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CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
Generadores
1. Una bobina de 200 vueltas posee un área de 4 cm
2
y gira en un campo magnético de 0,
T.
a) ¿Qué frecuencia debe poseer para generar una fem máxima de 10 V?
b) Si la bobina gira a 60 Hz, ¿Cuál será su máxima fem?
a) 𝜺
𝒎𝒂𝒙
= 𝑵 ∗ 𝑩 ∗ 𝑨 ∗ 𝝎 ; 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒇 =
𝜺
𝒎𝒂𝒙
𝑵∗𝑩∗𝑨
; 𝒇 =
𝜺
𝒎𝒂𝒙
𝑵∗𝑩∗𝑨∗𝟐∗𝝅
𝒇 =
𝟏𝟎
𝟐𝟎𝟎∗𝟎.𝟓∗𝟒∗𝟏𝟎
−𝟒
∗𝟐∗𝝅
= 𝟑𝟗, 𝟖 𝑯𝒛
b) 𝜺
𝒎𝒂𝒙
= 𝑵 ∗ 𝑩 ∗ 𝑨 ∗ 𝝎 = 𝑵 ∗ 𝑩 ∗ 𝑨 ∗ 𝝎 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒇
𝜺
𝒎𝒂𝒙
= 𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝟎. 𝟓 ∗ 𝟒 ∗ 𝟏𝟎
−𝟒
∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝟔𝟎 = 𝟏𝟓, 𝟏 𝑽
2. ¿En qué campo magnético debe girar la bobina del problema 1 para que genere una
fem de 10 V a 60 Hz?
𝜺
𝒎𝒂𝒙
= 𝑵 ∗ 𝑩 ∗ 𝑨 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒇 ; 𝑩 =
𝜺
𝒎𝒂𝒙
𝑵 ∗ 𝑨 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒇
=
𝟏𝟎
𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝟒 ∗ 𝟏𝟎
−𝟒
∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝟔𝟎
𝑩 = 𝟎. 𝟑𝟑𝟐 𝑻
3. Un arrollamiento rectangular de 2 cm por 1,5 cm posee 300 vueltas y gira en un campo
magnético de 4000 G.
a) ¿Cuál es la fem máxima generada cuando la bobina gira con una frecuencia de 60
Hz?
b) ¿Cuál debe ser su frecuencia para generar una fem máxima de 110 V?
a) 𝜺
𝒎𝒂𝒙
= 𝑵 ∗ 𝑩 ∗ 𝑨 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒇
𝜺
𝒎𝒂𝒙
= 𝟑𝟎𝟎 ∗ 𝟒𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟎
−𝟒
∗ 𝟐 ∗ 𝟏. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎
−𝟒
∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝟔𝟎 = 𝟏𝟑, 𝟔 𝑽
b) 𝒇 =
𝜺
𝒎𝒂𝒙
𝑵∗𝑩∗𝑨∗𝟐∗𝝅
=
𝟏𝟏𝟎
𝟑𝟎𝟎∗𝟒𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟎
−𝟒
∗𝟐∗𝟏.𝟓∗𝟏𝟎
−𝟒
∗𝟐∗𝝅
= 𝟒𝟖𝟔 𝑯𝒛
4. La bobina del problema 3 gira a 60 Hz en un campo magnético B. ¿Qué valor de B
engendraría una fem máxima de 24 V?
𝜺
𝒎𝒂𝒙
= 𝑵 ∗ 𝑩 ∗ 𝑨 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒇
𝑩 =
𝜺
𝒎𝒂𝒙
𝑵∗𝑨∗𝟐∗𝝅∗𝒇
=
𝟐𝟒
𝟑𝟎𝟎∗𝟐∗𝟏.𝟓∗𝟏𝟎
−𝟒
∗𝟐∗𝝅∗𝟔𝟎
= 𝟎, 𝟕𝟎𝟕 𝑻
Corriente alterna en una resistencia
5. Cuando la frecuencia del circuito simple de ca de la figura crece, la corriente eficaz que
circula por la resistencia
a) Crece.
b) No cambia.
c) Puede aumentar o disminuir según la magnitud de la frecuencia original.
d) Puede aumentar o disminuir segú8nla magnitud de la resistencia.
e) Disminuye.
En un circuito de corriente alterna (CA) simple que solo contiene una
resistencia, la corriente eficaz que circula por la resistencia no se ve afectada
por los cambios en la frecuencia. Esto se debe a que la resistencia es una
medida de la oposición al flujo de corriente que no cambia con la frecuencia.
Respuesta b.
6. Si el voltaje eficaz de un circuito de ca se duplica, el voltaje máximo
a) Se duplica.
b) Se reduce a la mitad.
c) Crece en un factor √
𝟐.
d) Disminuye en un factor √
𝟐.
e) No cambia.
𝑽
𝒆𝒇
=
𝑽
𝒎𝒂𝒙
√
𝟐
𝟐 ∗ 𝑽
𝒆𝒇
=
𝑽′ 𝒎𝒂𝒙
√𝟐
𝑫𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐:
𝟐 =
𝑽′
𝒎𝒂𝒙
𝑽
𝒎𝒂𝒙
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 𝒂.
7. Una bombilla de 100 W se conecta a un enchufe de 120 V eficaces. Calcular
a) I ef
.
b) I max
.
c) La potencia máxima.
a) 𝑷
𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂
= 𝑰
𝒆𝒇
∗ ∆𝑽
𝒆𝒇
; 𝑰
𝒆𝒇
=
𝑷
𝒎
∆𝑽
𝒆𝒇
=
𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟐𝟎
= 𝟎. 𝟖𝟑𝟑 𝑨
b) 𝑰
𝒎𝒂𝒙
= 𝑰
𝒆𝒇
∗ √
𝟐 = 𝟏. 𝟏𝟖 𝑨
c) 𝑷
𝒎𝒂𝒙
= 𝑰
𝒎𝒂𝒙
∗ ∆𝑽
𝒎𝒂𝒙
= 𝑰
𝒆𝒇
∗ √
𝟐 ∗ ∆𝑽
𝒆𝒇
∗ √
𝟐 = 𝟐 ∗ 𝟎. 𝟖𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟐𝟎 = 𝟏𝟗𝟗. 𝟗 𝑾
8. Una resistencia de 3 Ω se coloca en serie con un generador de 12,0 V (máximo) de 60 Hz
de frecuencia.
a) ¿Cuál es la frecuencia angular ω de la corriente?
b) Hallar I max
e I ef
.
