o en circunferencias iguales:
- A ángulos centrales iguales corresponden arcos iguales.
- A mayor ángulo central corresponde mayor arco.
- Todo diámetro perpendicular a una cuerda divide a ésta y a los arcos que subtiende en dos partes iguales. Dos diámetros perpendiculares entre sí dividen la circunferencia en 4 partes iguales, que se llaman cuadrantes.
- Por tres puntos que no están en línea recta pasa una circunferencia y sólo una.
- En una misma circunferencia o en circunferencias iguales.
- Si dos cuerdas equidistan del centro son iguales.
- Si dos cuerdas no equidistan del centro , la más próxima al centro es la mayor.
- En una misma circunferencia los arcos comprendidos entre paralelas son iguales.
- Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de contacto.
14.1.8.4 Posición relativa de dos circunferencias
Teoremas:
Si dos circunferencias tienen un punto común fuera de la línea de los centros , tendrán otro común simétrico del anterior, respecto de la línea de los centros.
Si dos circunferencias son secantes, la distancia de los centros es menor que la suma de los radios , y mayor que su diferencia.
- Si dos circunferencias son secantes , la línea de los centros es mediatriz de la cuerda común.
- Si dos circunferencias son tangentes , la línea de los centros pasa por el punto de contacto. Si dos circunferencias son tangentes , la perpendicular trazada a la línea de centros en el punto de contacto, es una tangente común a las dos circunferencias.
- Si dos circunferencias de radios distintos , situadas en un plano son:
- Exteriores:la distancia entre los centros es mayor que la suma de los radios.
- Tangentes exteriores:la distancia entre los centros es igual a la suma de los radios.
- Secantes:la distancia entre los centros es menor que la suma de los radios.
- Tangentes interiores: la distancia entre los centros es igual que la diferencia de los radios.
- Interiores: la distancia entre los centros es menor que la diferencia de los radios.
14.1.8.5 Angulos en la circunferencia
14.1.8.5.1 Tipos de ángulos
14.1.10.1 Definición de semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos correspondientes iguales y los lados homólogos proporcionales.
14.1.10.2 Criterios de semejanza de triángulos
- Si dos triángulos tienen dos ángulos respectivamente iguales, son semejantes
- Si dos triángulos tienen dos lados proporcionales e iguales los ángulos comprendidos , son semejantes.
- Si dos triángulos tienen los tres lados proporcionales son semejantes.
14.1.11 RELACIONES METRICAS
14.1.11.1 Teorema del cateto y de la altura
En todo triángulo rectángulo se verifica que:
- Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre la hipotenusa.
- La altura es media proporcional entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
14.1.11.2 Teorema de Pitágoras
El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
14.1.11.3Teorema generalizado de Pitágoras
En todo triángulo el cuadrado del lado opuesto al un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el duplo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
En todo triángulo el cuadrado del lado opuesto al un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados más el duplo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
14.1.11.4Teorema generalizado de la altura
Si p es el semiperímetro del triángulo y a,b,c son los lados se verifica:
14.1.11.5Teoremas de la mediana
La suma de los cuadrados de dos lados cualesquiera de un triángulo es igual al duplo del cuadrado de la mediana relativa al tercer lado , más el duplo del cuadrado de la mitad del tercer lado.
La diferencia de los cuadrados de dos lados de un triángulo es igual al duplo del tercer lado por la proyección de la mediana del tercero sobre este lado.
14.1.11.6Teoremas de Euler
La suma de los cuadrados de los cuatro lados de un cuadrado de un cuadrilátero cualquiera , es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales, más el cuádruplo del cuadrado del segmento que une los puntos medios de las diagonales.
14.1.11.7Corolario del teorema Euler
En todo paralelogramo la suma de los calandrados de los 4 lados es igual a la suma de los cuadrados de las
diagonales.
En efecto por cortarse las diagonales en sus puntos medios , el segmento que une estos puntos medios es nulo.
14.1.11.8Teorema de la bisectriz del ángulo interior
La bisectriz de ángulo interior divide al lado opuesto en dos segmentos aditivos , directamente proporcionales a los que forman dicho ángulo.
14.1.11.9Teorema de la bisectriz del ángulo exterior
http://roble.pntic.mec.es/~jgad
La bisectriz de un ángulo exterior divide al lado opuesto en dos segmentos sustractivos directamente proporcionales a los lados que forman dicho ángulo.
14.1.12 RELACIONES METRICAS ENTRE LINAEAS DE LA CIRCUNFERENCIA
14.1.12.1Teorema de las secantes a la circunferencia
Si por un punto del plano de una circunferencia trazamos secantes a esa circunferencia , el producto de las distancias desde el punto a las intersecciones de la circunferencia con cada secante , es constante , sea cualquiera la secante.
14.1.12.2Teorema de las cuerdas secantes perpendiculares
Si en una circunferencia de radio R , se trazan dos cuerdas secantes perpendiculares cualesquiera , la suma de los cuadrados de los 4 segmentos es igual a
Los segmentos son a,b,c,d.
14.1.12.3Teorema de la tangente y la secante a la circunferencia
Si por un punto del plano de una circunferencia y exterior a ella trazamos una tangente y una secante , el producto de las distancias desde ese punto a las intersecciones de la circunferencia con la secante, es igual al cuadrado de la distancia de ese punto al de contacto de la tangente.
14.1.12.4Otros teoremas
En todo triángulo ABC inscrito en una circunferencia , el producto de dos lados es igual al producto de la altura relativa al tercero , por el diámetro de la circunferencia circunscrita.
El producto de dos lados de un triángulo es igual al producto de los segmentos que la bisectriz interior determina sobre el tercero , más el cuadrado de dicha bisectriz.
