¡Descarga Contabilidad Practica 21 y más Ejercicios en PDF de Contabilidad Financiera solo en Docsity!
RADIACIÓN Y PROPAGACIÓN DE ONDAS PRÁCTICA 6 – PROBLEMAS
Problema 1. Una guía de onda de sección rectangular con dimensiones a= 6 cm ,b= 3 cm está
rellena de material dieléctrico con ϵ
r
=4,tang(δ)= 10
− 4
. Se propaga una onda electromagnética
en dirección ̂z a f =2GHz.
a) Calcular los modos de la onda que se propagan por la guía.
b) Si en z= 0 cm , x = 3 cm, y= 1 cm , t= 0 s el campo eléctrico es máximo y tiene un valor de
5 ̂y V /m , calcular la potencia de la onda en z= 10 m si:
b1) las paredes de la guía son de conductor perfecto.
b2) las paredes de la guía son de cobre ( σ=5,7 · 10
7
Ω
− 1
m
− 1
).
b3) las paredes de la guía son de conductor perfecto excepto la tapa superior (cobre).
c) Comprobar que para el modo fundamental, la potencia disipada en el conductor se puede calcular
como P
LC
=
R
s
2
∣E
M
∣
2
η
2
[
a+2b
f
c
f
2
]
partiendo de P
LC
=
R
s
2
∣
̂ n×
⃗
H∣
2
dl
Solución
a) Es una guía rectangular, por lo tanto el modo fundamental es el TE 10
. Calculamos su frecuencia
de corte.
f
c
=
c
2a
=
3 · 10
8
4
2 · 0,
=1,25 GHz
Como la frecuencia de corte del modo fundamental está por debajo de la frecuencia de trabajo, este
modo sí se propaga por la guía.
Como la guía rectangular tiene una relación a=2b , los siguientes modos a analizar son el TE 20
y
el TE 01
. Ambos modos comparten en este caso frecuencia de corte, que a su vez es el doble de la
frecuencia de corte del modo fundamental. Por tanto,
f
c
=f
c
= 2 f
c
=2,5 GHz
x
y
z
Como la frecuencia de corte está por encima de la frecuencia de trabajo, estos modos están al corte
y no se propagan por la guía de ondas. Tampoco lo hace entonces ningún otro modo de orden
superior. Por lo tanto, únicamente se propaga el modo fundamental.
b) Como el campo máximo en la guía vale 5 ̂y , podemos deducir que ∣E
M
∣= 5 para la onda
electromagnética. Como únicamente se propaga el modo fundamental, podemos calcular la potencia
que se propaga en la guía sin tener en cuenta las pérdidas en dieléctrico o conductor como,
P
T
=
∣E
M
∣
2
4 Z
TE
ab=
25
4 · 241,
0,06 ·0,03=46,59 μ W
donde Z
TE
=
η
√
( 1 −
f
c
f
2
)
=
η
0
√
ϵ
r
√
( 1 −
f
c
f
2
)
=
60 π
√
( 1 −
(
1,
2
)
2
)
=241,47 Ω
Una vez calculada la potencia sin pérdidas, la potencia con pérdidas se puede calcular con la
siguiente expresión,
P
T
per
=P
T
e
− 2 α z
donde α=α
d
+α
c
es el coeficiente de atenuación debido a las pérdidas en el dieléctrico o en el
conductor y z es la distancia que recorre la onda electromagnética.
En los tres supuestos que se mencionan en el problema tenemos pérdidas debidas al dieléctrico. El
coeficiente de atenuación asociado al dieléctrico se calcula así,
α
d
=
k ' tang(δ)
2
√
1 −
f
c
f
2
=
80 π
3
10
− 4
2
√
1 −
(
1,
2
)
2
=5,37 · 10
⁻ 3
Np/m
con
α
d
=
k ' tang(δ)
2
√
1 −
f
c
f
2
=
80 π
3
10
− 4
2
√
1 −
(
1,
2
)
2
=5,37 · 10
⁻ 3
Np/m
.
Ahora analizamos cada uno de los supuestos para el conductor.
b1) Conductor perfecto. En este caso no hay pérdidas asociadas al conductor y todas las pérdidas
son debidas únicamente al dieléctrico.
