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La fórmula de Euler
(realción entre la función exponencial y las funciones trigonométricas)
La fórmula de Euler es la base para poder evaluar la función exponencial en cualquier núme- ro complejo. Dicha fórmula nos dice que la exponencial de un complejo imaginario puro es un número complejo cuyas partes real e imaginaria estéan dadas respectivamente por las funciones trigonométricas coseno y seno. Concretamente la fórmula de Euler establece que para cualquier número real θ , ei θ^ = cos θ + i sen θ.
Usando esta fórmula y las leyes de los exponentes se calcula fácilmente la exponencial de cual- quier número complejo z = x + yi:
ez^ = ex+yi^ = ex^ eyi^ = ex^ (cos y + i sen y)
La función exponencial
La función exponencial se puede definir de varias formas equivalentes, pero la forma fun- damental de calcularla es mediante la serie de potencias que aparece en la siguiente fórmula:
ex^ =
∞
n= 0
xn n!
= 1 + x + 12 x^2 + 16 x^3 + · · · (1)
Esta fórmula es la serie de Taylor de la función exponencial y se explica y se demuestra en los cursos de cálculo infinitesimal. Aquí sólo la usaremos con fines ilustrativos y como motivación. En cualquier caso es importante que el estudiante se familiarize con ella y con los razonamien- tos que haremos con ella a continuación ya que esto será de enorme ayuda en muchas otras asignaturas.
De la función exponencial a la fórmula de Euler
Si en la serie de Taylor (1) de la función exponencial se pone como x un imaginario puro, x = i θ , entonces, debido a que in^ = ±1 para n par e in^ = ±i para n impar, todos los términos de grado par en x son números reales y los de grado impar, imaginarios. En consecuencia la serie se separa en dos partes dando lugar a una suma de dos series, una todos cuyos términos son reales y la otra todos cuyos términos son imaginarios:
ei θ^ =
∞
n= 0
(i θ )n n!
1 + 12 (i θ )^2 + · · ·
i θ + 16 (i θ )^3 + · · ·
1 − 12 θ^2 + · · ·
θ − 16 θ^3 + · · ·
= a + b i.
1 Versión de 20 de marzo de 2017, 1:32 h.
Así obtenemos dos series de números reales que definen sendos números a = 1 − 12 θ^2 + · · · y
b = θ − 16 θ^3 + · · · , los cuales son, por tanto, las partes real e imaginaria de ei θ^. Se demuestra en los cursos de Cálculo que la serie de a es la serie de Taylor de la función coseno y que la de b es la serie de Taylor de la función seno, de forma que se llega a la conclusión de que las partes real e imaginaria de ei θ^ son a = cos θ y b = sen θ ; es decir, se llega a la fórmula de Euler:
ei θ^ = cos θ + i sen θ.
Esta fórmula tiene una enorme importancia en las aplicaciones de los números complejos. Su demostración se basa únicamente en la ecuación i^2 = −1 y en las series de Taylor de las funciones seno, coseno y exponencial. Vamos a ver ahora otras formas sencillas de deducirla sin recurrir a las series de Taylor.
Deducciones elementales de la fórmula de Euler
Primera:
Consideremos la función f (t) = cos t + i sen t. (2)
Vamos a ver que esta función se puede expresar también en términos de la función exponencial. Aplicando a f (t) las reglas del cálculo de derivadas:
f ′(t) = − sen t + i cos t = i^2 sen t + i cos t = i(i sen t + cos t) = i f (t). (3)
Esto significa que la función f (t) tiene las propiedades
f ( 0 ) = 1 ,
f ′(t) f (t) = i,
de donde, integrando de 0 a θ , ∫ (^) θ
0
f ′(t) f (t)
dt =
∫ (^) θ
0
i dt , [ln f (t)] θ 0 = i[t] θ 0 , ln f ( θ ) = i θ , f ( θ ) = ei θ^ ,
es decir: ei θ^ = cos θ + i sen θ.
Segunda:
La siguiente demostración es parecida a la anterior pero sólo usa las reglas de derivación. Consideremos la función
f (t) =
cos t + i sen t eit^
Vamos a ver que esta función es una función constante calculando su derivada y viendo que es cero. Aplicando a f (t) las reglas del cálculo de derivadas:
f ′(t) =
(− sen t + i cos t)eit^ − (cos t + i sen t)ieit eiteit^
− sen t + i cos t − (i cos t − sen t) eit =
− sen t + i cos t − i cos t + sen t eit^
Puesto que f (t) es una función constante, su valor es para todo t igual a su valor en t = 0, pero f ( 0 ) = cos 0+ eii 0 sen 0= 1 + 1 i ·^0 = 1, luego f (t) = 1 para todo t, o sea: cos t + i sen t eit^
que es equivalente a la fórmula de Euler.
Una identidad famosa
Un caso particular de la fórmula de Euler que es especialmente famoso es el que se obtiene al poner θ = π teniendo en cuenta que cos π = −1 y sen π = 0. Entonces se obtiene:
e π i^ = −1 , que se puede reescribir como: e π i^ + 1 = 0.
Esta última es una expresión en la que los cinco números más importantes de las matemáticas están relacionados entre sí mediante las tres operaciones fundamentales de la aritmética (sumar, multiplicar y elevar a una potencia).
2 Ejercicio de tarea. Deducir la ecuación (8) a partir de la fórmula de Euler teniendo cuidado en considerar que z es un número complejo cualquiera, no sólo un imaginario puro.
3 Ejercicio de tarea. Evalúa la función exponencial, ez, en los siguientes números complejos:
(a) z =
π 3 i , (b) z = ln 2 +
π 4 i +^12 Solución: (a) (^3) √ , (b)i^2 √
.)i + 1 ( 2
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