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DIRECTRICES Y ORIENTACIONES GENERALES
PARA LAS PRUEBAS DE ACCESO Y ADMISIÓN A LA
UNIVERSIDAD
Curso: 2023-2024 Asignatura: MATEMÁTICAS II
1.o^ Comentarios acerca del programa del segundo curso del Bachillerato, en relación
con la Prueba de Acceso y Admisión a la Universidad.
La siguiente relación de saberes básicos tiene como finalidad el servir de orientación para la preparación de la prueba de Matemáticas II en la Evaluación de bachillerato para el acceso a la Universidad. Esta relación se adapta a lo recogido en la “Orden..........2023, de ............ de 2023, por la que se determinan las características, el diseño y el contenido de la evaluación de Bachillerato para el acceso a la universidad, y las fechas máximas de realización y de resolución de los procedimientos de revisión de las calificaciones obtenidas, en el curso 2023-2024” (BOE ......... de noviembre de 2023), el “Real Decreto 243/2022, de 5 de abril, por el que se establecen la ordenación y las enseñanzas mínimas del Bachillerato”, el “Decreto 103/2023, de 9 de mayo, por el que se establece la ordenación y el currículo de la etapa de Bachillerato en la Comunidad Autónoma de Andalucía” y la “Orden de 30 de mayo de 2023, por la que se desarrolla el currículo correspondiente a la etapa de Bachillerato en la Comunidad Autónoma de Andalucía, se regulan determinados aspectos de la atención a la diversidad y se establece la ordenación de la evaluación del proceso de aprendizaje del alumnado”.
Para el curso 2023-2024 excepcionalmente no se contemplan los saberes básicos referentes al Sentido Esto- cástico y Sentido Socioafectivo a la espera de que se concrete el modelo de prueba que, junto con las calificaciones obtenidas en Bachillerato, valore la madurez académica y los conocimientos adquiridos en él, así como la capaci- dad para seguir con éxito los estudios universitarios prevista en la “Ley Orgánica 3/2020, de 29 de diciembre”.
A. Sentido numérico.
- Adición y producto de vectores y matrices: interpretación, comprensión y uso adecuado de las propiedades.
- Potencia de una matriz: cálculo de la potencia de una matriz en situaciones cíclicas.
- Cálculo de determinantes de una matriz cuadrada de orden 3 como máximo y el uso de las propiedades.
- Cálculo de la inversa de una matriz cuadrada.
- Producto de un esclara por un vector. Producto escalar de dos vectores en el espacio: definición, propiedades y aplicaciones. Producto vectorial de dos vectores en el espacio: definición, propiedades y aplicaciones. Producto mixto de tres vectores en el espacio: definición, propiedades y aplicaciones.
- Estrategias para operar con números reales, vectores y matrices.
- Estudio del rango de una matriz con no más de tres filas o columnas, aplicando el método de Gauss o determinantes.
- Manejo correcto de los conceptos de base y de dependencia e independencia lineal.
B. Sentido de la medida.
- Resolución de problemas que impliquen medidas de longitud, superficie o volumen en un sistema de coor- denadas cartesianas.
- Planteamiento y resolución de problemas de geometría afín relacionados con la incidencia y el paralelismo de rectas y planos en el espacio tridimensional.
- Planteamiento y resolución de problemas de geometría métrica relacionados con la medida de ángulos entre rectas y planos, la medida de distancias entre puntos, rectas y planos y la ortogonalidad entre rectas y planos.
- Determinación de ángulos, distancias, áreas y volúmenes utilizando los productos escalar, vectorial y mixto, aplicándolos en cada caso a la resolución de problemas geométricos: distancias entre puntos y rectas y planos, simetrías axiales, ángulos entre rectas y planos, vectores normales a un plano, perpendicular co- mún a dos rectas que se cruzan, vector perpendicular a otros dos, áreas de triángulos y paralelogramos y volúmenes de tetraedros y paralelepipedos.
- Interpretación de la integral definida como el área bajo una curva.
- Técnicas elementales para el cálculo de primitivas: primitivas inmediatas, primitivas de funciones racionales en las que las raíces del denominador son reales, método de integración por partes (aplicándolo reiterada- mente) y técnica de integración por cambio de variable, tanto en el cálculo de primitivas como en el cálculo de integrales definidas. Aplicación al cálculo de áreas.
- Derivadas: interpretación y aplicación al cálculo de límites (regla de L’Hopital).
- Aplicación de los conceptos de límite, continuidad y derivabilidad al esbozo y al estudio de situaciones susceptibles de ser modelizadas mediante funciones.