α=α
d
=5,37 · 10
⁻ 3
P
T
per
=46,59 · 10
− 6
e
− 2 ·5,37 · 10
− 3
· 10
=41,85μ W
b2) Conductor de cobre. En este caso el coeficiente de atenuación correspondiente a las pérdidas
asociadas al conducuctor se puede calcular utilizando la siguiente expresión,
=
R
s
2
∣E
M
∣
2
Z
TE
2
a
2
R
s
2
∣E
M
∣
2
η
2
f
c
f
2
a
2
=
0,
2
0,
2
[
25
241,
2
25
( 60 π)
2
(
1,
2
)
2
]
=1,24 · 10
− 7
W
Ahora podemos calcular el coeficiente de atenuación correspondiente a las pérdidas del conductor,
α
c
=
P
LC
2 P
T
=
1,24 · 10
− 7
2 · 46,59· 10
− 6
=1,33 · 10
− 3
Np/m
El coeficiente de atenuación combinado es,
α=α
d
+α
c
=5,37 · 10
− 3
+1,33 · 10
− 3
=6,70 · 10
− 3
Np/m
y la potencia propagada a 10 metros,
P
T
per
=46,59 · 10
− 6
e
− 2 ·6,70 · 10
− 3
· 10
=40,75μ W
c) Vamos a hacer la comprobación para la disposición habitual de los ejes que se utiliza en teoría.
Partiendo de P
LC
=
R
s
2
∣
̂ n×
⃗
H∣
2
dl y teniendo en cuenta que tenemos cuatro superficies distintas,
obtenemos P
LC
=
R
s
2
↑
∣n̂ ×
⃗
H∣
2
dl+
R
s
2
↓
∣n̂×
⃗
H∣
2
dl+
R
s
2
→
∣n̂×
⃗
H∣
2
dl+
R
s
2
←
∣n̂×
⃗
H∣
2
dl. La
dirección de la flecha indica el vector normal a la superficie hacia el exterior de la guiaonda.
Resolvemos cada una de las integrales,
Tapa superior:
R
s
2
∫
↑
∣
̂ n×
⃗
H∣
2
dl=
R
s
2
∫
0
a
∣
̂ y ×
[
−
E
M
Z
TE
sin
(
π x
a
)
e
− jβ z
̂ x+ j
E
M
η
f
c
f
cos
(
π x
a
)
e
− j βz
̂ z
] ∣
2
dx
R
s
2
↑
∣
̂ n×
⃗
H∣
2
dl=
R
s
2
0
a
∣
E
M
Z
TE
sin
(
π x
a
)
e
− j β z
̂ z + j
E
M
η
f
c
f
cos
(
π x
a
)
e
− jβ z
̂ x
∣
2
dx
R
s
2
∫
↑
∣n̂×
⃗
H∣
2
dl=
R
s
2
∫
0
a
[
∣E
M
∣
2
Z
TE
2
sin
2
(
π x
a
)
∣E
M
∣
2
η
2
f
c
f
2
cos
2
(
π x
a
)
]
dx
R
s
2
↑
∣
̂ n×
⃗
H∣
2
dl=
R
s
2
∣E
M
∣
2
a
2 [
1
Z
TE
2
1
η
2
f
c
f
2
]
=
R
s
a∣E
M
∣
2
4 [
1
η
2 (
1 −
f
c
f
2
)
1
η
2
f
c
f
2
]
=
R
s
a∣E
M
∣
2
4 η
2
x
y
z
Tapa inferior:
R
s
2
↓
∣
̂ n×
⃗
H∣
2
dl=
R
s
2
0
a
∣
− ̂y×
[
−
E
M
Z
TE
sin
(
π x
a
)
e
− j β z
̂ x + j
E
M
η
f
c
f
cos
(
π x
a
)
e
− jβ z
̂ z
] ∣
2
dx
R
s
2
↓
∣
̂ n×
⃗
H∣
2
dl=
R
s
2
0
a
∣
−
E
M
Z
TE
sin
(
π x
a
)
e
− j βz
̂ z− j
E
M
η
f
c
f
cos
(
π x
a
)
e