Determinar
c) La potencia máxima debida a la resistencia.
d) La potencia mínima.
e) La potencia media.
a) 𝝎 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒇 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝟔𝟎 = 𝟏𝟐𝟎 ∗ 𝝅 𝒓𝒂𝒅/𝒔
b) 𝑰
𝒎𝒂𝒙
=
∆𝑽 𝒎𝒂𝒙
𝑹
=
𝟏𝟐
𝟑
= 𝟒 𝑨
𝑰
𝒆𝒇
=
𝑰 𝒎𝒂𝒙
√𝟐
= 𝟐. 𝟖𝟑 𝑨
c) 𝑷
𝒎𝒂𝒙
= 𝑰
𝒎𝒂𝒙
∗ ∆𝑽
𝒎𝒂𝒙
= 𝟒 ∗ 𝟏𝟐 = 𝟒𝟖 𝑾
d)
12. Si la frecuencia de la corriente alterna del circuito de la figura se duplica, la reactancia
capacitiva del circuito
a) Se multiplica por 2.
b) No cambia.
c) Se divide por 2.
d) Se multiplica por 4.
e) Se divide por 4.
𝑿
𝒄
=
𝟏
𝝎∗𝑪
=
𝟏
𝟐∗𝝅∗𝒇 ∗𝑪
Si duplicamos la frecuencia, X c
se hará la mitad. Respuesta c.
13. En un dispositivo constituido por un generador y una bobina, ¿existe algún momento
en que la bobina absorbe energía del generador? ¿Existe algún momento en que la
bobina suministra energía al generador?
Sí a las dos cosas, mientras aumenta la corriente en el circuito el inductor absorbe
energía. Cuando decrece la intensidad el inductor suministra energía al condensador.
14. En un circuito formado por un generador y un condensador, ¿existe algún momento en
que el condensador absorbe energía del generador? ¿Existe algún momento en que el
condensador suministra energía al condensador?
Sí a ambas preguntas. Mientras se acumula carga en el condensador, el
condensador absorbe energía del generador. Cuando el condensador
descargándose, suministra energía al generador.
15. ¿Cuál es la reactancia de una bobina de 1,0 mH a
a) 60 Hz.
b) 600 Hz.
c) 6 kHz.
a) 𝑿
𝑳
= 𝑳 ∗ 𝝎 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒇 = 𝟏𝟎
−𝟑
∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝟔𝟎 = 𝟎. 𝟑𝟕𝟕 𝛀
b) 𝑿
𝑳
= 𝑳 ∗ 𝝎 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒇 = 𝟏𝟎
−𝟑
∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝟔𝟎𝟎 = 𝟑. 𝟕𝟕 𝛀
c) 𝑿
𝑳
= 𝑳 ∗ 𝝎 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒇 = 𝟏𝟎
−𝟑
∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝟔𝟎𝟎𝟎 = 𝟑𝟕. 𝟕 𝛀
16. Una bobina tiene una reactancia de 100 Ω a 80 Hz.
a) ¿Cuál es su inductancia?
b) ¿Cuál es su reactancia a 160 Hz?
a) 𝑿
𝑳
= 𝑳 ∗ 𝝎 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒇 ; 𝑳 =
𝑿
𝑳
𝟐∗𝝅∗𝒇
=
𝟏𝟎𝟎
𝟐∗𝝅∗𝟖𝟎
= 𝟎. 𝟏𝟗𝟗 𝑯
b) 𝑿
𝑳
= 𝑳 ∗ 𝝎 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒇 = 𝟎. 𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟔𝟎 = 𝟐𝟎𝟎 𝛀
17. ¿A qué frecuencia será la reactancia de un condensador de 10 μF igual a la de una
bobina de 1,0 mH?
𝑿
𝑳
= 𝑳 ∗ 𝝎 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒇 = 𝑿
𝒄
=
𝟏
𝝎∗𝑪
=
𝟏
𝟐∗𝝅∗𝒇 ∗𝑪
𝒇 =
𝟏
𝟐∗𝝅
√
𝟏
𝑳∗𝑪
=
𝟏
𝟐∗𝝅
√
𝟏
𝟏𝟎
−𝟑
∗𝟏𝟎
−𝟔
= 𝟏. 𝟓𝟗 ∗ 𝟏𝟎
𝟑
𝑯𝒛
18. ¿Cuál es la reactancia de un condensador de 1,0 nF a
a) 60 Hz,
b) 6 kHz,
c) 6 Mhz?
a) 𝑿
𝒄
=
𝟏
𝝎∗𝑪
=
𝟏
𝟐∗𝝅∗𝒇 ∗𝑪
=
𝟏
𝟐∗𝝅∗𝟔𝟎 ∗𝟏𝟎
−𝟗
= 𝟐. 𝟔𝟓 ∗ 𝟏𝟎
𝟔
𝛀
b) 𝑿
𝒄
=
𝟏
𝝎∗𝑪
=
𝟏
𝟐∗𝝅∗𝒇 ∗𝑪
=
𝟏
𝟐∗𝝅∗𝟔𝟎𝟎𝟎 ∗𝟏𝟎
−𝟗
= 𝟐𝟔. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎
𝟑
𝛀
c) 𝑿
𝒄
=
𝟏
𝝎∗𝑪
=
𝟏
𝟐∗𝝅∗𝒇 ∗𝑪
=
𝟏
𝟐∗𝝅∗𝟔∗𝟏𝟎
𝟔
∗𝟏𝟎
−𝟗
= 𝟐𝟔. 𝟓 𝛀
19. Una fem de 10,0 V de valor máximo y una frecuencia de 20 Hz se aplica a un
condensador de 20 μF- Calcular
a) Imax.
b) I ef
.
a) 𝑿
𝒄
=
𝟏
𝝎∗𝑪
=
𝟏
𝟐∗𝝅∗𝒇 ∗𝑪
𝑰
𝒎𝒂𝒙
=
𝚫𝑽 𝒎𝒂𝒙
𝑿 𝒄
= 𝚫𝑽
𝒎𝒂𝒙
∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒇 ∗ 𝑪 = 𝟏𝟎 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝟐𝟎 ∗ 𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟎
−𝟔
𝑰
𝒎𝒂𝒙
= 𝟐𝟓. 𝟏 ∗ 𝟏𝟎
−𝟑
𝑨
b) 𝑰
𝒆𝒇
=
𝑰
𝒎𝒂𝒙
√𝟐
=
𝟐𝟓.𝟏∗𝟏𝟎
−𝟑
√𝟐
= 𝟏𝟕. 𝟖 ∗ 𝟏𝟎
−𝟑
𝑨
20. ¿A qué frecuencia es la reactancia de un condensador de 10 μF
a) 1 Ω,
b) 100 Ω,
c) 0,01 Ω?