- Conocimiento de la relación que existe entre la continuidad y la derivabilidad de una función en un punto.
- Distinción entre función derivada y el valor de la derivada de una función en un punto. Hallar el dominio de derivabilidad de una función.
- Aplicación de los conceptos de límite de una función en un punto (tanto finito como infinito) y de límites laterales para estudiar la continuidad de una función y la existencia de asíntotas verticales.
- Aplicación del concepto de límite de una función en el infinito para el estudio de la existencia de asíntotas horizontales y oblicuas.
- Conocimiento de las propiedades de las funciones continuas y esbozo de la función en un entorno de los puntos de discontinuidad.
- Propiedades algebraicas del cálculo de límites, los tipos de indeterminación siguientes: infinito dividido por infinito, cero dividido por cero, cero por infinito, infinito menos infinito (se excluyen los de la forma uno elevado a infinito, infinito elevado a cero, cero elevado a cero) y técnicas para resolverlas.
- Determinación de las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de una función en un punto.
- La derivada como razón de cambio en la resolución de problemas de optimización en contextos diversos.
- Determinación, usando la derivación, de los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de una función.
- Determinación, usando la derivación, de los intervalos de concavidad y convexidad de una función.
- Derivabilidad de funciones definidas a trozos.
- Conocimiento y uso del teorema de derivación para funciones compuestas (la regla de la cadena) y su aplicación al cálculo de las derivadas de funciones y de las derivadas de las funciones trigonométricas inversas.
- Estudio de los puntos críticos de una función (puntos con derivada nula) o los puntos en los que la función no es derivable.
- Uso de la teoría de funciones continuas y de funciones derivables para resolver problemas de extremos relativos y absolutos.
- Resolución de problemas de optimización relacionados con la geometría o con las ciencias experimentales y sociales, e interpretación del resultado obtenido dentro del contexto.
- Propiedades de las distintas clases de funciones: comprensión y comparación.
- Estudio y representación gráfica, de manera aproximada, de funciones polinómicas, racionales, exponen- ciales, logarítmicas, trigonométricas y definidas a trozos a partir de sus propiedades globales y locales obtenidas empleando las herramientas del análisis (límites y derivadas).
- Dadas dos funciones, mediante sus expresiones analíticas o mediante sus representaciones gráficas, reco- nocer si una es primitiva de la otra.
- Relación existente entre dos primitivas de una misma función.
- Dada una familia de primitivas, saber determinar una cuya gráfica pase por un punto dado.
- Aplicación del teorema fundamental del cálculo y la regla de Barrow.
2.o^ Estructura de la prueba que se planteará para la asignatura.
- Cada estudiante recibirá un único examen con 8 ejercicios distribuidos en 4 bloques con dos ejercicios cada uno. Deberá elegir solamente 1 ejercicio de cada bloque.
- Se realizará únicamente un ejercicio de cada bloque. En caso de responder a dos ejercicios de un bloque sólo se corregirá el que aparezca físicamente en primer lugar.
- Los bloques constarán de 2 ejercicios de Análisis, 2 ejercicios de Integrales, 2 ejercicios de Números y Álgebra y 2 ejercicios de Geometría, respectivamente.
- Cada ejercicio se valorará con una puntuación máxima de 2,5 puntos. En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.
- En los ejercicios de la prueba no se pedirán demostraciones de teoremas y ningún ejercicio del examen tendrá carácter exclusivamente teórico.
3.o^ Instrucciones sobre el desarrollo de la prueba. Materiales permitidos en la prueba.
- Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para alma- cenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
- Durante el examen no se permitirá el préstamo de calculadoras entre estudiantes.
- En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.
4.o^ Criterios generales de corrección.
- Los ejercicios deben realizarse expresando de forma razonada el proceso seguido en la resolución de un problema, con el rigor y la precisión necesarios. Usando el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos ade- cuados al contexto. Utilizando argumentos, justificaciones, explicaciones y razonamientos explícitos y coherentes. Valorándose el grado de cumplimiento con un máximo de 0,25 puntos en cada ejercicio.
- La mera descripción del planteamiento, sin que se lleve a cabo la resolución de manera efectiva, no es suficiente para obtener una valoración completa del ejercicio.
- En los ejercicios en los que se pida expresamente una deducción razonada, la mera aplicación de una fórmula no será suficiente para obtener una valoración completa de los mismos.
- Los errores cometidos en un apartado, por ejemplo, en el cálculo del valor de un cierto parámetro, no se tendrán en cuenta en la calificación de los desarrollos posteriores que puedan verse afectados, siempre que resulten de una complejidad equivalente.
