¡Descarga Cálculo: Ejercicios de Distintos Exámenes - Prof. Gómez y más Apuntes en PDF de Cálculo solo en Docsity!
Grupo 3 28 de Octubre de 1998 Tiempo: 1h.15m. Justificad las respuestas y detallad los c´alculos
a) Definid la propiedad arquimediana en un cuerpo conmutativo totalmente ordenado y completo (por extremos). b) Demostrad que R cumple la propiedad arquimediana (se sugiere usar que N no est´a acotado en R).
- Calculad lim
ln(e^2 n^ + en^ + 1) n
- Sea la serie ∑
n≥ 1
2 n−^1 (1 + 2n)(1 + 2n−^1 )
a) Demostrad que es convergente. b) Obtened su suma (se sugiere descomponer en fracciones el t´ermino general).
Grupo 2 21 de Octubre de 1998 Tiempo: 1h.15m. Justificad las respuestas y detallad los c´alculos
a) Definid supremo e ´ınfimo de un subconjunto no vaco de R. Definid tambin comple- tud (por extremos). b) Demostrad que todo subconjunto no vaco de R acotado inferiormente tiene ´ınfimo.
- Si (xn) es la sucesion definida por xn+1 = 1 −
1 − xn, 0 < x 1 < 1, demostrad que a) Para todo n ≥ 1, 0 < xn < 1; b) La sucesi´on decrece; c) Calculad el lmite de (xn), en el caso de ser convergente.
- Estudiad, segn los valores de a 6 = 0, el car´acter de la serie
∑
n≥ 1
n^2 + 1 nan
Grupo 2 9 de Diciembre de 1998 Tiempo: 1h. 15m. Justificad las respuestas y detallad los c´alculos
a) Demostrad que para todo k natural se cumple
1 k + 1
< ln
k + 1 k
k
b) Dado N > 1, sea SN = 1 + 12 + 13 + 14 +... + (^) N^1. Demostrad que
ln N < SN < 1 + ln N
- Calculad
lim x→ 0
( tgx x
) 1 x^2
- Calculad a) P T (senh x, 0 , 2 n + 1) = T 2 n+1(senh x, 0) b) P T (cosh x, 0 , 2 n)
Grupo 4 10 de Diciembre de 1998 Tiempo: 1h. 15m. Justificad las respuestas y detallad los c´alculos
- Sea la funci´on f : R −→ R definida como f(x) = x + x^3 sen (^) x^12 si x 6 = 0 y f(0)=0. a) Es f derivable en 0?. En caso afirmativo calculad f′(0). b) Es f′^ continua en 0?
- Calculad
lim x→ 0
tg(x) − x sen^3 x
- Sean f(x) = tgh(x) y g(x) = f−^1 (x) = argtgh(x). a) Dad una expresi´on de g en t´erminos de otras funciones elementales. b) Calculad g′
Grupo 2 3 de Noviembre de 1997 Tiempo: 1h.15m. Justificad las respuestas y detallad los c´alculos
- Sean i y j dos irracionales positivos distintos. Probad que existe, al menos, un racional entre ellos.
- Calculad lim n
3 n^ + 2n
- Calculad
x→lim+∞
x − sin x x + sin x Compru´ebese que no se puede obtener aplicando l’Hˆopital.
Grupo 4 4 de Noviembre de 1997 Tiempo: 1h.15m. Justificad las respuestas y detallad los c´alculos
- Sean n y m dos naturales (que pueden ser iguales). Consid´erese la siguiente ase- veraci´on: Si
n +
m es irracional entonces
nm es irracional Si es verdadera probadla y si es falsa dad un contraejemplo.
- Calculad lim
n (n + 1)
n
- Usando el Teorema del Valor Medio demostrad que para todo k natural se cumple
1 k + 1
< ln
k + 1 k
k
Grupo 2 15 de Diciembre de 1997 Tiempo: 1h. 15m. Justificad las respuestas y detallad los c´alculos
- Calculad P T (xnarctg(x^2 ), 0 , 5 n + 2)
a) Dad dos funciones, f y g, que sean positivas y acotadas en su dominio: [0,1], tales que no sean integrables por Riemann en [0,1] cumplindose, adem´as, que
∫ (^1)
0
(f(x) + g(x)) dx = 1
b) Dad, si existen, dos funciones, f y g, que sean negativas y acotadas en su dominio: [-1,1], tales que no sean integrables por Riemann en [-1,1] cumpli´endose, adem´as, que
∫ (^1)
− 1
f(x)g(x) dx = 2
- Sea f(x) = (^) (x (^21) −1) a) Calculad (^) ∫ +∞ 2
f(x)dx
b) En el caso de ser convergente hallad ∫ (^2)
0
f(x)dx
Grupo 4 16 de Diciembre de 1997 Tiempo: 1h. 15m. Justificad las respuestas y detallad los c´alculos
- Sea f(x) = (xm^ + xm−^2 )
∫ (^) x 0 e
−y^2 dy, siendo m un natural mayor que 1. a) Calculad P T (f(x), 0 , 2 n + m + 1) b) Justificad si en un entorno de 0
f(x) = P T (f(x), 0 , 2 n + m + 1) + O(x^2 n+m+3)
- Sea f(x) = cos(ln x) a) Calculad (^) ∫ f(x)dx
b) En el caso de ser convergente hallad ∫ (^1)
0
f(x)dx
- Consid´erese la curva dada en polares
ρ = a sin^2
θ 2
para θ ∈ [0, 2 π], con a > 0. Calculad su longitud.
Grupo 2 11 de Noviembre de 1996 Tiempo: 1h. 20m. Justificad las respuestas y detallad los c´alculos
- Demostrad que tanto el conjunto de los racionales (Q) como el de los irracionales (J) no est´an acotado superiormente en R. (Empl´eese para la prueba el axioma del supremo.)
- Hallad
lim
( 1 n
n
)n
- Demostrad el Teorema del Valor Medio para una funci´on f. Para ello consid´erese la funci´on g(x) = f^ (b) b−−fa^ ( a)(x − a) − f(x) y util´ıcese el Teorema de Rolle. Aplicarlo para demostrar que para todo x > 0
x 1 + x^2
< arctgx < x
Grupo 4 15 de Noviembre de 1996 Tiempo: 1h. 20m. Justificad las respuestas y detallad los c´alculos
- Dar una condici´on necesaria y suficiente para que una funci´on sea derivable en un punto a (diferente de la definici´on) y demostrad que lo es.
- Calculad
lim (ln(cosh^2 n) − 2 n)
- Hallad los puntos de la curva
y =
(1 + x^2 )p
p > 0, en el que la tangente forme con el eje OX el ´angulo de mayor valor absoluto posible.
Ejercicios de otros ex´amenes
- Sean a y b dos reales positivos cualesquiera. Calculad
lim n
an^ + bn
- Hallad lim x→ 0 (cos(2x))^3 /x
2
(a) Obtened una ecuaci´on que relacione sinh 2x con sinh x i cosh x.
(b) Obteniu una equaci´o que relacioni cosh 2x amb sinh x i cosh x.
(c) Poned tanh 2x en funci´on de tanh x utilizando las constantes que sean necesarias.
- Calculad
n→lim+∞
( cos
α n
α n
)n