a) 𝑿
𝒄
=
𝟏
𝝎∗𝑪
=
𝟏
𝟐∗𝝅∗𝒇 ∗𝑪
; 𝒇 =
𝟏
𝟐∗𝝅∗𝑿
𝒄
∗𝑪
𝒇 =
𝟏
𝟐∗𝝅∗𝟏 ∗𝟏𝟎∗𝟏𝟎
−𝟔
= 𝟏𝟓, 𝟗 ∗ 𝟏𝟎
𝟑
𝑯𝒛
b) 𝒇 =
𝟏
𝟐∗𝝅∗𝟏𝟎𝟎 ∗𝟏𝟎∗𝟏𝟎
−𝟔
= 𝟏𝟓𝟗 𝑯𝒛
c) 𝒇 =
𝟏
𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟏 ∗𝟏𝟎∗𝟏𝟎
−𝟔
= 𝟏. 𝟓𝟗 ∗ 𝟏𝟎
𝟔
𝑯𝒛
Fasores
21. Dibujar el diagrama de fasores resultante para un circuito LCR serie cuando V L
** | 𝑽
|
√ 𝟓
𝟐
𝟐
= 𝟖. 𝟔𝟎 𝑽
𝑰 =
|𝑽|
𝑹
∗ 𝒄𝒐𝒔(𝝎 ∗ 𝒕 + 𝜹)
𝜹 = 𝟒𝟓 − (𝟗𝟎 − 𝜶) = 𝜶 − 𝟒𝟓
𝜹 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 (
𝟕
𝟓
) − 𝟒𝟓 = 𝟗. 𝟒𝟔º = 𝟎. 𝟏𝟔𝟓 𝒓𝒂𝒅
𝑰 =
𝟖.𝟔𝟎
𝟐𝟓
∗ 𝒄𝒐𝒔(𝝎 ∗ 𝒕 + 𝟎. 𝟏𝟔𝟓) = 𝟎. 𝟑𝟒𝟒 ∗ 𝒄𝒐𝒔(𝝎 ∗ 𝒕 + 𝟎. 𝟏𝟔𝟓)
Circuitos LC y LCR sin generador.
23. Las unidades del producto inductancia por capacitancia son
a) Segundos al cuadrado.
b) Hertz.
c) Voltios.
d) Amperios.
e) Ohmios.
𝑿
𝑳
= 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒇 ∗ 𝑳 ; 𝑳 =
𝑿
𝑳
𝟐∗𝝅∗𝒇
𝑿
𝑪
=
𝟏
𝟐∗𝝅∗𝒇∗𝑪
; 𝑪 =
𝟏
𝟐∗𝝅∗𝒇∗𝑿 𝑪
𝑳 ∗ 𝑪 =
𝑿 𝑳
𝟐∗𝝅∗𝒇
∗
𝟏
𝟐∗𝝅∗𝒇∗𝑿 𝑪
=
𝑿 𝑳
𝟒∗𝝅
𝟐
∗𝒇
𝟐
∗𝑿 𝑪
Las dimensiones son las de f
- 2
, por tanto, s
2
**. Respuesta a.
- Preparar circuitos LC con frecuencia de oscilación de millares de Hertz es fácil, pero**
preparar circuitos LC de frecuencias pequeñas es difícil. ¿Por qué?
Para hacer un circuito LC con una frecuencia de resonancia pequeña se requiere una
inductancia y una capacitancia grandes. Ninguno de los dos es fácil de construir.
25. Demostrar partiendo de las definiciones del henrio y del faradio que 𝟏/√𝑳 𝑪 tiene
unidades de s
- 1
.
𝟏
√
𝑯∗𝑭
=
𝟏
√𝛀∗𝒔∗
𝒔
𝛀
=
𝟏
𝒔
También:
[𝑪] = [
𝑸
𝑽
]
[ 𝑳
] = [
𝑽
𝒅𝑰
𝒅𝒕
] = [
𝑽
𝑸
𝑻
𝟐
] = [
𝑽∗𝑻
𝟐
𝑸
]
[
𝟏
√𝑳∗𝑪
]
= [
𝑸
𝟏/𝟐
∗𝒗
𝟏/𝟐
𝑽
𝟏/𝟐
∗𝑻∗𝒒
𝟏/𝟐
]
= [
𝟏
𝑻
]
26. a) ¿Cuál es el periodo de oscilación de un circuito LC compuesto por una bobina de 2
mH y un condensador de 2 μF?
b) ¿Qué inductancia se necesita junto a un condensador de 80 μF para construir un
circuito LC que oscile comuna frecuencia de 60 Hz?
a) 𝑿
𝑳
=
𝟐∗𝝅
𝑻
∗ 𝑳
𝑿
𝑪
=
𝑻
𝟐∗𝝅∗𝑪
𝟐∗𝝅
𝑻
∗ 𝑳 =
𝑻
𝟐∗𝝅∗𝑪
; 𝑻 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ √
𝑳 ∗ 𝑪 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ √𝟐 ∗ 𝟏𝟎
−𝟑
∗ 𝟐 ∗ 𝟏𝟎
−𝟔
𝑻 = 𝟏. 𝟐𝟔 ∗ 𝟏𝟎
−𝟑
𝒔
b) 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒇 ∗ 𝑳 =
𝟏
𝟐∗𝝅∗𝒇∗𝑪
; 𝑳 =
𝟏
𝟒∗𝝅
𝟐
∗𝒇
𝟐
∗𝑪
=
𝟏
𝟒∗𝝅
𝟐
∗𝟔𝟎
𝟐
∗𝟖𝟎∗𝟏𝟎
−𝟔
= 𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟎
−𝟑
𝑯
27. U circuito LC tiene una capacidad C 1
y una bobina de inductancia L 1
. Un segundo
circuito tiene C 2
=1/2 C 1
y L 2
=2 L 1
, y un tercer circuito tiene C 3
=2 C 1
y L 3
=1/2 L 1
.