- Los errores en las operaciones aritméticas elementales se penalizarán con un máximo de 0,25 puntos en cada ejercicio.
- Se realizará únicamente un ejercicio de cada bloque. En caso de responder a dos ejercicios de un bloque sólo se corregirá el que aparezca físicamente en primer lugar.
5.o^ Información adicional.
- Estas orientaciones y los exámenes de los últimos años están disponibles en el punto de acceso electrónico:
https://www.juntadeandalucia.es/economiaconocimientoempresasyuniversidad/sguit/?q=grados&d=g_
b_examenes_anteriores.php
PRUEBA DE EVALUACIÓN DE BACHILLERATO PARA EL
ACCESO A LA UNIVERSIDAD Y PRUEBAS DE ADMISIÓN
ANDALUCÍA, CEUTA, MELILLA y CENTROS en MARRUECOS CURSO 2022–
MATEMÁTICAS II
BLOQUE 3. ÁLGEBRA Escoge sólo uno de los siguientes ejercicios:
EJERCICIO 5. (2,5 puntos)
Considera la matriz A =
0 a −b
0 0 b
a) [0,75 puntos] Calcula A^10.
b) [1,75 puntos] Calcula, si es posible, la matriz inversa de I + A + A^2 , donde I denota la matriz identidad de
orden 3.
EJERCICIO 6. (2,5 puntos)
Dadas las matrices A =
y B =
, se define la matriz M = A + (λ − 1)B.
a) [1,5 puntos] Halla los valores de λ para los que la matriz M tiene rango menor que 3.
b) [1 punto] Para λ = − 1 , resuelve el sistema lineal homogéneo cuya matriz de coeficientes es M.
BLOQUE 4. GEOMETRÍA. Escoge sólo uno de los siguientes ejercicios:
EJERCICIO 7. (2,5 puntos)
Considera el plano π, determinado por los puntos A(− 1 , 0 , 0), B(0, 1 , 1) y C(2, 1 , 0), y la recta
r ≡
x − 2 z − 3 = 0
y − z − 2 = 0
Halla los puntos de r cuya distancia a π es
14 unidades.
EJERCICIO 8. (2,5 puntos)
Considera el paralelogramo cuyos vértices consecutivos son los puntos P (− 1 , 2 , 3), Q(− 2 , 1 , 0), R(0, 5 , 1) y S.
a) [1 punto] Halla las coordenadas del punto S.
b) [1,5 puntos] Calcula la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al
plano que contiene a los puntos P , Q y R.
7.o^ Criterios específicos del modelo de prueba.
La evaluación se realizará según el desglose de las puntuaciones que se hace a continuación. Si algún aparta- do no se menciona específicamente, su puntuación es la que figura en el enunciado del ejercicio correspondiente. Cuando se dice: “x puntos por A”, hay que interpretar que se deben conceder x puntos si lo que se dice en la frase A está hecho o estudiado correctamente, incluyendo la justificación oportuna. Cuando se dice "planteamiento"se refiere al proceso seguido por el/la estudiante que, de no cometer errores, le llevará a la solución.
EJERCICIO 1. [2,5 puntos] Hasta 0,75 puntos por escribir la función de una variable a maximizar. Hasta 0, puntos por calcular sus puntos críticos. EJERCICIO 2. a) [1,5 puntos] Hasta 0,25 puntos por imponer que la gráfica pase por el punto dado. Hasta 1 punto
por calcular b. b) [1 punto] Hasta 0,5 puntos por calcular la pendiente de la recta normal.
EJERCICIO 3. a) [1,25 puntos] Hasta 1 punto por hallar la derivada de la función f. b) [1,25 puntos] Hasta 0,
puntos por expresar el área como una integral definida. EJERCICIO 4. [2,5 puntos] Hasta 0,75 puntos por el cambio de variable. Hasta 1 punto por la integral. Hasta 0, por el cálculo de la constante.
EJERCICIO 5. a) [0,75 puntos] Hasta 0,25 puntos por hallar A^2. b) [1,75 puntos] Hasta 0,5 puntos por hallar la
matriz adjunta de I + A + A^2.
EJERCICIO 6. a) [1,5 puntos] Hasta 0,75 puntos si calcula el determinante de M. Hasta 0,5 puntos si calcula los
valores críticos. b) [1 punto] Hasta 0,25 puntos por el planteamiento.
EJERCICIO 7. [2,5 puntos] Hasta 1 punto por el planteamiento.
