¡Descarga Control 1 Biologia y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Matem`atiques I. Biologia. Control I. Q¨uestions.
- Resoleu l’equaci´o malthusiana xn+1 = 2. 5 xn amb condici´o inicial x 0 = 3.
xn = 3 · 2. 5 n
- Quin ´es l’argument del nombre complex −3 + 5i (en radians i 2 xifres decimals)? Per si us cal algun d’aquests valors, arctan(− 3 /5) = − 0. 54 i arctan(− 5 /3) = − 1. 03.
- Es 2 valor propi de la matriu´ A =
? Per qu`e?
No, perqu`e
∣ = 4^6 = 0.
- Quina ´es la soluci´o general d’una equaci´o en diferencies lineal homogenia, si les arrels del seu polinomi caracter´ıstic s´on − 1 , − 1 , 2 , 2 , 2?
(a + bn)(−1)n^ + (c + dn + en^2 )2n
- Resoleu l’equaci´o malthusiana xn+1 = 3. 5 xn amb condici´o inicial x 0 = 2.
xn = 2 · 3. 5 n
- Quin ´es l’argument del nombre complex −7 + 5i (en radians i 2 xifres decimals)? Per si us cal algun d’aquests valors, arctan(− 7 /5) = − 0. 95 i arctan(− 5 /7) = − 0. 62.
- Es 3 valor propi de la matriu´ A =
? Per qu`e?
S´ı, perqu`e
- Quina ´es la soluci´o general d’una equaci´o en diferencies lineal homogenia, si les arrels del seu polinomi caracter´ıstic s´on − 2 , 2 , 2 , 3 , 3?
a(−2) + (b + cn)2n^ + (d + en)3n
- Resoleu l’equaci´o malthusiana xn+1 = 3xn amb condici´o inicial x 0 = 2. 5.
xn = 2. 5 · 3 n
- Quin ´es l’argument del nombre complex −7 + 3i (en radians i 2 xifres decimals)? Per si us cal algun d’aquests valors, arctan(− 7 /3) = − 1. 17 i arctan(− 3 /7) = − 0. 4.
- 74
- Es 5 valor propi de la matriu´ A =
? Per qu`e?
S´ı, perqu`e
- Quina ´es la soluci´o general d’una equaci´o en diferencies lineal homogenia, si les arrels del seu polinomi caracter´ıstic s´on − 2 , − 2 , 2 , 2 , 4?
(a + bn)(−2)n^ + (c + dn)2n^ + e · 4 n
- Resoleu l’equaci´o malthusiana xn+1 = 4. 5 xn amb condici´o inicial x 0 = 2. 5.
xn = 2. 5 · 4. 5 n
- Quin ´es l’argument del nombre complex −4 + 3i (en radians i 2 xifres decimals)? Per si us cal algun d’aquests valors, arctan(− 4 /3) = − 0. 93 i arctan(− 3 /4) = − 0. 64.
- 5
- Es 4 valor propi de la matriu´ A =
? Per qu`e?
No, perqu`e
∣ =^ −^1 6 = 0
- Quina ´es la soluci´o general d’una equaci´o en diferencies lineal homogenia, si les arrels del seu polinomi caracter´ıstic s´on − 3 , − 3 , − 3 , 3 , 4 , 4?
(a + bn + cn^2 )(−3)n^ + d · 3 n^ + (e + f n)4n
- Resoleu l’equaci´o malthusiana xn+1 = 4xn amb condici´o inicial x 0 = 1. 5.
xn = 1. 5 · 4 n
- Quin ´es l’argument del nombre complex −4 + 5i (en radians i 2 xifres decimals)? Per si us cal algun d’aquests valors, arctan(− 4 /5) = − 0. 67 i arctan(− 5 /4) = − 0. 89.
- 25
- Es´ − 2 valor propi de la matriu A =
? Per qu`e?
S´ı, perqu`e
- Quina ´es la soluci´o general d’una equaci´o en diferencies lineal homogenia, si les arrels del seu polinomi caracter´ıstic s´on − 4 , − 4 , 2 , 2 , 4?