a) Demostrar que los tres circuitos oscilan con la misma frecuencia.
b) ¿En qué circuito será más elevada la corriente máxima si la capacidad
correspondiente se carga siempre al mismo potencial?
a) 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒇
𝟏
∗ 𝑳
𝟏
=
𝟏
𝟐∗𝝅∗𝒇 𝟏
∗𝑪 𝟏
; 𝒇
𝟏
=
𝟏
𝟐∗𝝅∗ √
𝑳
𝟏
∗𝑪
𝟏
𝒇
𝟐
=
𝟏
𝟐∗𝝅∗√𝑳
𝟐
∗𝑪
𝟐
=
𝟏
𝟐∗𝝅∗
√ 𝟐∗𝑳 𝟏
∗
𝟏
𝟐
∗𝑪 𝟏
=
𝟏
𝟐∗𝝅∗√𝑳
𝟏
∗𝑪
𝟏
= 𝒇
𝟏
𝒇
𝟐
=
𝟏
𝟐∗𝝅∗√𝑳 𝟑
∗𝑪 𝟐
=
𝟏
𝟐∗𝝅∗√
𝟏
𝟐
∗𝑳
𝟏
∗𝟐∗𝑪
𝟏
=
𝟏
𝟐∗𝝅∗√𝑳 𝟏
∗𝑪 𝟏
= 𝒇
𝟏
b) 𝑰
𝒎𝒂𝒙
= 𝝎 ∗ 𝑸
𝒎𝒂𝒙
𝑪 =
𝑸
𝒎𝒂𝒙
∆𝑽
; 𝑸
𝒎𝒂𝒙
= 𝑪 ∗ ∆𝑽
A mayor capacidad mayor carga del condensador para el voltaje dado. La mayor
capacidad corresponde al tercer circuito, también será máxima su intensidad
máxima.
28. Se carga a 30 V un condensador de 5 μF y luego se conecta a una bobina de 10 mH.
a) ¿Cuánta energía se almacena en el circuito?
b) ¿Cuál es la frecuencia de oscilación del circuito?
c) ¿Cuál es la corriente máxima en el circuito?
a) 𝑬 =
𝟏
𝟐
∗ 𝑪 ∗ ∆𝑽
𝟐
=
𝟏
𝟐
∗ 𝟓 ∗ 𝟏𝟎
−𝟔
∗ 𝟑𝟎
𝟐
= 𝟐. 𝟐𝟓 ∗ 𝟏𝟎
−𝟑
𝑱
b) 𝒇 =
𝟏
𝟐∗𝝅∗√𝑳∗𝑪
=
𝟏
𝟐∗𝝅∗
√ 𝟏𝟎∗𝟏𝟎
−𝟑
∗𝟓∗𝟏𝟎
−𝟔
= 𝟕𝟏𝟐 𝑯𝒛
c) 𝑰
𝒎𝒂𝒙
= 𝝎 ∗ 𝑸
𝒎𝒂𝒙
= 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒇 ∗ 𝑪 ∗ ∆𝑽 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝟕𝟏𝟐 ∗ 𝟓 ∗ 𝟏𝟎
−𝟔
∗ 𝟑𝟎
𝑰
𝒎𝒂𝒙
= 𝟎. 𝟔𝟕𝟏 𝑨
Circuitos LR con un generador
29. Una bobina puede considerarse como una resistencia y una inductancia en serie.
Suponer que R = 100 Ω y L = 0,4 H. La bobina se conecta a una línea de 120 V eficaces y
60 Hz. Hallar
a) El factor de potencia.
b) La corriente eficaz.
c) La potencia media suministrada.
a) 𝒄𝒐𝒔 𝜹 =
𝑹
𝒁
=
𝑹
√ 𝑿
𝑳
𝟐
+𝑹
𝟐
=
𝑹
√𝟒∗𝝅
𝟐
∗𝒇
𝟐
∗𝑳
𝟐
+𝑹
𝟐
=
𝟏𝟎𝟎
√𝟒∗𝝅
𝟐
∗𝟔𝟎
𝟐
∗𝟎.𝟒
𝟐
+𝟏𝟎𝟎
𝟐
= 𝟎. 𝟓𝟓𝟑
b) 𝑰
𝒆𝒇
=
𝜺 𝒆𝒇
𝒁
=
𝜺 𝒆𝒇
√ 𝟒∗𝝅
𝟐
∗𝒇
𝟐
∗𝑳
𝟐
+𝑹
𝟐
=
𝟏𝟐𝟎
√ 𝟒∗𝝅
𝟐
∗𝟔𝟎
𝟐
∗𝟎.𝟒
𝟐
+𝟏𝟎𝟎
𝟐
= 𝟎. 𝟔𝟔𝟑 𝑨
c) 𝑷
𝒎𝒆𝒅
= 𝑰
𝒆𝒇
𝟐
∗ 𝑹 = 𝟎. 𝟔𝟔𝟑
𝟐
∗ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟒𝟒. 𝟎 𝑾
a) El factor de potencia.
b) La resistencia de la bobina.
c) La inductancia de la bobina.
d) ¿Adelanta o retrasa la corriente a la tensión? ¿Cuál es el ángulo de fase 𝜹?
a) La potencia media se disipa en la resistencia:
𝑷
𝒎
= 𝑰
𝒆𝒇
𝟐
∗ 𝑹 ; 𝑹 =
𝑷
𝒎
𝑰
𝒆𝒇
𝟐
=
𝟔𝟎
𝟏.𝟓
𝟐
= 𝟐𝟔. 𝟕 𝛀
𝚫𝑽
𝒆𝒇
= 𝑰
𝒆𝒇
∗ 𝒁 ; 𝒁 =
𝚫𝑽
𝒆𝒇
𝑰
𝒆𝒇
=
𝟏𝟐𝟎
𝟏.𝟓
= 𝟖𝟎 𝛀
𝒄𝒐𝒔 𝜹 =
𝑹
𝒁
=
𝟐𝟔.𝟕
𝟖𝟎
= 𝟎. 𝟑𝟑𝟑
b) Hecho en a.
c) 𝒁
𝟐
= 𝑿
𝑳
𝟐
𝟐
𝑿
𝑳
= √𝒁
𝟐
− 𝑹
𝟐
= √𝟖𝟎
𝟐
− 𝟐𝟔. 𝟕
𝟐
= 𝟕𝟓. 𝟒 𝛀
d) 𝜹 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔
( 𝟎. 𝟑𝟑
) = 𝟕𝟎. 𝟓º
La intensidad retrase 70.5’ respecto al voltaje al ser un circuito inductivo.
