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INTRODUCCIÓN
En este trabajo se hablará sobre ciertos temas en el cual encontraremos definición de una función real
variable, pero para poder comprender este tema debemos saber primero ¿Qué es una función?, ¿Qué es
una función real de una variable real? ¿Quiénes lo conforman?
Veremos los tipos de dichas funciones, como: Funciones inyectiva, Función sobreyectiva, Funciones
biyectiva , Funciones algebraicas ,Funciones lineales, Función cuadrática ,Funciones polinómicas ,Función
enteras, Función fraccionaria, Función racional, Función irracional Función constante ,Función
univariable ,Función multivariada ,Función explicita, Función implícita, Función trascendente, Función
exponenciales, Función logarítmica, las Funciones trigonométricas directas y las trigonométricas inversas; al
igual que sus operaciones que corresponden a suma, resta, multiplicación y división, llamado combinación de
funciones.
Se aprenderá que son los limites, al igual que sus leyes, y por ultimo encontraremos los tipos que son: limite
donde se cancela dos factores, Limite de la función constante, Limite de una potencia, Limite de un
polinomio, Limite racional, Limite por factorización, Limite de funciones con radicales, Limite para sen x y cos
x.
INDICE
Tema 1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Concepto de función
Una función puede considerarse como una correspondencia de numero reales de un conjunto
X con los valores reales del conjunto Y, siempre que para cada valor de X (elementos del conjunto X ) haya un valor de y (elemento del conjunto Y ) único. A los elementos del conjunto
- DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN REAL DE UNA VARIABLE REAL ……………………4- - FUNCION…………………………………………………………………………………………….…………4- - DOMINIO…………………………………………………………………………………..……4- - CONTRADOMINIO……………………………………………………………………………………………4- - DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN REAL…………………………………………………………………….4-
- CLASIFICACIÓN ……………………………………….....…………………………………..5-
- FUNCIONES INYECTIVA……………………………………………………………………………………5-
- FUNCION SOBREYECTIVA………………………………………………………………………………...5-
- FUNCION BIYECTIVA……………………………………………………………………………………….5-
- FUNCION ALGEBRAICA…………………………………………………………………………………….6-
- FUNCION LINEAL ……………………………………………………………………………………………6-
- FUNCION CUADRATICA ……………………………………………………………………………………6-
- FUNCIONES POLINOMICAS ……………………………………………………………………………….6-
- FUNCION ENTERAS …………………………………………………………………………………….......6-
- FUNCION FRACCIONARIA………………………………………………………………………………….6-
- FUNCION RACIONAL…………………………………………………………………………………………6-
- FUNCION IRRACIONAL ……………………………………………………………………………………..6-
- FUNCION CONSTANTE ……………………………………………………………………………………..7-
- FUNCION UNIVARIABLE ……………………………………………………………………………………7-
- FUNCION MULTIVARIADA …………………………………………………………………………………..7-
- FUNCIÓN EXPLICITA………………………………………………………………………………………….7-
- FUNCIÓN IMPLÍCITA ………………………………………………………………………………………7-
- FUNCION TRASCENDENTE …………………………………………………………………………………7-
- FUNCION EXPONENCIALES…………………………………………………………………………………7-
- FUNCION LOGARÍTMICA …………………………………………………………………………………….7-
- FUNCIONES TRIGONOMETRÍCAS DIRECTAS……………………………………………………………8-
- FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS……………………………………………………………8-
- COMBINACION DE FUNCIONES……………………………………………………………....8- - MAPA DE FUNCIONES ………………………………………………………………………….9-
- CONCEPTO DE LIMITE …………………………………………………………………………10- - LEYES DE LIMITE ………………………………………………………………………………10-
- TIPOS DE LIMITE………………………………………………………………………………...10-
- CONCLUSIÓN …………………………………………………………………………………………………..13-
- BIBLIOGRAFIA ….......…………………………………………………………………………………………14-
dominio contra dominio
FUNCION SOBREYECTIVA:
En esta se cumple la condición de que todos los elementos del contradominio están relacionados y también
se observa que cada elemento del contradominio está relacionado como mínimo con un elemento del
dominio. En pocas palabras una función sobreyectiva (o suprayectiva) si todo elemento del conjunto final Y
tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde. una función es sobreyectiva si
el recorrido de la función es el conjunto final Y
FUNCIONES BIYECTIVA:
Es la función que es inyectiva y sobreyectiva a la vez
X Y
dominio contradominio
Funciones algebraicas
Son las que se tienen que efectuar con la variable dependiente: la adicción, sustracción, multiplicación,
división, potencia y radicación [1]
Funciones lineales
Su gráfica es una línea recta con pendiente que cruza el eje de las ordenadas y
Función cuadrática
0
5
10
1
11
21
Tiene la forma general de f(x)=ax² +bx+c
Ejemplo este tipo de funciones lo constituye la ecuación del movimiento en caída libre de los cuerpos
Funciones polinómicas
Viene definida por un polinomio
f(x) = a0 + a1 x + a1 x² + a1 x³ +··· + an xn
Su dominio es R es decir, cualquier número real tiene imagen.