EJERCICIO 8. a) [1 punto] Hasta 0,5 puntos por el planteamiento. b) [1,5 puntos] Hasta 0,25 puntos por calcular los vectores directores del plano.
8.o^ Anexo. Ejemplos de ejercicios de Estadística y Probabilidad.
En este anexo se muestra una serie de ejercicios elaborados por la ponencia de Matemáticas II que pueden servir como referencia para problemas que, en años posteriores, pudieran incluirse en las pruebas.
Probabilidad
Ejercicio 1. [2,5 puntos] Sean A y B dos sucesos independientes tales que la probabilidad de que ocurran ambos
simultáneamente es 13 y la de que no ocurra ninguno de ellos es 16. Calcula P (A) y P (B).
Ejercicio 2. [2,5 puntos] Dados dos sucesos, A y B, de un experimento aleatorio, con probabilidades tales que
P (A) = 49 , P (B) = 12 y P (A ∪ B) = 1318 , se pide:
a) [1,25 puntos] Comprobar si los sucesos A y B son independientes o no.
b) [1,25 puntos] Calcular P ( A¯ \ B), donde A¯ denota el suceso complementario de A.
Ejercicio 3. [2,5 puntos] Un dado con las caras numeradas del 1 al 6 está trucado de modo que la probabilidad de obtener un número es directamente proporcional a dicho número. Tiramos el dado una vez.
a) [1,25 puntos] Halla la probabilidad de que salga 3 si se sabe que salió un número impar.
b) [1,25 puntos] Calcula la probabilidad de que salga un número par si se sabe que salió un número mayor que 3.
Ejercicio 4. [2,5 puntos] En un club deportivo, el 55 % de los socios practica natación, el 65 % practica tenis, y el
10 % no practica ni natación ni tenis.
a) [1,25 puntos] Si el club tiene 1200 socios, ¿cuántos practicarían ambos deportes?.
Ejercicio 10. [2,5 puntos] Una enfermedad puede estar producida por tres virus A, B y C. En el laboratorio hay tres tubos de ensayo con el virus A, 2 tubos de ensayo con el virus B y 5 tubos de ensayo con el virus C. La probabilidad de que el virus A produzca la enfermedad en un animal es de 1/3, que la produzca el virus B es de 2/3, y que la produzca el virus C es de 1/7.
a) [1,5 puntos] Si elegimos al azar un tubo de ensayo e inoculamos el virus a un animal, calcula la probabilidad de que contraiga la enfermedad.
b) [1 punto] Si se inocula el virus a un animal y contrae la enfermedad, calcula la probabilidad de que el virus que se ha inoculado sea del tipo C.
Ejercicio 11. [2,5 puntos] Un ayuntamiento estima que el 60 % de los árboles de su localidad son de hoja caduca, y de ellos un 20 % son autóctonos del área geográfica. Sin embargo, de los árboles de hoja perenne (no caduca) los autóctonos ascienden al 70 %. Elegido al azar un árbol de esta localidad:
a) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que sea de hoja caduca y no sea autóctono?
b) [1 punto] ¿Qué probabilidad hay de que el árbol sea autóctono?
c) [1 punto] Sabiendo que el árbol es autóctono, ¿cuál es la probabilidad de que sea de hoja caduca?
Ejercicio 12. [2,5 puntos] Se tiene una prueba diagnóstica para una enfermedad con las siguientes propiedades:
- La probabilidad de que el test dé positivo teniendo la enfermedad es 0,95.
- La probabilidad de que el test dé negativo no teniendo la enfermedad es 0,95.
- La probabilidad de que una persona tenga la enfermedad es 0,05.
Realizada la prueba a una persona al azar, calcular:
a) [1,25 puntos] La probabilidad de que el test dé positivo.
b) [1,25 puntos] La probabilidad de tener la enfermedad cuando el test ha dado positivo.
Ejercicio 13. [2,5 puntos] Una empresa automovilística fabrica sus coches en cuatro factorías: F 1 , F 2 , F 3 y F 4.
El porcentaje de producción total de coches que se fabrica en cada factoría es del 40 %, 30 %, 20 % y 10 %,
respectivamente, y además el porcentaje de pintado defectuoso en cada factoría es del 1 %, 2 %, 7 % y 4 %,
respectivamente. Tomamos un coche al azar. Se pide:
a) [1 punto] ¿Cuál es la probabilidad de que el coche haya sido fabricado en la factoría F 1 y esté perfecto?
b) [1,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que la pintura del coche presente algún desperfecto?