34. Un inductor de 36 mH y cuya resistencia es de 40 Ω se conecta a una fuente de voltaje
𝜺 = (𝟑𝟒𝟓 𝑽)𝒄𝒐𝒔(𝟏𝟓𝟎𝝅𝒕) , donde t está en segundos. Determinar la corriente máxima
del circuito, el voltaje máximo y el voltaje eficaz a través del inductor, la disipación de
potencia media y las energías máximas y medias almacenadas en el campo magnético
del inductor.
𝑰
𝒎𝒂𝒙
=
𝜺 𝒎𝒂𝒙
𝒁
=
𝜺 𝒎𝒂𝒙
√ 𝝎
𝟐
∗𝑳
𝟐
+𝑹
𝟐
=
𝟑𝟒𝟓
√𝝅
𝟐
∗𝟏𝟓𝟎
𝟐
∗(𝟑𝟔∗𝟏𝟎
−𝟑
)
𝟐
+𝟒𝟎
𝟐
= 𝟕. 𝟗𝟒 𝑨
𝚫𝑽
𝒎𝒂𝒙,𝑳
= 𝑰
𝒎𝒂𝒙
∗ 𝑿
𝑳
= 𝑰
𝒎𝒂𝒙
∗ 𝑳 ∗ 𝝎 = 𝟕. 𝟗𝟒 ∗ 𝟑𝟔 ∗ 𝟏𝟎
−𝟑
∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟓𝟎 = 𝟏𝟑𝟓 𝑽
𝚫𝑽
𝒆𝒇,𝑳
=
𝚫𝑽
𝒎𝒂𝒙,𝑳
√
𝟐
=
𝟏𝟑𝟓
√
𝟐
= 𝟗𝟓. 𝟓 𝑽
𝐏
𝒎𝒆𝒅
=
𝟏
𝟐
∗ 𝑰
𝒎𝒂𝒙
𝟐
∗ 𝑹 =
𝟏
𝟐
∗ 𝟕. 𝟗𝟒
𝟐
∗ 𝟒𝟎 = 𝟏. 𝟐𝟔 ∗ 𝟏𝟎
𝟑
𝑾
𝑬
𝑳,𝒎𝒆𝒅
=
𝟏
𝑻
∗ ∫ 𝑼
( 𝒕
) ∗ 𝒅𝒕
𝑻
𝟎
=
𝟏
𝑻
∗ ∫
𝟏
𝟐
∗ 𝑳 ∗ 𝑰(𝒕)
𝟐
∗ 𝒅𝒕
𝑻
𝟎
=
𝑳
𝟐∗𝑻
∗ ∫ 𝑰(𝒕)
𝟐
∗ 𝒅𝒕
𝑻
𝟎
𝑬
𝑳,𝒎𝒆𝒅
=
𝑳
𝟐∗𝑻
∗ (
𝟏
𝟐
∗ 𝑰
𝒎𝒂𝒙
𝟐
∗ 𝑻) =
𝟏
𝟒
∗ 𝑳 ∗ 𝑰
𝒎𝒂𝒙
𝟐
𝑬
𝑳,𝒎𝒆𝒅
=
𝟏
𝟒
∗ 𝟑𝟔 ∗ 𝟏𝟎
−𝟑
∗ 𝟕. 𝟗𝟒
𝟐
= 𝟎. 𝟓𝟔𝟕 𝑱
𝑬
𝑳,𝒎𝒂𝒙
=
𝟏
𝟐
∗ 𝑳 ∗ 𝑰
𝒎𝒂𝒙
𝟐
=
𝟏
𝟐
∗ 𝟑𝟔 ∗ 𝟏𝟎
−𝟑
∗ 𝟕. 𝟗𝟒
𝟐
= 𝟏. 𝟏𝟑 𝑱
35. Una bobina de resistencia R, inductancia L y capacidad despreciable tiene un factor de
potencia de 0,866 a una frecuencia de 60 Hz. ¿Cuál es el factor de potencia para una
frecuencia de 240 Hz?
𝑳
𝑳
𝑳
𝑳
𝟐𝟒𝟎
𝟔𝟎
𝟏
𝑹
√ 𝑹
𝟐
+𝑿
𝑳
𝟐
(𝟔𝟎)
𝟐
𝟏
𝑹
𝟐
𝑹
𝟐
+𝑿
𝑳
𝟐
(𝟔𝟎)
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝑳
𝟐
𝟐
𝑳
𝟐
𝑹
𝟐
∗(𝟏−𝒄𝒐𝒔
𝟐
𝜹 𝟏
)
𝒄𝒐𝒔
𝟐
𝜹 𝟏
𝟐
𝟐
𝑹
𝟐
𝑹
𝟐
+𝑿
𝑳
𝟐
(𝟐𝟒𝟎)
𝑹
𝟐
𝑹
𝟐
+𝑿 𝑳
𝟐
( 𝟔𝟎
) ∗
𝟐𝟒𝟎
𝟐
𝟔𝟎
𝟐
𝟐
𝟐
𝑹
𝟐
𝑹
𝟐
𝑹
𝟐
∗(𝟏−𝒄𝒐𝒔
𝟐
𝜹
𝟏
)
𝒄𝒐𝒔
𝟐
𝜹
𝟏
∗
𝟐𝟒𝟎
𝟐
𝟔𝟎
𝟐
𝟏
𝟏+
(𝟏−𝒄𝒐𝒔
𝟐
𝜹
𝟏
)
𝒄𝒐𝒔
𝟐
𝜹
𝟏
∗
𝟐𝟒𝟎
𝟐
𝟔𝟎
𝟐
𝟏
𝟏+
(𝟏−𝟎.𝟖𝟔𝟔
𝟐
)
𝟎.𝟖𝟔𝟔
𝟐
∗
𝟐𝟒𝟎
𝟐
𝟔𝟎
𝟐
𝟐
36. Una resistencia y una bobina están en paralelo aplicadas a una fem
E= 𝜺 maxcos(ωt), como muestra la figura. Demostrar que
a) 𝑰
𝑹
𝜺 𝒎𝒂𝒙
𝑹
b) 𝑰
𝑳
𝜺 𝒎𝒂𝒙
𝑿 𝑳
c) 𝑰 = 𝑰
𝑹
𝑳
𝒎𝒂𝒙
𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕 − 𝜹) , siendo 𝒕𝒈𝜹 =
𝑹
𝑿
𝑳
e 𝑰
𝒎𝒂𝒙
𝜺 𝒎𝒂𝒙
𝒁
con
−𝟐
−𝟐
𝑳
−𝟐
a) Aplicando Kirchoff a la malla de la resistencia:
𝒎𝒂𝒙
𝑹
𝑹
𝜺 𝒎𝒂𝒙
𝑹
b) Aplicando ahora Kirchoff a la malla con la inducción:
𝒎𝒂𝒙
𝑳
𝑳
𝑳
𝜺 𝒎𝒂𝒙
𝑿 𝑳
c) 𝑰 =
𝜺
𝒎𝒂𝒙
𝑹
𝜺
𝒎𝒂𝒙
𝑿
𝑳
𝜺
𝒎𝒂𝒙
𝑹
𝜺
𝒎𝒂𝒙
𝑿
𝑳
Usamos:
𝟐
𝟐
Con:
𝑩
𝑨
𝜺
𝒎𝒂𝒙
𝑹
𝟐
𝜺
𝒎𝒂𝒙
𝑿
𝑳
𝟐
𝜺
𝒎𝒂𝒙
𝑿
𝑳
𝜺 𝒎𝒂𝒙
𝑹
𝑹
𝑿
𝑳
𝒎𝒂𝒙
𝟏
𝑹
𝟐
𝟏
𝑿
𝑳
𝟐
Usando el dato del enunciado:
−𝟐
−𝟐
𝑳
−𝟐
𝜺
𝒎𝒂𝒙
𝒁
37. La figura muestra una resistencia de carga R L
=20 Ω conectada a un filtro de
pasa-alta formado por un inductor L=3,2 mH y una resistencia R=4 Ω. El voltaje
de entrada es 𝜺 =
𝒄𝒐𝒔(𝟐𝝅𝒇𝒕). Determinar las intensidades de corriente
eficaces en R, L y R L
si
a) f= 500 Hz.
b) f= 2000 Hz.
𝒆𝒇,𝑹
𝑳
𝜺
𝒆𝒇,𝑹−𝑳
𝑹 𝑳
𝟓𝟕.𝟖𝟓
𝟐𝟎
𝒆𝒇,𝑳
𝜺
𝒆𝒇,𝑹−𝑳
𝑿
𝑳
𝟓𝟕.𝟖𝟓
𝟑.𝟐∗𝟏𝟎
−𝟑
∗𝟐∗𝝅∗𝟐𝟎𝟎𝟎
c) Para 500 Hz:
𝑻
𝟏
𝟐
𝒎𝒂𝒙,𝑹
𝟐
𝟏
𝟐
𝒎𝒂𝒙,𝑹 𝑳
𝟐
𝑳
𝑻
𝟏
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝑹
𝑳
𝟏
𝟐
𝒎𝒂𝒙,𝑹
𝑳
𝟐
𝑳
𝟏
𝟐
𝟐
𝑷
𝑹
𝑳
,𝒆𝒇
𝑷
𝒕𝒐𝒕
𝟏𝟏𝟗.𝟎𝟕
𝟏𝟕𝟕.𝟗𝟏
𝑻
𝟏
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝑹
𝑳
𝟏
𝟐
𝒎𝒂𝒙,𝑹
𝑳
𝟐
𝑳
𝟏
𝟐
𝟐
𝑷
𝑹
𝑳
,𝒆𝒇
𝑷 𝒕𝒐𝒕
𝟏𝟔𝟕.𝟎𝟒𝟐
𝟐𝟎𝟖.𝟕𝟕
38. Una fuente de ca 𝜺
𝟏
= (𝟐𝟎 𝑽)𝒄𝒐𝒔(𝟐𝝅𝒇𝒕) en serie comuna batería 𝜺
𝟐
está conectada a un circuito formado por las resistencias R 1
= 10 Ω y R 2
= 8 Ω y un
inductor L = 6 mH (figura). Determinar la potencia disipada en R 1
y R 2
si
a) f = 100 Hz,
b) f= 200 Hz
c) f= 800 Hz.
a) La potencia disipada en R 1
y R 2
para la corriente continua:
𝟏,𝒄𝒄
𝜺
𝟐
𝟐
𝑹
𝟏
𝟏𝟔
𝟐
𝟏𝟎
𝟐,𝒄𝒄
𝜺
𝟐
𝟐
𝑹
𝟐
𝟏𝟔
𝟐
𝟖
Para la corriente alterna:
𝟏,𝒄𝒂
𝟏
𝟐
𝜺
𝟏,𝒎𝒂𝒙
𝟐
𝑹
𝟏
𝟏
𝟐
𝟐𝟎
𝟐
𝟏𝟎
Aplicando Kirchoff a la malla de R 1
, R
2
y L:
𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝑹
𝟏
∗𝑰
𝟏
𝒁
𝟐
𝑹
𝟏
∗
𝜺
𝟏
𝑹
𝟏
𝒁
𝟐
𝜺
𝟏
𝒁
𝟐
𝟐,𝒄𝒂
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝜺
𝟏
𝒁
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
−𝟑
𝟐
𝟐
𝟐,𝒄𝒂
𝟏
𝟐
𝟐𝟎
𝟖.𝟖𝟒
𝟐
Considerando las dos contribuciones:
𝟏
𝟏,𝒄𝒄
𝟏,𝒄𝒂
𝟐
𝟐,𝒄𝒄
𝟐,𝒄𝒂
b) Para la corriente continua los resultados son los mismos. De la misma
manera para la resistencia 1 se obtiene el mismo resultado.
Cambia el resultado de la resistencia 2:
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
−𝟑
𝟐
𝟐
𝟐,𝒄𝒂
𝟏
𝟐
𝟐𝟎
𝟏𝟎.𝟗𝟗
𝟐
Considerando las dos contribuciones:
𝟏
𝟏,𝒄𝒄
𝟏,𝒄𝒂
𝟐
𝟐,𝒄𝒄
𝟐,𝒄𝒂
c) Para la corriente continua los resultados son los mismos. De la misma
manera para la resistencia 1 se obtiene el mismo resultado.
