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Curso B ´asico de C ´alculo
Eduardo L ´opez Ram´ırez ([email protected]) Jos ´e Rojo Montijano ([email protected]) Alfredo S ´anchez Alberca ([email protected])
Facultad de Farmacia
Curso 2013- «Copyleft
Curso B ´asico de C ´alculo 1
Licencia
Curso b ´asico de c ´alculo Alfredo S ´anchez Alberca ([email protected]). Esta obra est´a bajo una licencia Reconocimiento-No comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Es- pa˜na de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visi- te http://creativecommons.org/licenses/byncsa/2.5/es/ o envie una carta a Creative Commons, 171 Se- cond Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA. Con esta licencia eres libre de: Copiar, distribuir y mostrar este trabajo. Realizar modificaciones de este trabajo. Bajo las siguientes condiciones:
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Contenidos
(^1) Geometr´ıa anal´ıtica
(^2) Funciones reales de variable real
(^3) L´ımites y continuidad en funciones reales de variable real
(^4) C ´alculo diferencial en una variable
(^5) C ´alculo diferencial en varias variables
(^6) Integrales
(^7) Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.)
Curso B ´asico de C ´alculo 3
Geometr´ıa anal´ıtica
(^1) Geometr´ıa anal´ıtica Vectores Rectas Planos
Representaci ´on de un vector
Un segmento orientado puede ubicarse en diferentes lugares dentro de un espacio cartesiano. Sin embargo, con independencia de donde est ´e situado, si la longitud y la direcci ´on no var´ıan, dicho segmento representar ´a siempre el mismo vector. Esto permite representar todos los vectores con un mismo origen, el origen en sistema de coordenadas cartesianas. As´ı, un vector queda determinado por las coordenadas de su extremo final en cualquier espacio euclideo.
A
B
C
D
E
F
v
x
y v = (x, y) = AB~ = CD~ = EF~
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Vector a partir de dos puntos
Dados dos puntos P y Q de un espacio cartesiano, el vector con origen en P y destino en Q tiene coordenadas PQ~ = Q − P. Ejemplo Sean los puntos P = (2, 1) y Q = (3, 4) del plano real R^2 , entonces
PQ^ ~ = Q − P = (3, 4) − (2, 1) = (3 − 2 , 4 − 1) = (1, 3).
1
2
3
4
1 2 3 4 x
y
b Q
b P
PQ^ ~
M ´odulo de un vector
Definici ´on (M ´odulo de un vector)
Dados un vector v = (v 1 , · · · , vn) de Rn, se define el m ´odulo de v como
| v | =
v^21 + · · · + v^2 n.
El m ´odulo de un vector coincide con la longitud del segmento que representa al vector. Ejemplos Sea u = (3, 4) un vector en R^2 , entonces
| u | =
Sea v = (4, 7 , 4) un vector en R^3 , entonces
| v | =
Curso B ´asico de C ´alculo 9
Vectores unitarios
Definici ´on (Vector unitario)
Se dice que un vector v de Rn^ es unitario si su m ´odulo es 1, es decir | v | = 1.
Especial atenci ´on merecen los vectores unitarios que siguen la direcci ´on de los ejes de coordenadas, estos vectores se llaman vectores coordenados. En R^2 los vectores coordenados son
i = (1, 0) y j = (0, 1)
1
1 x
y
i
j
En R^3 los vectores coordenados son
i = (1, 0 , 0), j = (0, 1 , 0) y k = (0, 0 , 1)
x
y
z
i
j
k
Expresi ´on de un vector como combinaci ´on lineal de
los vectores coordenados
La suma de vectores y el producto de un vector por un escalar permite expresar cualquier vector como una combinaci ´on lineal de los vectores coordenados. En el caso del espacio real R^3 , cualquier vector v = (v 1 , v 2 , v 3 ) puede expresarse como v = (v 1 , v 2 , v 3 ) = v 1 i + v 2 j + v 3 k.
x
y
z
i
j
k
v
v 2 v^1
v 3
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Producto escalar
Definici ´on (Producto escalar)
Dados dos vectores u = (u 1 , · · · , un) y v = (v 1 , · · · , vn) de Rn, se define el producto escalar de u y v como
u · v = u 1 v 1 + · · · + unvn.
Ejemplo Sean u = (3, 1) y v = (2, 3) dos vectores en R^2 , entonces
u · v = 3 · 2 + 1 · 3 = 9.
Se cumple que u · v = | u || v | cos α donde α es el ´angulo que forman los vectores.
Vectores paralelos
Definici ´on (Vectores paralelos)
Dos vectores u y v son paralelos si existe un valor a ∈ R tal que
u = a v.
Ejemplos Los vectores u = (− 4 , 2) y v = (2, −1) en R^2 son paralelos, ya que
v = (− 4 , 2) = −2(2, −1) = − 2 v.
Curso B ´asico de C ´alculo 15
Vectores ortogonales y ortonormales
Definici ´on (Vectores ortogonales y ortonormales)
Dos vectores u y v son ortogonales si su producto escalar es nulo
u · v = 0.
