Problema 25
Si p es primo, demuéstrese que
q
(
x
)
=1+x+x2+⋅⋅⋅+xp−1
es irreducible en
Q
[
X
]
.
Prueba:
Dado que p es un primo
Tenemos
q
(
x
)
=xp−1+xp−2+⋅⋅⋅+x2+x+1
q
(
x
)
=
(
x−1
)
(
xp−1+xp−2+⋅⋅⋅+x2+x+1
)
(
x−1
)
q
(
x
)
=xp+xp−1+⋅⋅⋅+x−xp−1−xp−2−⋅⋅ ⋅−x2−x−1
(
x−1
)
q
(
x
)
=xp−1
x−1
Digamos que si
q
(
x+1
)
=
(
x+1
)
p−1
x+1−1
es irreducible entonces
q
(
x
)
=xp−1
x−1
también lo será.
¿Por qué podemos decir esto? Bueno si nos damos un
f
(
x
)
∈F
[
x
]
y un
c∈F
y
f(x+c)
es
irreducible en
F
[
x
]
, entonces
f(x)
es irreducible en
F
[
x
]
Hagamos una pequeña prueba
Supongamos que
f
(
x
)
es reducible entonces no existe un polinomio constante
g
(
x
)
, h
(
x
)
∈F
[
x
]
tal que
f
(
x
)
=g
(
x
)
h
(
x
)
entonces tenemos que
f
(
x+c
)
=g
(
x+c
)
h
(
x+c
)
.
Notemos que
g
(
x+c
)
y h
(
x+c
)
tienen el mismo grado respectivamente y estos en particular son
polinomios no constantes.
Por lo que la suposición que
f
(
x
)
es reducible es incorrecta.
Por lo tanto, nos podemos dar un
g
(
x
)
=q
(
x+1
)
=
(
x+1
)
p−1
x+1−1
g
(
x
)
=
(
x+1
)
p−1
x+1−1
g
(
x
)
=
(
x+1
)
p−1
x
g
(
x
)
=1
x
[
(
x+1
)
p−1
]