Cambia el resultado de la resistencia 2:
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
−𝟑
𝟐
𝟐
𝟐,𝒄𝒂
𝟏
𝟐
𝟐𝟎
𝟑𝟏.𝟐
𝟐
Considerando las dos contribuciones:
𝟏
𝟏,𝒄𝒄
𝟏,𝒄𝒂
𝟐
𝟐,𝒄𝒄
𝟐,𝒄𝒂
Circuitos RC y RL con un generador
39. Se aplica una tensión de 100 V eficaces a un circuito RC serie. La tensión en
placas del condensador es 80 V. ¿Cuál es la tensión eficaz aplicada a la
resistencia?
𝒔𝒆ñ𝒂𝒍
𝒆𝒏𝒕
𝒄
𝒄𝒐𝒔
𝒔𝒊𝒏
𝒐
𝒄𝒐𝒔
𝒔𝒊𝒏
𝒄𝒐𝒔
𝒐
𝒄𝒐𝒔
𝒐
𝑽 𝒐
𝟏−𝝎
𝟐
∗𝑹
𝟐
∗𝑪
𝟐
𝝎
𝟐
∗𝑹
𝟐
∗𝑪
𝟐
𝝎
𝟐
∗𝑹
𝟐
∗𝑪
𝟐
−𝟏
𝒐
𝒔𝒊𝒏
𝒔𝒊𝒏
𝑽
𝟎
∗𝝎∗𝑹∗𝑪
𝝎
𝟐
∗𝑹
𝟐
∗𝑪
𝟐
+𝟏
El módulo del voltaje de salida:
𝒔𝒆ñ𝒂𝒍
𝒄𝒐𝒔
𝟐
𝒔𝒊𝒏
𝟐
𝑽
𝟎
∗𝝎∗𝑹∗𝑪
√ 𝟏+𝝎
𝟐
∗𝑹
𝟐
∗𝑪
𝟐
𝑽
𝟎
√𝟏+
𝟏
𝝎
𝟐
∗𝑹
𝟐
∗𝑪
𝟐
b) 𝑽
𝒔𝒆ñ𝒂𝒍
𝑽
𝟎
√𝟏+
𝟏
𝝎
𝟐
∗𝑹
𝟐
∗𝑪
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
√𝟏+
𝟏
𝝎
𝟐
∗𝑹
𝟐
∗𝑪
𝟐
𝟏
√𝟑
𝟏
𝑹∗𝑪
c) Tomando Vo=1 y Rc=1.
41. Por una bobina circulan 15 A cuando se conecta a una línea de 220 V de ca y 60
Hz. Cuando se pone en serie con una resistencia de 4 Ω y se conecta la
combinación a una batería de 100 V, se observa que la corriente que
proporciona la batería al cabo de un tiempo largo es 10 A.
a) ¿Cuál es la resistencia de la bobina?
b) ¿Cuál es la inductancia de la misma?
a)
En corriente continua la inductancia no afecta, sólo afecta la resistencia
de la bobina.
𝑳
𝑳
∆𝑽
𝑰
𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟎
b) En corriente alterna:
𝟐
𝟐
𝑳
𝟐
0
0,
0,
0,
0,
1
1,
0 50 100 150 200 250
V señal/Vo
𝟐
𝟐
𝑳
𝟐
𝚫𝑽
𝟐
𝑰
𝟐
𝟏
𝝎
𝚫𝑽
𝟐
𝑰
𝟐
𝑳
𝟐
𝟏
𝟐∗𝝅∗𝟔𝟎
𝟐𝟐𝟎
𝟐
𝟏𝟓
𝟐
𝟐
42. La figura muestra una resistencia de carga R L
=20 Ω conectada a un filtro de
pasa- baja formado por un condensador de capacidad C = 8 μF y una resistencia
R= 4 Ω. El voltaje de entrada es 𝜺 = (𝟏𝟎𝟎 𝑽)𝒄𝒐𝒔 (𝟐𝝅𝒇𝒕).
Determinar las corrientes eficaces en R, C y R L
si
a) f = 500 Hz.
b) f = 2000 Hz.
c) ¿Qué fracción de la potencia total suministrada por la fuente de voltaje se
disipa en la resistencia de carga si la frecuencia es 500 Hz y si la frecuencia
es 200 Hz?
En el circuito, para la asociación en paralelo de C y R L
a)
𝟏
𝒁
𝑪𝑹
𝑳
𝟏
𝑹
𝑳
𝟏
𝒁
𝑪
𝟏
𝑹
𝑳
𝑪𝑹
𝑳
𝟏
𝟏
𝑹
𝑳
+𝒊∗𝟐∗𝝅∗𝒇∗𝑪
𝑹 𝑳
𝟏+𝒊∗𝟐∗𝝅∗𝒇∗𝑪∗𝑹 𝑳
𝑪𝑹 𝑳
𝑹
𝑳
𝟏+𝒊∗𝟐∗𝝅∗𝒇∗𝑪∗𝑹
𝑳
𝟏−𝒊∗𝟐∗𝝅∗𝒇∗𝑪∗𝑹
𝑳
𝟏−𝒊∗𝟐∗𝝅∗𝒇∗𝑪∗𝑹
𝑳
𝑪𝑹 𝑳
𝑹
𝑳
−𝒊∗𝟐∗𝝅∗𝒇∗𝑪∗𝑹
𝑳
𝟐
𝟏+𝟒∗𝝅
𝟐
∗𝒇
𝟐
∗𝑪
𝟐
∗𝑹
𝑳
𝟐
𝑪𝑹 𝑳
𝟏
𝟏+𝟒∗𝝅
𝟐
∗𝒇
𝟐
∗𝑪
𝟐
∗𝑹
𝑳
𝟐
𝑳
𝟐
𝑳
𝟐
𝟐
𝑪𝑹
𝑳
𝑹
𝑳
∗√𝟏+𝟒∗𝝅
𝟐
∗𝒇
𝟐
∗𝑪
𝟐
∗𝑹
𝑳
𝟐
𝟏+𝟒∗𝝅
𝟐
∗𝒇
𝟐
∗𝑪
𝟐
∗𝑹
𝑳
𝟐
𝑪𝑹 𝑳
𝟐𝟎∗√𝟏+𝟒∗𝝅
𝟐
∗𝟓𝟎𝟎
𝟐
∗(𝟖∗𝟏𝟎
−𝟔
)
𝟐
∗𝟐𝟎
𝟐
𝟏+𝟒∗𝝅
𝟐
∗𝟓𝟎𝟎
𝟐
∗(𝟖∗𝟏𝟎
−𝟔
)
𝟐
∗𝟐𝟎
𝟐
𝑪𝑹 𝑳
𝒆𝒇,𝑹
𝜺
𝒁
𝟏𝟎𝟎
√𝟐
𝟐𝟏.𝟖𝟕
Para la asociación en paralelo de C i R L
𝒆𝒇,𝑪 ,𝑹 𝑳
𝒆𝒇,𝑹
𝑪𝑹 𝑳
Ahora para el condensador:
condensador y la corriente en la bobina para el caso en que la reactancia
inductiva es mayor que la reactancia capacitiva.