− jβ z
̂ x
∣
2
dx
R
s
2
↓
∣n̂×
⃗
H∣
2
dl=
R
s
2
0
a
[
∣E
M
∣
2
Z
TE
2
sin
2
(
π x
a
)
∣E
M
∣
2
η
f
c
f
2
cos
2
(
π x
a
)
]
dx
R
s
2
↓
∣n̂×
⃗
H∣
2
dl=
R
s
2
∣E
M
∣
2 a
2
[
1
Z
TE
2
1
η
2
f
c
f
2
]
=
R
s
a∣E
M
∣
2
4
[
1
η
2
(
1 −
f
c
f
2
)
1
η
2
f
c
f
2
]
=
R
s
a∣E
M
∣
2
4 η
2
Tapa derecha
R
s
2
∫
→
∣n̂×
⃗
H∣
2
dl=
R
s
2
∫
0
b
∣
̂ x×
[
−
E
M
Z
TE
sin
(
π x
a
)
e
− jβ z
̂ x+ j
E
M
η
f
c
f
cos
(
π x
a
)
e
− j β z
̂ z
] ∣
x= 0
2
dy
R
s
2
→
∣
̂ n×
⃗
H∣
2
dl=
R
s
2
0
b
∣
− j
E
M
η
f
c
f
cos
(
π x
a
)
e
− j βz
̂ y
∣
x= 0
2
dy
R
s
2
→
∣n̂×
⃗
H∣
2
dl=
R
s
2
0
b ∣E
M
∣
2
η
2
f
c
f
2
dy=
R
s
b∣E
M
∣
2
2 η
2
f
c
f
2
Tapa izquierda
R
s
2
∫
←
∣
̂ n×
⃗
H∣
2
dl=
R
s
2
∫
0
b
∣
− ̂x×
[
−
E
M
Z
TE
sin
(
π x
a
)
e
− j β z
̂ x+ j
E
M
η
f
c
f
cos
(
π x
a
)
e
− jβ z
̂ z
]∣
x=a
2
dy
R
s
2
←
∣
̂ n×
⃗
H∣
2
dl=
R
s
2
0
b
∣
j
E
M
η
f
c
f
cos
(
π x
a
)
e
− j β z
̂ y
∣
x=a
2
dy
R
s
2
←
∣n̂×
⃗
H∣
2
dl=
R
s
2
0
b
∣E
M
∣
2
η
2
f
c
f
2
dy=
R
s
b∣E
M
∣
2
2 η
2
f
c
f
2
Sumando los cuatro resultados parciales nos queda,
P
LC
=
R
s
2
↑
∣
̂ n×
⃗
H∣
2
dl+
R
s
2
↓
∣
̂ n×
⃗
H∣
2
dl+
R
s
2
→
∣
̂ n×
⃗
H∣
2
dl+
R
s
2
←
∣
̂ n×
⃗
H∣
2
dl
P
LC
=
R
s
a∣E
M
∣
2
4 η
2
R
s
a∣E
M
∣
2
4 η
2
R
s
b∣E
M
∣
2
2 η
2
f
c
f
2
R
s
b∣E
M
∣
2
2 η
2
f
c
f
2
=
R
s
2
∣E
M
∣
2
η
2
[
a +2b
f
c
f
2
]
Problema 3. La figura muestra la vista en planta de dos guías rectangulares vacías de dimensiones
a= 6 cm ,b= 3 cm formando un ángulo de 90º y conectadas mediante un codo achaflanado. El
codo se caracteriza por una ROE = 1,4 cuando se incide desde la guía A hacia la guía B. Se
introduce una onda electromagnética de frecuencia f =4GHz y potencia P=1mW por la guía
A. Sabemos que el campo incidente en la guía A se anula en
z= 10 cm , x= 1 cm , y=− 3 cm, t= 0 s. El codo se caracteriza por unos coeficientes de reflexión y
transmisión dados por:
ρ=
E
A
−
(z=6cm , y=−3cm)
E
A
(z=6cm , y=−3cm)
=∣ρ∣e
j φ
ρ
, τ=
E
B
( y =3cm , z=0cm)
E
A
(z=6cm , y=−3cm)
=∣τ∣e
j φ
τ
con φ ρ
=
π
4
, φ
τ
=
π
3
.
a) Calcular las expresiones de los campos eléctricos y magnéticos en ambas guías.