(a + bn)(−4)n^ + (c + dn)2n^ + e · 4 n
- Un model molt simple de l’evoluci´o dels espais buits en un cert bosc suposa que diferents perturbacions (vent, foc, etc.) fan que, cada any, un 8% de la zona poblada per arbres l’any anterior esdevengui clarianes. D’altra banda, la repoblaci´o natural del bosc fa que cada any un 12% de la superf´ıcie de clarianes que hi havia l’any anterior es repobli, i esdevingui zona poblada d’arbres.
Diguem xn a la superf´ıcie de bosc poblada per arbres l’any que fa n, i yn a la superf´ıcie de clarianes l’any que fa n. Suposem, per fixar idees, que x 0 = 7. 5 i y 0 = 2. 5 , en tots dos casos km^2.
- Trobau la matriu M tal que (^) ( xn+ yn+
= M ·
xn yn
Justificau la vostra resposta.
Si l’any que fa n ls superf´ıcie poblada ´es xn i la de clarianes ´es yn, aleshores l’any que fa n + 1
- La superf´ıcie poblada ser`a el 92% de la superf´ıcie poblada l’any anterior m´es el 12% de la superf´ıcie de clarianes de l’any anterior: xn+1 = 0. 92 xn + 0. 12 yn
- La superf´ıcie de clarianes ser`a el 8% de la superf´ıcie poblada l’any anterior m´es el 88% de la superf´ıcie de clarianes de l’any anterior: yn+1 = 0. 08 xn + 0. 88 yn
Aix`o d´ona el sistema d’equacions
xn+1 = 0. 92 xn + 0. 12 yn yn+1 = 0. 08 xn + 0. 88 yn
que escrit en forma matricial correspon a ( xn+ yn+
xn yn
Per tant,
M =
- Trobau una expressi´o per a M n, per a tot n. El polinomi caracter´ıstic de M ´es ∣ ∣ ∣ ∣
- 92 − x 0. 12
- 08 0. 88 − x
∣ =^ x
(^2) − 1. 8 x + 0. 8
i les arrels d’aquest s´on 1 i 0.8. Per tant, M ´es diagonalitzable. Calculem els vectors propis.
Per al vector propi de valor propi 1: (
- 92 0. 12
- 08 0. 88
x y
x y
− 0. 08 x + 0. 12 y = 0
- 08 x − 0. 12 y = 0
⇐⇒ x =
y = 1. 5 y
i per tant un vector propi de valor propi 1 ´es (1. 5 , 1)t.
Per al vector propi de valor propi 0.8: (
- 92 0. 12
- 08 0. 88
x y
x y
- 12 x + 0. 12 y = 0
- 08 x + 0. 08 y = 0
⇐⇒ y = −x
i per tant un vector propi de valor propi 0.8 ´es (1, −1)t.
D’aqu´ı obtenim la descomposici´o en valors propis de M (
- 92 0. 12
- 08 0. 88
on (^) (
- 5 1 1 − 1
Aleshores les pot`encies de M s´on donades per (
- 92 0. 12
- 08 0. 88
)n
)n ·
0 0. 8 n
- Trobau expressions per a xn i yn, per a tot n ≥ 0 , a partir de les condicions inicials donades.
( xn yn
)n ·
x 0 y 0
0 0. 8 n
15 + 3. 75 · 0. 8 n 10 − 3. 75 · 0. 8 n
Per tant xn = 6 + 1. 5 · 0. 8 n yn = 4 − 1. 5 · 0. 8 n
- Calculau la fracci´o de zona poblada per arbres que tendeix a haver-hi en aquesta bosc. La superf´ıcie total ´es
xn + yn = (6 + 1. 5 · 0. 8 n) + (4 − 1. 5 · 0. 8 n) = 10
i per tant
lim n→∞
xn xn + yn
= lim n→∞
6 + 1. 5 · 0. 8 n 10
La superf´ıcie poblada tendeix a ser un 60% de la superf´ıcie total.
Per culpa de l’encalentiment global, les poblacions d’una certa subespecie de dragons (Sceloporus serrifer cyanogenys) estan en perill de desapareixer de les zones baixes de les montanyes prop de Ciutat de M`exic. En un estudi recent, s’ha observat que la poblaci´o d’una zona concreta ha minvat un 24% en 15 anys. Enguany (2010) s’han comptat en aquesta zona uns 1800 individus. Donau aquestes dues dades com a exactes.
