¡Descarga criptografia y más Apuntes en PDF de Álgebra solo en Docsity!
`
ALGEBRA
Grau en Enginyeria de Inform`atica. Curs 2016-
Taller de criptografia
1 Codificaci´o de l’alfabet amb vectors de (Z 2 )
5
Considerem l’alfabet A que formen els 32 s´ımbols seg¨uents etiquetats amb els nombres del
0 al 31. El s´ımbol ⊔ l’utilitzem per indicar un espai en blanc.
. a b c d e f g h i j k l m n o
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
p q r s t u v w x y z ¸c ˜n , ′^ ⊔
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
Tot nombre 0 x < 32 s’escriu de manera ´unica com la suma d’un o m´es dels nombres
16 , 8 , 4 , 2 , 1, sense repetir-ne cap. Per trobar aquesta descomposici´o podem restar de x
el m`axim d’aquests nombres que sigui menor que x, i despr´es continuar aplicant el mateix
procediment al resultat. Per exemple,
Podem pensar, doncs, que tot nombre 0 x < 32 s’escriu de manera ´unica com
x = a 4 16 + a 3 8 + a 2 4 + a 1 2 + a 0 1 , amb a 4 , a 3 , a 2 , a 1 , a 0 2 f 0 , 1 g.
Aquests nombres binaris ai s´on precisament les xifres de x escrit en base 2, per`o nosaltres
els considerarem com les coordenades d’un vector de (Z 2 )
5 , on Z 2 := Z/ 2 Z ´es el cos de 2
elements:
(a 4 , a 3 , a 2 , a 1 , a 0 ) 2 (Z 2 )
5 .
Aix`o permet establir una aplicaci´o bijectiva: A ! (Z 2 )
5
. A cada s´ımbol li associem
el vector que recull les xifres bin`aries del nombre que etiqueta el s´ımbol. Per exemple, les
descomposicions que hem trobat a (1) es reinterpreten:
w = 23 = 16 + 4 + 2 + 1 $ (1, 0 , 1 , 1 , 1),
n = 14 = 8 + 4 + 2 $ (0, 1 , 1 , 1 , 0).
Rec´ıprocament, qualsevol vector representa un s´ımbol determinat. Per exemple:
(1, 1 , 0 , 1 , 1) $ 16 + 8 + 2 + 1 = 27 = ¸c.
Aquesta taula recull els vectors associats a cada s´ımbol de l’alfabet.
s´ımbol etiqueta vector
a 1 (0, 0 , 0 , 0 , 1)
b 2 (0, 0 , 0 , 1 , 0)
c 3 (0, 0 , 0 , 1 , 1)
d 4 (0, 0 , 1 , 0 , 0)
e 5 (0, 0 , 1 , 0 , 1)
f 6 (0, 0 , 1 , 1 , 0)
g 7 (0, 0 , 1 , 1 , 1)
h 8 (0, 1 , 0 , 0 , 0)
i 9 (0, 1 , 0 , 0 , 1)
j 10 (0, 1 , 0 , 1 , 0)
k 11 (0, 1 , 0 , 1 , 1)
l 12 (0, 1 , 1 , 0 , 0)
m 13 (0, 1 , 1 , 0 , 1)
n 14 (0, 1 , 1 , 1 , 0)
o 15 (0, 1 , 1 , 1 , 1)
p 16 (1, 0 , 0 , 0 , 0)
q 17 (1, 0 , 0 , 0 , 1)
r 18 (1, 0 , 0 , 1 , 0)
s 19 (1, 0 , 0 , 1 , 1)
t 20 (1, 0 , 1 , 0 , 0)
u 21 (1, 0 , 1 , 0 , 1)
v 22 (1, 0 , 1 , 1 , 0)
w 23 (1, 0 , 1 , 1 , 1)
x 24 (1, 1 , 0 , 0 , 0)
y 25 (1, 1 , 0 , 0 , 1)
z 26 (1, 1 , 0 , 1 , 0)
¸c 27 (1, 1 , 0 , 1 , 1)
˜n 28 (1, 1 , 1 , 0 , 0)
′ 30 (1, 1 , 1 , 1 , 0)
Desencriptaci´o
L’emissor i el receptor que acorden intercanviar informaci´o encriptada utilitzant aquest
criptosistema s’han de posar d’acord pr`eviament en la clau a utilitzar: una matriu invertible
A 2 (Z 2 )
5 5 qualsevol.
El receptor pot desencriptar qualsevol missatge calculant la matriu inversa A
1 de la
matriu A. Evidentment, si multipliquem el vector d’un s´ımbol encriptat per la matriu A
1
(per l’esquerra) recuperem el vector del s´ımbol original:
A(h) = n =) A
1 (n) = A
1 (A(h)) = h.
3 Trencament del criptosistema lineal
Podem extreure informaci´o d’un criptograma sense con`eixer la clau? A vegades els missatges
tenen encap¸calaments previsibles, signatura de l’emissor o paraules especials que podem
imaginar que figuren en el text. La intuici´o de com es desencripta un trosset de criptograma
pot donar pistes sobre la clau. Aix`o s’anomena l’atac missatge-criptograma. Quan l’atac
t´e exit i som capa¸cos de desencriptar sense coneixer a priori la clau, diem que hem trencat
el criptosistema.
El criptosistema lineal ´es molt fr`agil davant de l’atac missatge-criptograma. Per exemple,
imaginem que un interceptor il.leg´ıtim d’un missatge intueix que la paraula “espia” es
correspon al trosset “lbf˜n⊔” d’un criptograma.
Considerem les matrius:
e s p i a
B =
l b f ˜n ⊔
C =
Si denotem per A la clau desconeguda que s’ha utilitzat per encriptar, sabem que AB =
C. Com que a m´es a m´es aquesta matriu B ´es invertible (cosa que no sempre succeir`a),
podem deduir que la clau ´es la matriu
A = CB
1
Observaci´o 3.1. Si tenim un text llarg a desencriptar, ´es m´es ´util calcular primer A
1
BC
1 (de saber que una part del missatge espia > lbf n˜⊔), la inversa de la clau
d’encriptaci´o, i usar A
1 .(text xif rat) = (text desxif rat).
Exercici 3.2. Suposem que sabem que el missatge s’ha iniciat amb “avui,” i aquest inici
s’ha transformat amb “lbf˜n ⊔”. Pot ser possible? En cas afirmatiu troba la matriu A de la
clau.