Si adem ´as el m ´odulo de ambos vectores es la unidad | u | = | v | = 1 , entonces se dice que son ortonormales.
Los vectores ortogonales son perpendiculares entre s´ı, es decir, forman un angulo de´ 90 ◦. Ejemplos Los vectores u = (2, 1) y v = (− 2 , 4) en R^2 son ortogonales, ya que uv = 2 · − 2 + 1 · 4 = 0 , pero no son ortonormales ya que | u | =
22 + 12 , 1 y | v | =
Los vectores i = (1, 0) y j = (0, 1) en R^2 son ortonormales, ya que
ij = 1 · 0 + 0 · 1 = 0 , | i | =
12 + 02 = 1 , | j | =
Ecuaci ´on punto-pendiente de una recta en el plano
En el caso particular del plano cartesiano R^2 , si se tiene una recta con ecuaci ´on vectorial l : X = P + t v = (x 0 , y 0 ) + t(a, b) = (x 0 + ta, y 0 + tb), sus ecuaciones param ´etricas son
x(t) = x 0 + ta, y(t) = y 0 + tb
y sus ecuaci ´on cartesiana es
x − x 0 a
y − y 0 b
A partir de aqu´ı, pasando b multiplicando al otro lado de la ecuaci ´on, se obtiene y − y 0 =
b a
(x − x 0 ) o bien y − y 0 + m(x − x 0 ),
llamando m = b/a. Esta ecuaci ´on se conoce como ecuaci ´on en la forma punto-pendiente.
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Pendiente de una recta en el plano
Definici ´on (Pendiente de una recta)
Dada una recta l : X = P + t v en el plano real R^2 , con vector director v = (a, b), se define la pendiente de l como b/a.
Recordar que dados dos puntos Q = (x 1 , y 1 ) y Q = (x 2 , y 2 ) de la recta l, se puede tomar como vector director el vector que los une, que tiene coordenadas PQ~ = Q − P = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 ), de manera que la pendiente de l ser ´a
y 2 − y 1 x 2 − x 1
, es decir, el cociente entre lo que cambia la coordenada y y lo que cambia la coordenada x.
x
y
b Q
P b
PQ^ ~
x 1 x 2
y 1
y 2
x 2 − x 1
yy 22 −− yy 11
l
Ecuaci ´on del plano en el espacio real
Para llegar a la ecuaci ´on de un plano en el espacio real R^3 se puede partir de un punto del plano P = (x 0 , y 0 , z 0 ) y de un vector perpendicular al plano v = (a, b, c). Entonces, para cualquier punto del plano Q = (x, y, z) se cumple que el vector PQ~ = (x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) es ortogonal a v , por lo que su producto escalar se anular ´a
PQ^ ~ · v = (x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 )(a, b, c) = a(x − x 0 ) + b(y − y 0 ) + c(z − z 0 ) = 0.
P
Q
v
x
y
z
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Funciones reales de variable real
(^2) Funciones reales de variable real El concepto de funci ´on Dominio e imagen de una funci ´on Composici ´on e inversa de una funci ´on Crecimiento de una funci ´on Extremos de una funci ´on Concavidad de una funci ´on Funciones peri ´odicas Funciones polin ´omicas Funciones racionales Funciones potenciales Funciones exponenciales Funciones logar´ıtmicas Funciones trigonom ´etricas
La funci ´on Identidad
Definici ´on (Funci ´on Identidad)
Se llama funci ´on identidad, a toda funci ´on Id : A → A que asocia cada elemento de A con sigo mismo, es decir,
Id(x) = x.
1
2
− 1
− 2
− 2 − 1 1 2
f (x) = x
Curso B ´asico de C ´alculo 25
Dominio de una funci ´on
Definici ´on (Dominio de una funci ´on)
El dominio de una funci ´on f es el conjunto de valores para los que la funci ´on est ´a definida
Dom(f ) = {x ∈ R : f (x) ∈ R}
Ejemplo
1
2
3
− 3 − 2 − 1 1 2 3
f (x) =
x^2 − 1
Dom(f ) = (−∞, −1) ∪ (1, ∞)
Imagen de una funci ´on
Definici ´on (Imagen de una funci ´on)
La imagen de una funci ´on f es el conjunto de valores que la funci ´on puede tomar Img(f ) = {y ∈ R : y = f (x) para alg ´un x ∈ R}
Ejemplo
1
2
− 1
− 2
− 2 − 1 1 2
f (x) = x^2 − 2
Img(f ) = [− 2 , ∞)
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Composici ´on de funciones
Definici ´on (Composici ´on de funciones)
Dadas dos funciones g : A → B y f : B → C, se define la funci ´on compuesta f ◦ g, (le´ıdo g compuesto con f ) como la funci ´on
f ◦ g : A −→ C x −→ f (g(x))
Para calcular la funci ´on compuesta f ◦ g(x), primero se aplica g sobre x y luego, se aplica f sobre g(x):
x
g −→ g(x)
f −→ f (g(x))
Ejemplo Si g(x) =
x y f (x) = sen x, entonces
f ◦ g(x) = f (g(x)) = f (
x) = sen
x.