Función enteras
Función parte entera de x o función suelo entero es la que asigna a cada número real x el entero más
próximo, pero que sea menor o igual que x.
Se representa por Ent(x) , por medio de ⌊x⌋ , o [x]. ⌋ , o [x].x , o [x].
La función parte entera se puede expresar como una función definida a trozos con infinitos tramos en los que
la función es constante.
E(x) = [x]
donde [x] es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que: E(x) ≤ x < E(x) + 1
Función fraccionaria
Todo número real x puede escribirse en la forma n + r donde n es su parte entera de x y r es un número real
no negativo menor que 1, denominado la parte fraccionaria o parte fraccional de x.
Función racional
Una función racional está definida como el cociente de polinomios en los cuales el denominador tiene un
grado de por lo menos 1. En otras palabras, debe haber una variable en el denominador. La forma general de
una función racional es , donde p ( x ) y q ( x ) son polinomios y q ( x ) ≠ 0
Función irracional
son aquellas cuya expresión matemática f(x) presenta un radical: donde g(x) es una función polinómica o una
función racional.
Son funciones de la forma () () n f x Rx = , donde R x( ) es una función polinómica o una función racional y n
un número natural mayor que 1.
- Si n es impar el dominio de esta función es igual al dominio de R x( ).
- Si n es par el dominio de esta función está formado por todos los números reales para los que R x() 0 ≥. Es
decir, para averiguar el
dominio debemos resolver la inecuación asociada al radicando para valores mayores o iguales a cero (ver la
zona de error de las tablas).
- Su gráfica puede tener una o más ramas dependiendo de la expresión algebraica donde se encuentre el
radical
- Traslaciones de la gráfica de la función
Función constante
Es la que tiene en lugar de la variable independiente solamente una constante y=f(x)=a donde a es una
constante. Un ejemplo de este tipo de función sería los costos fijos y el ingreso mensual
Función univariable
secante ( sec x )
cosecante ( csc x)
Funciones trigonométricas inversas
f(X)=arcsen x
f(X)=arccos x
f(X)=arctan x
f(X)=arcctg x
f(X)=arcsec x
f(X)=arccsec x [1]
En esta se busca el angulo cuyo valor del seno del angulo se conoce
Ejemplo
Y=arcsen x y=arcos x y arctan x
Combinación de funciones [7]
Una función f puede combinarse con otra función g mediante operaciones aritmeticas para formar otras
funciones. La suma f+g la diferencia f-g; el producto fg y el cociente f/g
Sea f y g funciones
Suma (f + g) (x) = f(x) - g(x)
Diferencia (f - g) (x) = f (x) - g(x)
Producto (fg) (x) = f (x) g(x)
Cociente (f / g) (x) =
F ( x )
g ( x )
El dominio de f + g, f – g y fg es la intersección del dominio de f con el dominio de g
El dominio del cociente f / g es la intersección de los dominios f y g sin los números para los que g (x) = 0
[10]
(f + g )(x) = f(x) + g(x)= ( 2 x
2
− 5 ¿+( 3 x + 4 )= 2 x
2
(f – g) (x)= f(x)-g(x)= ( 2 x
2
− 5 ¿−( 3 x + 4 )= 2 x
2
− 3 x − 9
(fg) (x) = f(x) g(x) = (
2 x
2
3 x + 4
= 6 x
3
2
− 15 x − 20
(f / g)(x) =
2 x
2
3 x + 4
, x ≠ −
FUNCION
Concepto de funcion
dominio y contradominio
clasificacion de funciones
inyectiva
sobreyectiva
bitectiva
algebraicas
lineales
f(x)2x+
cuadraticas
f(x)=
polinomiales
f(x)=+x+
enteras
f(x)=
fraccionarias
f(x)
iraccional
f(x)=
univariables
multivariable
explicita
implicita
trascendentes logaritimcas y exponenciales
f(x)=log x
f(x)=In (2x-1)
f(x)=
f(x)
trigometricas
Directas
f(X)=sen x
f(X)=cos x
f(X)=tan x
f(X)=ctg x
f(X)sec x
