ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
Lic. Claudia Federici
PROYECCIÓN Y COMPLEMENTO ORTOGONAL. Ejemplos
1. Sean 𝐻 = {(𝑥,𝑦)∈ 𝑅2: 𝑥 + 2𝑦 = 0} y 𝑣 = (1,4)
- Si queremos hallar la proyección del vector v sobre el subespacio H, deberíamos hallar
primero una base ortonormal de H,
𝐻 = {(𝑥,𝑦)∈ 𝑅2:𝑥 + 2𝑦 = 0}={(𝑥,𝑦)∈ 𝑅2: 𝑥 = −2𝑦}={(−2𝑦,𝑦), 𝑦 ∈ 𝑅}
={𝑦(−2,1), 𝑦 ∈ 𝑅}
Una base de H será 𝐵 = {(−2,1)}, normalizamos el vector (-2, 1) dividiendo cada
componente por su norma y obtenemos una base ortonormal de H, esto es
𝐵𝑂𝑁 = {(− 2
√5,1
√5)}
𝒑𝒓𝒐𝒚𝑯𝒗 =< (1,4),(− 2
√5,1
√5) >.(− 2
√5,1
√5) = 2
√5.(− 2
√5,1
√5) = (−𝟒
𝟓,𝟐
𝟓)
- Si queremos hallar el complemento ortogonal de H, es decir 𝐻⊥ deberíamos plantear
que (𝑥,𝑦)∈ 𝐻⊥⟺< (𝑥,𝑦),(−2,1)>= 0 ⟺ −2𝑥 + 𝑦 = 0 ⇒ 𝑦 = 2𝑥
(𝑥,𝑦)∈ 𝐻⊥⟺(𝑥,2𝑥)= 𝑥(1,2)
Luego, 𝑯⊥= 𝒈𝒆𝒏{(𝟏,𝟐)}
- Si queremos expresar al vector v como h + p, donde ℎ = 𝑝𝑟𝑜𝑦𝐻𝑣 y 𝑝 = 𝑝𝑟𝑜𝑦𝐻⊥𝑣
Si 𝑣 = (1,4) y ℎ = 𝑝𝑟𝑜𝑦𝐻𝑣 = (−4
5,2
5)
Usando el teorema de la proyección, como 𝑣 = ℎ +𝑝 ⟹ 𝑝 = 𝑣 −ℎ
𝑝 = (1,4)−(−4
5,2
5)=(9
5,18
5)
Luego, el vector v se puede expresar
(𝟏,𝟒)=(−𝟒
𝟓,𝟐
𝟓)+(𝟗
𝟓,𝟏𝟖
𝟓)