¿Cu ´al es su dominio?
Extremos de una funci ´on
Definici ´on (M ´aximo y m´ınimo relativo)
Se dice que una funci ´on f tiene un m ´aximo relativo en x 0 , si existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ (x 0 − δ, x 0 + δ) se cumple f (x 0 ) ≥ f (x). Se dice que una funci ´on f tiene un m´ınimo relativo en x 0 , si existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ (x 0 − δ, x 0 + δ) se cumple f (x 0 ) ≤ f (x).
x x 0
f (x 0 )
f (x)
≤
( x 0 − δ
) x 0 + δ
b
M ´aximo
x x 0
f (x 0 )
f (x) ≤
( x 0 − δ
) x 0 + δ
b
M´ınimo
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Concavidad de una funci ´on
Definici ´on (Funci ´on c ´oncava y convexa)
Se dice que una funci ´on f es c ´oncava en un intervalo I, si para todo x 1 , x 2 ∈ I, con x 1 < x 2 , se cumple que el segmento que une los puntos (x 1 , f (x 1 )) y (x 2 , f (x 2 )) queda por encima de la gr ´afica de f. Se dice que una funci ´on f es convexa en un intervalo I, si para todo x 1 , x 2 ∈ I, con x 1 < x 2 , se cumple que el segmento que une los puntos (x 1 , f (x 1 )) y (x 2 , f (x 2 )) queda por debajo de la gr ´afica de f. Al punto donde cambia la concavidad de una funci ´on se le llama punto de inflexi ´on.
x 1 x 2
f (x 1 )
f (x 2 )
Funci ´on c ´oncava
x 1 x 2
f (x 1 ) f (x 2 )
Funci ´on convexa
Funciones peri ´odicas
Definici ´on (Funci ´on peri ´odica y periodo)
Se dice que una funci ´on f es peri ´odica si existe un valor h > 0 tal que
f (x + h) = f (x)
para todo x ∈ Dom(f ). Al menor valor de h que verifica la igualdad anterior se le llama periodo de f , y a la diferencia entre el m ´aximo y el m´ınimo de la funci ´on se le llama amplitud de f.
Periodo
Amplitud
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Funciones polin ´omicas
Definici ´on (Funci ´on polin ´omica)
Una funci ´on polin ´omica es una funci ´on de la forma
f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + · · · + anxn,
donde n es un entero no negativo que se llama grado del polinomio, y a 0 ,... , an son constantes reales (an , 0 ) que se llaman coeficientes del polinomio.
1
2
3
− 1
− 2 − 1 1 2
f (x) = 2 x^2 + x − 1
g(x) = x^3 − x^2 − 2 x + 2
Propiedades de las funciones racionales
Su dominio es R menos las ra´ıces del polinomio del denominador. En estos puntos suele haber as´ıntotas verticales. La tendencia en ∞ y −∞ depende del grado del numerador y del denominador. Si f (x) =
a 0 + · · · + anxn b 0 + · · · + bmxm^
, entonces Si n > m → f (±∞) = ±∞. Si n < m → f (±∞) = 0. Si n = m → f (±∞) =
an bm .
Los polinomios son casos particulares de funciones racionales. Pueden descomponerse en suma de fracciones simples.
Curso B ´asico de C ´alculo 37
Funciones potenciales
Definici ´on (Funci ´on potencial)
Una funci ´on potencial es una funci ´on de la forma
f (x) = xr,
donde r es un n ´umero real.
1
2
− 1
− 2
− 2 − 1 1 2
f (x) = x^1 /^2 =
√ x f (x) = x^1 /^3 = 3 √ x
f (x) = x^5 /^3
Propiedades de las funciones potenciales
Si el exponente es un n ´umero racional n/m, entonces
xn/m^ =
√m xn.
Estas funciones se llaman irracionales. En este caso, si m es impar el dominio es R, si m es par el dominio es R+. Todas pasan por el punto (1, 1). El crecimiento depende del exponente. Si x > 0 entonces: Exponente positivo ⇒ funci ´on creciente. Exponente negativo ⇒ funci ´on decreciente. Adem ´as, si f (x) = xr^ y g(x) = xs, entonces: Si r < s ⇒ f (x) > g(x) si 0 < x < 1 y f (x) < g(x) si x > 1. Si r > s ⇒ f (x) < g(x) si 0 < x < 1 y f (x) > g(x) si x > 1. Los polinomios de la forma f (x) = xn^ son un caso particular de funciones potenciales.
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Funciones exponenciales
Definici ´on (Funci ´on exponencial)
Una funci ´on exponencial de base a es una funci ´on de la forma
f (x) = ax,
donde a es un valor real positivo distinto de 1.
1
2
3
− 2 − 1 1 2
f (x) = 0 , 5 x f (x) = 2 x
f (x) = ex