El producto (CA,CB) de dos lados de un triángulo es igual al producto (CM,CN) de dos segmentos conjugados isogonales respecto del ángulo BCA,limitados uno de ellos por la base del triángulo y el otro por la circunferencia circunscrita.
*Rectas isogonales:dos rectas CM y CN se dicen conjugadas isogonales respecto al ángulo C o de los lados CA y CB de dicho ángulo , cuando son simétricas respecto de la bisectriz del ángulo C , esto es ,cuando forman con lados CA y CB ángulos iguales.
- El producto de dos lados de un triángulo es igual al producto de los segmentos que la bisectriz exterior
14.1.13.1Definición de razón simple
Se llama razón simple de tres puntos M,A y B que están sobre una recta , y se representa por (MAB) , a la razón entre las distancias MA y MB.
14.1.13.2Razón simple de tres rectas concurrentes
Se llama razón simple de tres rectas concurrentes m,a,b y se representa por (mab),a la razón entre el seno del ángulo agudo que forman las rectas m y a y el seno del ángulo agudo que forman las rectas m y b.
14.1.13.3Teorema de Menelao
Dado un triángulo ABC y una recta r que no sea paralela a ningún lado y que no pase por ningún vértice,que corta al lado AB en M ,al lado AC en N y al lado BC en P se verifica entonces la relación:
14.1.13.4Teorema de Ceva
Si tenemos un triángulo ABC y un punto O que unimos con los vértices entonces las semirrectas OA,OB y OC cortarán a los lados en puntos M,N y P tales que:
http://roble.pntic.mec.es/~jgad
14.1.14 OTROS TEOREMAS IMPORTANTES
14.1.14.1 Teorema previo al teorema de Carnot
Se dan dos puntos A y B.El lugar geométrico de los puntos M tales que
es una recta.
14.1.14.2Teorema de Carnot
Para que las perpendiculares bajadas desde los puntos
sobre los lados BC,CA y AB del triángulo ABC se intersequen en un punto es necesario y suficiente que:
14.1.14.3Circunferencia de los nueve puntos
http://roble.pntic.mec.es/~jgad
Es la circunferencia que pasa por los puntos medios de los lados del triángulo, los pies de las alturas , los puntos medios de los segmentos de las alturas desde los vértices hasta el punto de intersección.
14.1.14.4Teorema de Feuerbach
La circunferencia de los nueve puntos es es tangente a la circunferencia inscrita en un triángulo y todas las circunferencias exinscritas.
14.2 PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRIA CLASICA
Problema 1
Sea G el baricentro del triángulo ABC. Si se verifica:
AB + GC = AC + GB
demostrar que el triángulo es isósceles.
Resolución primera
Teniendo en cuenta el teorema de la mediana, la relación del enunciado se escribe:
multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada queda:
Probaremos que el segundo factor es positivo, de donde se deduce la conclusión.
Llamando B' y C' a los puntos medios de AC y Ab respectivamente, en los triángulos CC'A y BB'A tenemos por la desigualdad triangular:
Sumando ambas desigualdades se obtiene el resultado.
Resolución segunda
Llamando A', B', C' a los puntos medios de los lados BC, AC y AB respectivamente y dividiendo por dos la condición del enunciado podemos escribirla como:
es decir los puntos C' y B' están en una elipse de focos A y G.
es el llamado número áureo y representa la relación entre la diagonal y el lado de un pentágono regular. En nuestro caso es la relación de semejanza entre las bases del tronco de pirámide.
Además :
y para el radio r :
Llamando V al volumen de la pirámide grande , v al de la pequeña, sabemos que V = v ; y para el volumen del tronco de cono Vt queda:
; siendo a el área del pentágono de lado 1. Sólo nos queda calcular a, h, sustituir y operar:
El área a la calculamos sumado 5 triángulos isósceles de lados iguales r, r formando 72º
. (hemos usado 2rsen36º = 1 de (2)).
Para calcular h, por la semejanza de los triángulos de la figura central, tenemos:
Como verifica la ecuación (1): = +1; tenemos para la expresión de h:
Sustituyendo las expresiones de a y h y poniendo −1= ( −1)( + + 1); queda:
y sustituyendo el valor de de (1), queda finalmente:
Ejemplo 3
En el plano, se considera un trapecio no isósceles, cuyas bases son AB y CD.
Sea E el punto de intersección de las rectas en que están los lados AD y BC. Sea F, el punto de intersección de las diagonales. a)Demostrad que la recta EF pasa por los puntos medios de las bases.
b)Demostrad analíticamente que las rectas que unen los puntos medios de los lados del trapecio se cortan en el punto medio del segmento que une los puntos medios de las diagonales.
Resolución
Observación
Problema propuesto en las oposiciones Valencia 2004.
Apartado a: Solución mediante Geometría Sintética (Geometría Clásica)
Sea el siguiente trapecio no isósceles
Dado que las bases del trapecio son paralelas, podemos aplicar el Teorema de Thales.
Apartado a: Solución mediante Geometría Analítica
Para realizar una demostración analítica del problema, necesitamos buscar un sistema de referencia lo más favorable posible. Es decir, aquél que facilite los cálculos. Sea pues el siguiente sistema de referencia, donde tres de los cuatro puntos que conforman el trapecio no isósceles tienen alguna coordenada nula.
Determinación de la recta AD :
Determinación de la recta BC :
http://roble.pntic.mec.es/~jgad
El punto de corte de las dos rectas es
:
La ordenada de F será:
Determinación de la recta BE :
Determinación de la recta AE :
El punto de corte de las dos rectas es
:
La ordenada de E será:
http://roble.pntic.mec.es/~jgad