Suposem que aquesta poblaci´o ha minvat un percentatge constant p anual durant aquest per´ıode. Calculau el valor de p arrodonint a 1 xifra decimal.
D’una banda, x 15 = x 0 − 0. 24 x 0 = 0. 76 x 0 i de l’altra x 15 = (1 − 100 p )^15 x 0. Igualant:
- 76 x 0 =
p 100
x 0 ⇒ 0 .76 =
p 100
⇒ p = 100(1 − 0. 761 /^15 ) ≈ 1. 8
Suposem ara que per mirar de preservar aquesta poblaci´o concreta, es planeja aportar-hi, a partir de l’any que ve, una certa quantitat constant anual A d’individus capturats en altres poblacions o criats en captivitat. Diguem xn al nombre de dragons que hi hauria en aquesta poblaci´o d’aqu´ı a n anys si la poblaci´o segueix decreixent el percentatge anual p% trobat a l’apartat anterior i s’hi afegeixen A individus anuals. Per fixar idees, comptam els dragons just despr´es d’amollar els A dragons nous.
- Donau una equaci´o malthusiana que satisfaci la successi´o (xn)n. Explicau breument com l’heu obtin- guda. Resoleu-la amb la condici´o inicial per a 2010 donada.
D’una banda, la poblaci´o disminueix un 1.8% anual, i de l’altra hi afegim A exemplars anuals. Aix`o es tradueix en l’equaci´o xn+1 = xn − 0. 018 xn + A = 0. 982 xn + A
La soluci´o amb condici´o inicial x 0 = 1800 ´es
xn = 0. 982 n
A
A
- Trobau una expressi´o per a M n, per a tot n. El polinomi caracter´ıstic de M ´es ∣ ∣ ∣ ∣
- 88 − x 0. 18
- 12 0. 82 − x
∣ =^ x
(^2) − 1. 7 x + 0. 7
i les arrels d’aquest s´on 1 i 0.7. Per tant, M ´es diagonalitzable. Calculem els vectors propis.
Per al vector propi de valor propi 1: (
- 88 0. 18
- 12 0. 82
x y
x y
− 0. 12 x + 0. 18 y = 0
- 12 x − 0. 18 y = 0
⇐⇒ x =
y = 1. 5 y
i per tant un vector propi de valor propi 1 ´es (1. 5 , 1)t.
Per al vector propi de valor propi 0.7: (
- 88 0. 18
- 12 0. 82
x y
x y
- 18 x + 0. 18 y = 0
- 12 x + 0. 12 y = 0
⇐⇒ y = −x
i per tant un vector propi de valor propi 0.7 ´es (1, −1)t.
D’aqu´ı obtenim la descomposici´o en valors propis de M (
- 88 0. 18
- 12 0. 82
on (^) (
- 5 1 1 − 1
Aleshores les pot`encies de M s´on donades per
(
- 88 0. 18
- 12 0. 82
)n
)n ·
0 0. 7 n
- Trobau expressions per a xn i yn, per a tot n ≥ 0 , a partir de les condicions inicials donades. ( xn yn
)n ·
x 0 y 0
0 0. 7 n
15 + 2. 5 · 0. 7 n 10 − 2. 5 · 0. 7 n
Per tant xn = 6 + 10 · 0. 7 n
yn = 4 − 10 · 0. 7 n
- Calculau la fracci´o de zona poblada per arbres que tendeix a haver-hi en aquesta bosc. La superf´ıcie total ´es
xn + yn = (6 + 10 · 0. 7 n) + (4 − 10 · 0. 7 n) = 10
i per tant
lim n→∞
xn xn + yn
= lim n→∞
6 + 10 · 0. 7 n 10
La superf´ıcie poblada tendeix a ser un 60% de la superf´ıcie total.