Ejercicio 14. [2,5 puntos] El 60 % de los coches de una marca se fabrican en su factoría de Valencia, el 25 % en Madrid y el resto en Lisboa. El 1 % de los coches fabricados en Valencia tiene algún defecto de fabricación, mientras que para los coches fabricados en Madrid y en Lisboa estos porcentajes son del 0,5 % y del 2 %, respec- tivamente.
a) [1,25 puntos] Elegido al azar un coche de esa marca, calcule la probabilidad de que no sea defectuoso.
b) [1,25 puntos] Si un coche de esa marca resulta ser defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en Madrid?
Ejercicio 15. [2,5 puntos] De una baraja española (40 cartas) Carlos y Paula extraen 8 cartas: los cuatro ases y los cuatro reyes. Con esas 8 cartas, Paula da dos cartas a Carlos y posteriormente una para ella. Calcula:
a) [0,75 puntos] La probabilidad de que Carlos tenga dos ases,
b) [0,75 puntos] La probabilidad de que Carlos tenga un as y un rey.
c) [1 punto] La probabilidad de que Paula tenga un as y Carlos no tenga dos reyes.
Ejercicio 16. [2,5 puntos] Se estudia una prueba diagnóstica para detectar una enfermedad en un grupo de 200000 personas a las que se ha sometido a dicha prueba y de los que el 0,5 % están enfermos. Se ha observado que de los enfermos ha dado negativo a 50 personas y, de las sanas, le ha dado positivo a
- Si se escoge al azar una de estas persona sometidas a la prueba diagnóstica:
a) [1,5 puntos] Calcula la probabilidad de que la prueba dé resultado positivo. ¿Cuál sería la probabilidad de que el resultado de la prueba sea erróneo?
b) [1 punto] Calcula la probabilidad de que la persona padezca la enfermedad, si el resultado de la prueba es negativo.
Binomial.
Ejercicio 17. [2,5 puntos] Se sabe que la probabilidad de que un dardo impacte en una diana es 0,4. Si se lanzan 9 dardos, determina:
a) [1 punto] Qué tipo de distribución sigue la variable aleatoria que cuenta el número de dardos que dan en la diana.
b) [0,5 puntos] La media y la desviación típica de esta distribución.
c) [1 punto] La probabilidad de que al menos 5 dardos impacten en la diana.
Ejercicio 18. [2,5 puntos] La probabilidad de que un individuo elegido al azar tenga problemas dermatológicos es de 0,15. Dada una muestra de 50 personas,
a) [1 punto] ¿cuál es la probabilidad de que ninguna tenga problemas dermatológicos?
b) [1,5 puntos] ¿cuál es la probabilidad de que al menos cuatro tengan problemas dermatológicos?
Ejercicio 19. [2,5 puntos] En un laboratorio de análisis clínicos, el 5 % de las muestras que llegan no cumplen las condiciones requeridas para obtener resultados concluyentes en el análisis. Si se eligen 5 muestras, calcula:
a) [0,75 puntos] La probabilidad de que de todas las muestras se puedan obtener resultados concluyentes.
b) [1,25 puntos] La probabilidad de que de al menos dos no se obtengan resultados concluyentes.
c) [0,5 puntos] La media y la desviación típica de la distribución.
Ejercicio 20. [2,5 puntos] En un centro de fertilidad, cada intento de inseminación in vitro para cualquier pareja tiene un porcentaje de éxito del 30 %. Esta semana han acudido 10 parejas para realizar el tratamiento. Nos preguntamos por el número de ellas que consiguen tener hijos.
a) [1,25 puntos] ¿De qué tipo de distribución se trata? Calcular su media y su desviación.
b) [1,25 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que ninguna pareja conciba? ¿y de que alguna conciba?.
Ejercicio 28. [2,5 puntos] El peso de las lubinas vendidas en una cadena de hipermercados sigue una distribu-
ción normal de media 6706 gramos. Sabiendo que el 20 % de las lubinas pesan más de 7386 gramos, calcula el
porcentaje de lubinas que pesan entre 6 y 8 kg.
Ejercicio 29. [2,5 puntos] El peso de una población de elefantes africanos macho sigue una distribución normal de media 6 toneladas y desviación típica 1500 kg.
a) [0,5 puntos] Calcule la probabilidad de que un individuo elegido al azar pese exactamente 6 toneladas.
b) [1 punto] Calcule qué porcentaje de la población pesa entre 5 y 8 toneladas.
c) [1 punto] Calcule qué peso es superado por el 33 % de la población.
