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Cálculo Diferencial Prof. Adriana Valverde Calderón
CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
Definiciones
- Se dice que una curva es cóncava hacia abajo en el intervalo
si todos sus puntos
están por debajo de cualquier tangente a la curva en ese intervalo.
- Se dice que una curva es cóncava hacia arriba en el intervalo
si todos sus
puntos están por encima de cualquier tangente a la curva en ese intervalo.
Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo
Teoremas:
- Si en todos los puntos del intervalo
, entonces la curva es
cóncava hacia abajo en el intervalo
- Si en todos los puntos del intervalo
, entonces la curva es
cóncava hacia arriba en el intervalo
PUNTO DE INFLEXIÓN
El punto
0 0
x f x sobre la gráfica de y f ( x )es un punto de inflexión si
0
f x
o ' '( )
0
f x no existe y f ' '( x )cambia de signo al pasar por el valor
0
x x
El punto de inflexión separa la parte cóncava hacia arriba de la parte cóncava hacia abajo.
𝑥
𝑥 𝑥 𝑥
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Ejemplo
Determinar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de la gráfica de:
Resolución
Analizar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión en la derivada de 2do. orden
definida sobre todo :
Puntos de inflexión: √
Puntos de inflexión: ( √ √ ⁄
) (√ √ ⁄
)
Intervalos de concavidad:
En 〈 √ 〉
〈 √ 〉
; es cóncava hacia arriba
En 〈 √
〉 〈√ 〉 ; cóncava hacia abajo.
CONCAVIDAD. CURVATURA DE UNA FUNCIÓN
a. Hallar la función derivada
b. Hallar la función derivada de segundo orden
c. Resolver las inecuaciones
d. Si 〈 〉 entonces será cóncava hacia arriba sobre 〈 〉
e. Si 〈 〉 entonces será cóncava hacia abajo sobre 〈 〉
PUNTOS DE INFLEXIÓN
El punto de inflexión de una función es el punto en el cual la función cambia la concavidad.
Hallar la derivada de segundo orden
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Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Intervalos de concavidad
Posible punto de inflexión en:
Intervalos de concavidad hacia arriba:
Intervalos de concavidad hacia abajo:
Valores extremos: Analizamos los intervalos de crecimiento
Máximo Relativo:
Puntos de inflexión: Analizamos los intervalos de concavidad
Punto de inflexión: ( )
Cuadro resumen del comportamiento de la gráfica de la función
Comportamiento de la Grafica
- Creciente; Cóncava hacia abajo
- 1 - 3/4 0 - Máximo Relativo
- Decreciente; Cóncava hacia abajo
1 Punto de discontinuidad
- Creciente; Cóncava hacia abajo
2 6 0 0 Punto de inflexión
- Creciente; Cóncava hacia arriba
crece decrece
crece crece
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Gráfica de la función:
Ejercicio: Analizar el comportamiento de la trayectoria de la gráfica de la función sobre
todo.