Solución
Lo primero que tenemos que averiguar son los modos que se propagan en la guía.
Es una guía rectangular, por lo tanto el modo fundamental es el TE 10
. Calculamos su frecuencia de
corte.
f
c
=
c
2a
=
3 · 10
8
2 · 0,
=2,5 GHz
Como la frecuencia de corte del modo fundamental está por debajo de la frecuencia de trabajo, este
modo sí se propaga por la guía. Como la guía rectangular tiene una relación a=2b , los
siguientes modos a analizar son el TE 20
y el TE 01
. Ambos modos comparten en este caso frecuencia
de corte, que a su vez es el doble de la frecuencia de corte del modo fundamental. Por tanto,
f
c
=f
c
= 2 f
c
= 5 GHz
y
z
Guía
A
Guía B
Input
y = 3 cm
z = 6 cm
Como la frecuencia de corte está por encima de la frecuencia de trabajo, estos modos están al corte
y no se propagan por la guía de ondas. Tampoco lo hace entonces ningún otro modo de orden
superior. Por lo tanto, únicamente se propaga el modo fundamental.
Las expresiones de campo eléctrico y magnético para el modo fundamental en una guía de onda
rectangular tienen la siguiente expresión,
⃗
E=E
M
sin
(
π x '
a
)
e
− j β z '
̂ y '
⃗
H=−
E
M
Z
TE
sin
(
π x '
a
)
e
− j βz '
̂ x ' + j
E
M
η
f
c
f
cos
(
π x '
a
)
e
− j β z '
̂ z '
cuando la guía de onda tiene la siguiente orientación
Las coordenadas primadas indican que son las coordenadas de referencia para las que tenemos las
expresiones de los campos deducidas en la teoría.
Ese no es el caso en el problema que nos ocupa, por lo tanto hay que realizar una transformación de
coordenadas para obtener las expresiones correctas de los campos eléctrico y magnético.
Guía A: La guía A está orientada de la siguiente forma,
La relación entre las coordenadas de la guía A y las coordenadas de referencia (primadas) es la
siguiente,
x ' = y +a , y '=x , z '=−z
x'
y'
z'
y
x
z
̂x '= ̂z , ̂y ' = ̂x , ̂z '= ̂y
Utilizando estas seis ecuaciones, podemos hacer la transformación de coordenadas para la guía A.
⃗
E
B
=E
MB
sin
(
π x '
a
)
e
− j βz '
̂ y '
⃗
E
B
=E
MB
sin
(
π (z+
a
2
)
a
)
e
− jβ y
̂ x
⃗
E
B
=E
MB
sin
(
π z
a
π
2
)
e
− jβ y
̂ x
⃗
E
B
=E
MB
cos
(
π z
a
)
e
− j β y
̂ x
⃗
H
B
=−
E
MB
Z
TE
sin
(
π x '
a
)
e
− jβ z '
̂ x '+ j
E
MB
η
f
c
f
cos
(
π x '
a
)
e
− jβ z '
̂ z '
⃗
H
B
=−
E
MB
Z
TE
sin
(
π(z +
a
2
)
a
)
e
− j β y
̂ z+ j
E
MB
η
f
c
f
cos
(
π ( z+
a
2
)
a
)
e
− j β y
̂ y
⃗
H
B
=−
E
MB
Z
TE
sin
(
π z
a
π
2
)
e
− j β y
̂ z+ j
E
MB
η
f
c
f
cos
(
π z
a
π
2
)
e
− j β y
̂ y
⃗
H
B
=−
E
MB
Z
TE
cos
(
π z
a
)
e
− j β y
̂ z− j
E
MB
η
f
c
f
sin
(
π z
a
)
e
− jβ y
̂ y
Obtenemos ahora los parámetros de la guía A.
Z
TE
=
η
√
( 1 −
f
c
f
2
)
=
120 π
√
( 1 −
(
2,
4
)
2
)
=482,94 Ω
Del dato de la potencia podemos obtener,
P
T
=
∣E
MA
∣
2
4 Z
TE
ab →∣E
MA
∣=
√
4 P
T
Z
TE
ab
=
√
4 · 0,001 · 482,
0,06 · 0,
=32,76 V /m
Calculamos ahora ahora la fase de E
MA
a partir de la información temporal de la señal.