a) 𝑰
𝒎𝒂𝒙,𝑪
∆𝑽
𝒎𝒂𝒙,𝑪
𝑿
𝑪
𝒎𝒂𝒙
En el condensador la corriente va adelantada respecto al voltaje 90º.
𝒎𝒂𝒙,𝑳
∆𝑽
𝒎𝒂𝒙,𝑳
𝑿 𝑳
𝜺 𝒎𝒂𝒙
𝑳∗𝝎
En la bobina la intensidad va retrasada 90º respecto al voltaje.
b)
𝑳
𝑪
𝜺
𝒎𝒂𝒙
𝑳∗𝝎
𝒎𝒂𝒙
𝟏
√𝑳∗𝑪
𝟏
√ 𝟒∗𝟐𝟓∗𝟏𝟎
−𝟔
c) 𝑰
𝑳
𝟏𝟎𝟎
𝟒∗𝟏𝟎𝟎
𝑳
𝑪
−𝟔
𝑪
d)
44. La carga sobre el condensador de un circuito serie LC viene dada por Q =(15 μC)
cos (1250t + π/4), donde t se expresa en segundos.
a) Hallar la corriente en función del tiempo.
b) Hallar C si L = 28 mH.
c) Escribir las expresiones correspondientes a la energía eléctrica U e
, la
energía magnética U m
y la energía total U.
a) 𝑰 =
𝒅𝑸
𝒅𝒕
−𝟔
𝝅
𝟒
𝝅
𝟒
b) En la resonancia:
𝑳
𝑪
𝟏
√
𝑳∗𝑪
𝟏
𝝎
𝟐
∗𝑳
𝟏
𝟏𝟐𝟓𝟎
𝟐
∗𝟐𝟖∗𝟏𝟎
−𝟑
−𝟔
c) 𝑼
𝒎
𝟏
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
−𝟑
𝟐
𝟐
𝝅
𝟒
𝒎
−𝟔
𝟐
𝝅
𝟒
𝒆
𝟏
𝟐
𝑸
𝟐
𝑪
𝟏
𝟐
𝟏𝟓
𝟐
∗𝟏𝟎
−𝟏𝟐
𝟐𝟐.𝟖𝟔∗𝟏𝟎
−𝟔
𝟐
𝝅
𝟒
𝒆
−𝟔
𝟐
𝝅
𝟒
𝒎
𝒆
−𝟔
45. En un método de medida de la comprensibilidad de un material dieléctrico se
usa un circuito LC con un condensador de placas paralelas. El dieléctrico se
inserta entre las placas y se determina el cambio experimentado por la
frecuencia de resonancia cuando las placas del condensador se someten a una
compresión. En este dispositivo la frecuencia de resonancia es 120 MHz cuando
entre las placas del condensador se introduce un dieléctrico de espesor 0, 1 cm y
constante dieléctrica 𝜿 = 𝟔. 𝟖. Bajo una presión de 800 atm la frecuencia de
resonancia disminuye a 116 MHz. Determinar el módulo de Young del material
dieléctrico.
𝒀 =
∆𝑷
∆𝒍/𝒍
La capacidad de un condensador plano es:
𝑪
𝒐
= 𝜿 ∗ 𝜺
𝒐
∗
𝑨
𝒍
Con el dieléctrico comprimido:
𝑪
𝒄
= 𝜿 ∗ 𝜺
𝒐
∗
𝑨
𝒍−𝚫𝒍
Para la situación de resonancia:
𝝎
𝒐
=
𝟏
√𝑳∗𝑪 𝒐
= √
𝒍
𝑳∗𝜿∗𝜺
𝒐
∗𝑨
𝝎
𝒄
=
𝟏
√
𝑳∗𝑪
𝑪
= √
(𝒍−𝚫𝒍)
𝑳∗𝜿∗𝜺
𝒐
∗𝑨
Dividiendo:
𝝎
𝒄
𝝎
𝒐
=
√
𝒍−𝚫𝒍
𝒍
=
√ 𝟏 −
𝚫𝒍
𝒍
Considerando 𝚫𝒍 ≪ 𝒍 , podemos hacer desarrollo binomial y queda:
𝝎 𝒄
𝝎 𝒐
≈ 𝟏 −
∆𝒍
𝟐∗𝒍
∆𝒍
𝟐∗𝒍
= 𝟐 ∗ (𝟏 −
𝝎 𝒄
𝝎 𝒐
)
𝒀 =
∆𝑷
∆𝒍/𝒍
= 𝒀 =
∆𝑷
𝟐∗(𝟏−
𝝎 𝒄
𝝎 𝒐
)
=
𝟖𝟎𝟎
𝟐∗(𝟏−
𝟏𝟏𝟔
𝟏𝟐𝟎
)
= 𝟏𝟏𝟗 ∗ 𝟏𝟎
𝟗
𝑵/𝒎
𝟐
46. La figura muestra una bobina L y un condensador de placas paralelas de anchura ω=
cm y espesor 0,2 cm. Un dieléctrico de constante dieléctrica 𝜿 =4,8 que llena
completamente el espacio entre las placas, puede deslizarse entre éstas. La bobina
posee una inductancia L=0 2 mH. Cuando la mitad del dieléctrico se encuentra entre las
placas del condensador, es decir, cuando x = ½ ω, la frecuencia de resonancia de esta
combinación LC es 90 MHz.
a) ¿Cuál es la capacidad del condensador sin dieléctrico?
b) Determinar la frecuencia de resonancia en función de x.