f(X)csc x
Inversas
f(X)=arcsen x
f(X)=arccos x
f(X)=arctan x
f(X)=arcctg x
f(X)=arcsec x
f(X)=arccsec x
lim
x→ 3
3 x + 9
x
2
En general
lim f
x − a
( x )= L
Un limite existe si y solo si ambos limites laterales existen y son iguales
Aproximación del valor de un limite
lim
x → 0
sen x
x
En esta ninguna tipa de algebra permite simplificar esta expresión sin embargo se puede graficar y calcular
valores de las funciones
lim
x → 0
sen x
x
Un límite en el que requiere limites laterales
lim
x → 0
x
¿ x ∨¿ ¿
lim
x→ 0
+¿
x
| x |
=
lim x
x
= lim
x→ 0
−¿
− 1 =− 1 ¿
¿ ¿
Se deduce a que no existe debido a que los limites laterales no coinciden
Límite de la función constante
para cualquier constante c u cualquier número real a la constante c no depende de x y por lo tanto
permanece invariable cuando
xa
límite de una potencia
lim
x →a
x
n
= a
n
ejemplo calcula
lim
x → 2
x
5
la regla de las potencias se tiene
lim
x → 2
x
5
5
límite de un polinomio
un polinomio es la combinación de las operaciones básicas se pueden demostrar que l límite de un polinomio
es el valor del polinomio en el punto el cual tiene la variable es decir para hallar el límite de un polinomio se
sustituye la variable por el valor
lim
x → 2
3 x
2
− 5 X + 4
Se tiene
lim
x → 2
3 x
2
−lim
x→ 2
5 x
+lim
x→ 2
regla básica II
lim
x → 2
x
2
− 5 lim x + 4
x → 2
regla básica I
2
-5*2+4 =6 por la regla de limite de una potencia
Limite racional
lim
x→ 3
x
3
x
2
lim
x→ 3
x
3
x
2
=lim
x → 3
( x ¿¿ 3 − 5 x + 4 )
lim
x→ 3
( x
2
lim
x→ 3
x
3
− 5 lim
x → 3
x + lim
x → 3
lim
x → 3
x
2
−lim
x → 3
3
2
Limite por factorización
lim
x→ 1
x
2
1 − x
lim
x→ 1
x
2
1 − x
lim
x→ 1
( x
2
lim
x→ 1
( 1 − x )
Debido al que el límite del denominador es cero (el denominador de un conciente es el conciente de los
limites solamente cuando ambos limites existen y el límite de denominador no es cero)
lim
x→ 1
x
2
1 − x
lim
x→ 1
( x − 1 )( x + 1 )
−( x − 1 )
lim
x→ 1
( x + 1 )
La cancelación de los factores (x-1)es válido porque en el límite cuando x1, x está cerca de 1 pero x≠1 de
modo que x-1≠
Límite de funciones con radicales
Para cualquier entero n>0 y cualquier número real a
lim
x→ a
n
√ x =
n
√ a
Donde para n par se debe suponer que a>0 además supón que
lim
x→ a
f ( x )= L
Entonces
lim
x→ a
n
√
f ( x ) =
n
√
l ℑ f ( x )
x →a
n
√
L
donde para n par se supone que L >
Límite para sen x y cos x
Para cualquier número real a se tiene
lim
x→ a
sen x = sen a
lim
x→ a
cos x =cos a
Las funciones seno y cos se pueden hallar por simples sustituciones
lim
x → 0
s ⅇnx nx
cos x
lim
x → 0
sen x
lim
x → 0
cos x
Bibliografías
1- calculo Samuel Arteaga Tovar y Jose Alfredo Espinosa Piña Edicion departamento de libros de texto
FCE Quinta del agua Edicion S.A de C.V TERCERA EDICION 2015
2- http://www3.uah.es/omardelacruz/mate1/14_15/Mat%20I%20Tema%2002%funciones.pdf
3- https://www.geogebra.org/m/yuXsrmsD FUNCIONES SOBREYECTIVA
4- https://www.sectormatematica.cl/contenidos/funreal.htm funciones varibales
5- https://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Procedimientos_analizar_funcion/
2bcnst_14_9.htm
6- https://es.khanacademy.org/math/algebra2/manipulating-functions/combning-functions/a/introduction-
to-combining-functions
7- calculo con geometría analítica dennis G. Zill grupo editorial iberoamericana
8-calculo diferencial e integral Robert t. Smith
Mc GRAW-HILL INTERAMERICANA EDITORES S.A DE C.V IMPRESO EN FEBRERO 2004
9-calculo diferencia e integral james Stewart international Thomsom Editores S.A de C.V impreso 2003
