Matemáticas I. Tema 3. Funciones reales de varias variables reales.
Derivabilidad parcial.
Una variable
)(xfy (Función derivada) x
xfxxf
xf
dx
df
yx
)()(
lim)(' 0
'
Se dice que f(x) es derivable en x=a si )(
'af .
Dos variables
),( yxfz (¿Fun. derivada?)
y
yxfyyxf
yxf
y
z
zz
x
yxfyxxf
yxf
x
z
zz
y
yyy
x
xxx
),(),(
lim),(
),(),(
lim),(
0
''
0
''
(Derivadas parciales)
Se dice que f(x,y) es derivable (parcialmente) en (a,b) si existen sus derivadas parciales y son finitas (
),(,),( '' bazbaz yx ).
Derivadas de primer orden. '' yx zz .
Derivadas de segundo orden
Notación: ),( yxfz .
1. x
yxzyxxz
x
z
x
z
x
zz xx
x
xxxx
),(),(
lim ''
0
2
2
'' .
2. .
2
''
xy
z
x
z
y
zz xyxy
3. .
2
''
yx
z
y
z
x
zz yxyx
4. .
2
2
''
y
z
y
z
y
zz yyyy
1ª versión del Teorema de Schwartz. Si ),( yxfz
es continua y tiene derivadas parciales continuas
'
x
z, '
y
z, ''
xy
z, ''
yx
z, entonces '''' yxxy zz .
Regla para derivar.
Para derivar funciones de varias variables, en la práctica se utilizan las mismas reglas que en funciones
de una variable. Salvo en los puntos frontera (función definida a trozos) en los que aplicamos la
definición.
Por ejemplo: Sea ),( yxfz y supongamos que queremos hallar la derivada parcial de f con
respecto a
x
. Esta derivada parcial será la función obtenida al derivar f con respecto a
x
, tomando
y
como constante y utilizando las reglas de una variable.
Relaciones entre continuidad y derivabilidad (parcial).
Una variable.
Si )(xf es derivable )(xf es continua.
En general, si )(xf es continua no implica que )(xf sea derivable.
Varias variables. En general:
Si f es derivable (parcialmente) no implica que f es continua.
Si f es continua no implica que f es derivable (parcialmente).
