¡Descarga treball mates1 y más Guías, Proyectos, Investigaciones en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Matemàtiques I. Entrega de Casa 1 1r Graus de Biologia i Bioquímica. Curs 16-
- Científics de la NASA afirmaren el 2005^1 que el gel àrtic perenne^2 havia minvat de l’any 2004 al 2005 un 14%, en total uns 720 000 km^2. Suposem que aquest percentatge de decreixement anual es manté constant. Diguem xn a la superfície xn de gel àrtic perenne que hi haurà passats n anys a partir de 2004.
a) Quina era la superfície de gel àrtic perenne l’any 2004? (0.25 punts) Com que 0. 14 · x 0 = 720000, simplement aïllant s’obté x 0 = 5142857 km^2.
b) Donau una equació malthusiana que sigui satisfeta per la successió (xn)n. Justificau l’equació breument. (0.5 punts) Sabem que la superfície de gel àrtic perenne a l’any n + 1 serà la que teníem a l’any anterior xn menys el 14% de la que teníem. Això fa que
xn+1 = xn −
xn = 0. 86 xn.
c) Què val xn, per a cada n > 0? (0.5 punts) La solució és xn = 0. 86 n^ · x 0 = 5142857 · 0. 86 n.
d) Quina superfície de gel àrtic perenne hi haurà l’any 2020, segons aquest model? (0.25 punts) Com que de 2004 a 2020 van 16 anys, hem de calcular x 16 = 460447 km^2.
e) Quin percentatge davalla aquesta superfície en 10 anys? (0.5 punts) Com que el percentatge que roman de superfície en 10 anys ve donat per 100 · q^10 = 100 · 0. 8610 , el percentatge que davalla aquesta superfície en 10 anys vendrà donat per 100 − 100 · 0. 8610 = 77.87%.
f ) Quants anys triga aquesta superfície a reduir-se a una cinquena part? (0.5 punts) Ens demanen trobar el primer n tal que xn 6 x 50.
xn 6 x 50 5142857 · 0. 86 n^6
- 86 n^6 n · log (0.86) 6 log (0.2) n > (^) log (0log (0..86)2) = 10. 671
Per tant, trigarà 11 anys a reduir-se a una cinquena part.
g) Quin any quedaria menys d’1 km^2 de gel àrtic perenne? (0.5 punts) Ens demanen trobar el primer n tal que xn 6 1.
xn 6 1 5142857 · 0. 86 n^6
- 86 n^6 n · log (0.86) 6 log
5142857
n > log ( 51428571 ) log (0.86) = 102.^459
Per tant, trigarà 103 anys a quedar menys d’1 km^2 de gel àrtic perenne el que correspon a l’any 2004+103 =
- Un estudiant ha demanat aquest any un crèdit de 45000 Euros per cursar un màster en una universitat nord-americana. L’hi han concedit amb un interès anual del 2.5%. L’estudiant es compromet a pagar una anualitat fixa de A Euros, en vèncer els aniversaris de la concessió del crèdit. Diguem xn al deute de l’estudiant
(^1) http://www.nasa.gov/vision/earth/environment/quikscat-20060913.html (^2) S’entén per gel perenne aquell que sobreviu com a mínim un any complet.
al cap de n anys. Per calcular-lo, primer se sumen els interessos del que deu, que s’han generat durant l’any, després es resta l’anualitat que paga.
a) Donau una equació malthusiana que descrigui l’evolució de la successió (xn)n. Explicau breument com l’heu obtinguda. (1 punt)
Si l’any que fa n el deute és xn, a l’any següent deurà un 2.5% més i pagarà A Euros (reduint el deute). Això dóna l’equació xn+1 = xn + 0. 025 xn − A = 1. 025 xn − A.
b) Resoleu-la, i donau una expressió del deute xn en funció de n i A. (0.75 punts) La solució és
xn = 1. 025 n
−A
−A
= 1. 025 n
A
A
c) Si l’estudiant paga una quota anual de 900 Euros, arribarà l’estudiant a quedar lliure del deute? Entendrem que això passa quan xn 6 0 , moment en el qual el model deixa de ser vàlid, naturalment. En cas afirmatiu, quin any quedaria lliure? (0.75 punts)
En aquest cas, A = 900, i per tant
xn = 1. 025 n
= 9000 · 1. 025 n^ + 36000.
Això sempre és estrictament positiu. Aleshores amb aquesta quota anual no arribaria a eixugar mai tot el deute.
d) Quina és l’anualitat mínima (en un nombre enter d’Euros) que ha de pagar per quedar lliure del deute en 8 anys? (1 punt)
En aquest cas ens demanen A per què x 8 6 0 :
- 0258
A
A
1. 0258 (45000 · 0. 025 − A) + A 6 0
A(1 − 1. 0258 ) 6 − 1. 0258 · 45000 · 0. 025
A >
El més petit nombre enter d’Euros més gran que 6276.031 és 6277, i per tant aquesta és l’anualitat mínima demanada.
- Un estudiant s’ha fet mal en un genoll, i el metge li ha receptat antiinflamatoris. Ha de prendre 2 pastilles de 220 mg cada 8 hores durant 10 dies. Suposem que els seus ronyons filtren un 65% de la quantitat de medicina present a la sang cada 8 hores, i, per simplificar, que la medicina passa a la sang immediatament després d’haver-la presa. Diguem xn a la quantitat de medicina que roman a la sang immediatament després de la presa que fa n + 1, és a dir, després de 8 n hores d’haver començat el tractament.
a) Donau una equació malthusiana que satisfaci la successió (xn)n. Explicau-la breument. (0.75punts) La quantitat de medicina que roman a la sang immediatament després de la presa que fa n + 2, és a dir, xn+1, correspon a la que hi havia després de la presa que feia n + 1 que era xn menys el 65% filtrat de xn més els 2 · 220 = 440 mg que s’ingereixen amb les noves dues pastilles. Això correspon a:
xn+1 = xn −
xn + 440 = 0. 35 xn + 440.
b) Determinau el valor de xn, per a cada n > 0. (0.75 punts) La solució d’aquesta equació malthusiana amb immigració constant on x 0 = 440 (la quantitat de medi- cina presa en la primera presa) és
xn = 0. 35 n^ ·
= 0. 35 n^ ·
= − 236. 9231 · 0. 35 n^ + 676. 9231.