Per culpa de l’encalentiment global, les poblacions d’una certa subespecie de dragons (Sceloporus serrifer cyanogenys) estan en perill de desapareixer de les zones baixes de les montanyes prop de Ciutat de M`exic. En un estudi recent, s’ha observat que la poblaci´o d’una zona concreta ha minvat un 31% en 15 anys. Enguany (2010) s’han comptat en aquesta zona uns 1200 individus. Donau aquestes dues dades com a exactes.
Suposem que aquesta poblaci´o ha minvat un percentatge constant p anual durant aquest per´ıode. Calculau el valor de p arrodonint a 1 xifra decimal.
D’una banda, x 15 = x 0 − 0. 31 x 0 = 0. 69 x 0 i de l’altra x 15 = (1 − 100 p )^15 x 0. Igualant:
- 69 x 0 =
p 100
x 0 ⇒ 0 .69 =
p 100
⇒ p = 100(1 − 0. 691 /^15 ) ≈ 2. 4
Suposem ara que per mirar de preservar aquesta poblaci´o concreta, es planeja aportar-hi, a partir de l’any que ve, una certa quantitat constant anual A d’individus capturats en altres poblacions o criats en captivitat. Diguem xn al nombre de dragons que hi hauria en aquesta poblaci´o d’aqu´ı a n anys si la poblaci´o segueix decreixent el percentatge anual p% trobat a l’apartat anterior i s’hi afegeixen A individus anuals. Per fixar idees, comptam els dragons just despr´es d’amollar els A dragons nous.
- Donau una equaci´o malthusiana que satisfaci la successi´o (xn)n. Explicau breument com l’heu obtin- guda. Resoleu-la amb la condici´o inicial per a 2010 donada.
D’una banda, la poblaci´o disminueix un 2.4% anual, i de l’altra hi afegim A exemplars anuals. Aix`o es tradueix en l’equaci´o xn+1 = xn − 0. 024 xn + A = 0. 976 xn + A
La soluci´o amb condici´o inicial x 0 = 1200 ´es
xn = 0. 976 n
A
A
- Hi ha qualque valor de A per al qual lim n→∞ xn = ∞?
No, perqu`e lim n→∞ xn =
A
i aix`o sempre ´es un nombre real.
- Suposem que s’afegeixen 75 dragons anuals. Quin any, si existeix, hi haur`a m´es de 2500 dragons en aquesta poblaci´o?
En aquest cas, A = 75 i per tant
xn = 0. 976 n
= − 1925 · 0. 976 n^ + 3125.
Imposem que xn ≥ 2500 i operem:
− 1925 · 0. 976 n^ + 3125 ≥ 2500
− 1925 · 0. 976 n^ ≥ − 625 1925 · 0. 976 n^ ≤ 625
- 976 n^ ≤
n ≥
log(625/1925) log(0.976)
El primer nombre natural n que satisfa aquesta propietat ´es n = 47. Per tant, l’any 2057 sera el primer any que hi haur`a m´es de 2500 dragons.
- Un model molt simple de l’evoluci´o dels espais buits en un cert bosc suposa que diferents perturbacions (vent, foc, etc.) fan que, cada any, un 15% de la zona poblada per arbres l’any anterior esdevengui clarianes.
Aleshores les pot`encies de M s´on donades per
(
- 85 0. 21
- 15 0. 79
)n
)n ·
0 0. 64 n
- Trobau expressions per a xn i yn, per a tot n ≥ 0 , a partir de les condicions inicials donades.
( xn yn
)n ·
x 0 y 0
0 0. 64 n
14 + 5. 2 · 0. 64 n 10 − 5. 2 · 0. 64 n
Per tant
xn =
(14 + 5. 2 · 0. 64 n)
yn =
(10 − 5. 2 · 0. 64 n)
- Calculau la fracci´o de zona poblada per arbres que tendeix a haver-hi en aquesta bosc. La superf´ıcie total ´es
xn + yn =
(14 + 5. 2 · 0. 64 n) +
(10 − 5. 2 · 0. 64 n) = 10
i per tant
lim n→∞
xn xn + yn
= lim n→∞
1
- 4 (14 + 5.^2 ·^0.^64
n) 10
La superf´ıcie poblada tendeix a ser un 58.3% de la superf´ıcie total.