⃗
E( x=0,01, y=−0,03 , z=0,1 , t= 0 )= 0
⃗
E( x=0,01, y=−0,03 , z=0,1 , t= 0 )=ℜ[
⃗
E e
j ω t
]=ℜ
[
−∣E
MA
∣e
j φ MA
sin(
π y
a
)e
j β z
̂ x e
j ω t
]
siendo β=k
√
1 −
f
c
f
2
=
ω
c √
1 −
f
c
f
2
=
2 π · 4 · 10
9
3 · 10
8
√
1 −
(
2,
4
)
2
=65,40rad /m
⃗
E( x=0,01, y=−0,03 , z=0,1 , t= 0 )=−∣E
MA
∣sin(
π y
a
) cos(φ
MA
+β z+ ω t)
Para que el campo se anule cos(φ
MA
+β z+ω t)= 0 , con lo que φ
MA
+β z+ ω t=
π
2
.
Despejando
φ
MA
=
π
2
−β z −ω t=
π
2
−65,40 · 0,1=−4,97 rad=1,31rad
A partir de la relación de onda estacionaria podemos obtener los valores de
∣ρ∣ y
∣τ∣ .
ROE=
1 +∣ρ∣
1 −∣ρ∣
→∣ρ∣=
ROE− 1
ROE+ 1
=
1,4− 1
1,4 + 1
=
0,
2,
=
1
6
∣τ∣= √
1 −∣ρ∣
2
=
√
1 −
1
6
2
=0,
Utilizando la información de fase dada en el enunciado, los coeficientes ρ y
τ quedan
entonces,
ρ=
E
A
−
(z=6cm , y=−3cm)
E
A
(z=6cm , y=−3cm)
=0,167 e
j
π
4
, τ=
E
B
( y=3cm , z=0cm)
E
A
( z=6cm , y=−3cm)
=0,986 e
j
π
3
La expresiones del campo eléctrico incidente, reflejado y transmitido son,
⃗
E
A
i
=−E
MA
sin
(
π y
a
)
e
j βz
̂ x
⃗
E
A
r
=−E
MA
−
sin
(
π y
a
)
e
− j βz
̂ x
⃗
E
B
t
=E
MB
cos
(
π z
a
)
e
− j β y
̂ x
Utilizando la expresión del coeficiente de reflexión podemos obtener E
MA
−
,
ρ=
E
A
−
(z=6cm , y=−3cm)
E
A
(z=6cm , y=−3cm)
=
−E
MA
−
sin
(
−
π
2
)
e
− j β0,
−E
MA
sin
(
−
π
2
)
e
jβ 0,
=
E
MA
−
E
MA
e
− j β0,
E
MA
−
=E
MA
ρ e
jβ 0,
Utilizando la expresión del coeficiente de transmisión podemos obtener E
MB
,
τ=
E
B
( y=3cm , z=0cm)
E
A
(z=6cm , y=−3cm)
=
E
MB
cos
( 0
) e
− j β0,
−E
MA
sin
(
−
π
2
)
e
j β0,
=
E
MB
E
MA
e
− j β0,
Problema 4. Una señal de 7 GHz se propaga por una guía rectangular normalizada de dimensiones
a=19,05 mm , b=9,525 mm
. Las paredes de la guía son de cobre con una conductividad
σ=5,8 · 10
7
S/m. La guía está rellena de un material dieléctrico con tangente de pérdidas
tgδ= 3 · 10
− 4
. Sabiendo que la distancia entre nulos de campo eléctrico a lo largo de la guía para
el modo fundamental es de 1,88 cm,
a) Calcular la parte real de la permitividad del dieléctrico que rellena la guía.
b) Calcular para el modo fundamental los siguientes parámetros: frecuencia de corte, constante de
fase, impedancia del modo TE, y las constantes de atenuación debidas a las pérdidas en el
dieléctrico y en el conductor.
c) Obtener las expresiones de campo eléctrico y magnético en la guía para el modo fundamental,
sabiendo que la potencia que transporta dicho modo en
z= 0 es de 2 mW. Tome la referencia de
fase que considere más sencilla.
d) Al final de esta guía, que tiene 75,33 mm de longitud, se coloca una guía de las mismas
dimensiones con un dieléctrico sin pérdidas con ϵ
r
=1,59. Calcular la amplitud total (onda
incidente más reflejada) del campo eléctrico al principio de la primera guía ( z=0, x=a / 2 ) para
el modo fundamental.
