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Taller I de Matem´aticas I
1r Grados de Biolog´ıa y Bioqu´ımica
Ejercicio 1. En el libro La amezana de Andr´omeda, M.Crichton explica “En circunstancias ideales, una c´elula de E. Coli se divide en dos cada veinte minutos. De esta manera se puede comprobar que en un solo d´ıa, una c´elula de E.Coli podr´ıa producir una supercolonia que pesase lo mismo que el planeta Tierra entero.” Teniendo en cuenta que la masa de una c´elula de E. Coli es aproximadamente 10−^15 Kg y que la masa de la Tierra es aproximadamente de 5. 9768 × 1024 Kg, determinad si bajo las condiciones ideales supuestas por M. Crichton, su afirmaci´on (que una sola c´elula de E. Coli puede dar lugar en un d´ıa a una colonia del peso de la Tierra) es correcta o no. En caso de no serlo, determinad cu´anto tiempo tardar´ıa en producirse esta supercolonia. Ten´eis que dar la ecuaci´on malthusiana y explicarla brevemente. (3 puntos)
Soluci´on. Sea xn el n´umero de bacterias de E. coli en el intervalo n-´esimo de 20 minutos. Como una c´elula de E. coli se divide en 2 cada 20 minutos, la ecuaci´on malthusiana ser´ıa:
xn+1 = 2xn
y su soluci´on ser´ıa xn = 2nx 0 Luego, en una hora hay 3 intervalos de 20 minutos, por lo que en 1 d´ıa habr´ıan 72 intervalos de 20 minutos. Entonces, suponiendo x 0 = 1, tendr´ıamos el siguiente n´umero de bacterias:
x 72 = 2^72 = 4. 7222366 · 1021
Si la masa de cada E. coli es 10 −^15 Kg, entonces la masa de toda la colonia en un d´ıa ser´ıa:
- 7222366 · 1021 · 10 −^15 = 4722366Kg
Lo cual es menor a la masa de la Tierra, por lo tanto, la afirmaci´on de Crichton no es correcta.
Finalmente, para calcular el tiempo que tardar´ıa en producirse una super colonia del peso de la Tierra usamos:
xn ≥
10 −^15
Luego, xn = 2n^ ≥ 5. 9768 · 1039 ⇒ n log(2) ≥ 39 + log(5.9768) ⇒ n ≥ 132. 1346 Entonces, n = 133 periodos de 20 minutos que corresponden a 44 horas y 20 minutos.
Ejercicio 2. Seg´un el estudio realizado por la ONG Elephant Family, la poblaci´on de elefantes asi´aticos en una regi´on de Vietnam se encuentra en peligro de extinci´on. Se estima que en los ultimos 100 a˜´ nos se ha perdido el 90% de la poblaci´on.
a) Considerando que la poblaci´on decrece un porcentaje constante cada a˜no, ¿qu´e porcentaje decrece cada a˜no? Ten´eis que dar la ecuaci´on malthusiana y explicarla brevemente. Dad el resultado redondeado a una cifra decimal y utilizad este valor para el resto de apartados. (1 punto)
b) ¿Qu´e porcentaje decrece cada 10 a˜nos? (1 punto) c) Se estima que la poblaci´on actual de elefantes asi´aticos es de 5000, sabiendo esto ¿cu´antos elefantes hab´ıa hace 100 a˜nos? (0.5 puntos)
d) Entenderemos que una especie se extingue cuando el n´umero de individuos es menor que 1. A este ritmo ¿en qu´e a˜no se extinguir´a la especie? (1 punto)
e) Para evitar la extinci´on de la especie, se introducen 150 elefantes anuales procedentes de un parque natural de Tailandia. Teniendo en cuenta este dato y suponiendo el mismo decrecimiento natural calculado en el apartado (a), ¿cu´al ser´a la poblaci´on de elefantes en esta regi´on de Vietnam dentro de 10 a˜nos? Ten´eis que dar la ecuaci´on malthusiana y explicarla brevemente. (1.5 punto)
f ) Con este ritmo de repoblaci´on de elefantes, ¿se llegar´a a recuperar la poblaci´on de elefantes que hab´ıa hace 100 a˜nos? En caso afirmativo ¿en qu´e a˜no se recuperar´a? (1 punto)
Soluci´on. Sea x 0 la poblaci´on de elefantes de Vietnam hace 100 a˜nos y sea xn el n´umero de elefantes en Vietnam n a˜nos despu´es.
a) De acuerdo al enunciado, x 100 = 0. 1 x 0. Sabemos que la poblaci´on de elefantes en el a˜no n + 1 ser´a igual a la poblaci´on de elefantes del a˜no n menos el p% de la poblaci´on de elefantes en el a˜no n. As´ı, tenemos que: xn+1 = xn −
p 100
xn =
p 100
xn.
La soluci´on de esta ecuaci´on malthusiana es
xn =
p 100
)n x 0.
Por lo tanto, dentro de 100 a˜nos x 100 =
p 100
x 0.
Resolviendo la igualdad
- 1 x 0 =
p 100
x 0
obtenemos que p = 2.3%. b)Sabemos que
x 10 =
x 0 = 0. 97710 x 0
La soluci´on de esta ecuaci´on ser´ıa:
xn = 0. 977 n
x 0 +
Arreglando la ecuaci´on,
xn = 0. 977 n^ · x 0 − 6521. 7 · 0. 977 n^ + 6521. 7
Como empezamos a introducir elefantes este a˜no, tenemos que x 0 = 5000. La poblaci´on dentro de 10 a˜nos ser´a
x 10 = 0. 97710 · 5000 − 6521. 7 · 0. 97710 + 6521. 7 ⇒ x 10 ≈ 5315
f) Buscamos n tal que xn ≥ 50000 entonces,
xn = 0. 977 n^ · 5000 − 6521. 7 · 0. 977 n^ + 6521. 7 ≥ 50000
− 1521. 7 · 0. 977 n^ + 6521. 7 ≥ 50000
- 977 n^ ≤ −
⇒ 0. 977 n^ ≤ − 28. 57
No existe ning´un valor de n que pueda hacer que 0. 977 n^ sea negativo. Concluimos que no vuelve a alcanzarse la poblaci´on inicial.