Solución
a) El dato clave para resolver este apartado es la distancia entre nulos de campo eléctrico a lo largo
de la guía, que viene dada para el modo fundamental. Esta distancia equivale a la mitad de la
longitud de onda de la guía. La longitud de onda de la guía depende de la velocidad de la onda
electromagnética en el medio guiado, y por tanto de la permitividad dieléctrica del mismo. Por
claridad ofreceremos el resultado utilizando la permitividad dieléctrica relativa.
λ
g
2
=1,88· 10
− 2
=0,0376 m
λ
g
=
λ
1 −
f
c
f
2
=
c
f
1 −
c
2 a f
2
=
1
f
2
c
2
−
1
2 a
2
=
1
f
2
ϵ
r
c
0
2
−
1
2 a
2
→
f
2
ϵ
r
c
0
2
−
1
4 a
2
=
1
λ
g
2
ϵ
r
=
c
0
2
f
2
1
λ
g
2
1
4 a
2
=2,
b) Calculamos los distintos parámetros,
f
c
=
c
2 a
=4,917 GHz
β=
2 π
λ
g
=167,106 rad /m
Z
TE
=
η
1 −
f
c
f
2
=
η
0
√
ϵ
r
1
1 −
f
c
f
2
=330,75 Ω
α
d
=
ω √
μ ϵtg δ
2
√
1 −
f
c
f
2
=
ω √
ϵ
r
tg δ
2 c
0
√
1 −
f
c
f
2
=
π f √
ϵ
r
tg δ
c
0
√
1 −
f
c
f
2
=0,04946 Np/m
α
c
=
R
s
b η
1 + 2
b
a
f
c
f
2
√
1 −
f
c
f
2
=0,02042 Np/m siendo R
s
=
π f μ
σ
=0,02183 Ω
α=α
d
+α
c
=0,06988 Np/ m
c) Solamente se propaga el modo fundamental. Dada la disposición de los ejes podemos utilizar las
expresiones por defecto para los campos eléctrico y magnético.
⃗
E=E
M
sen
π x
a
e
− jβ z
e
−α z
̂ y
⃗
H=−
E
M
Z
TE
sen
π x
a
e
− j β z
e
−α z
̂ x+ j
E
M
η
f
c
f
cos
π x
a
e
− j βz
e
−α z
̂ z
Conocemos todos los parámetros de estas expresiones excepto E
M
, que podemos obtener a partir
del dato de potencia.
P=
∣E
M
∣
2
4 Z
TE
ab e
− 2 α z
→∣E
M
∣=
√
4 Z
TE
P
a b
e
2 α z
=120,76V /m
Como nos dan libertad para escoger la fase, elegimos la opción más sencilla,
E
M
=∣E
M
∣=120,76V /m
d) La amplitud total de la onda en la guía 1 viene dada por,
E
1
=E
1
1
=E
M
sen
π x
a
e
− jβ
1
z
+ρ E
M
sen
π x
a
e
j β
1
z
En z=0, x=a / 2 ,
E
1
=E
1
1
=E
M
sen
π
2
e
− j β
1
0
+ρ E
M
sen
π
2
e
j β
1
0
=E
M
+ρ E
M
=E
M
( 1 +ρ)
Así que obteniendo el coeficiente de reflexión tenemos resuelto el apartado. Para encontrar el
coeficiente de reflexión aplicamos las condiciones de contorno.
Para el campo eléctrico, en z=L=0,07533 m , las expresiones de la onda incidente, reflejada y
transmitida son respectivamente,
⃗
E
1i
=E
M
sen
π x
a
e
− j β 1
z
̂ y
Despejando el coeficiente de reflexión,
ρ=
Z
TE
−Z
TE
Z
TE
+Z
TE
=
1
3
Con lo que la amplitud total de la onda viene dada por,
E
1
=E
M
( 1 +ρ)= 120
(
1 +
1
3
)
=161,01 V /m
