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4. Derivabilidad^1
Una funci´on f es derivable en un punto a de su dominio si existe el l´ımite
f ′(a) = l´ım x→a
f (x) − f (a) x − a
= l´ım h→ 0
f (a + h) − f (a) h
y es un n´umero real. El n´umero f ′(a) se denomina derivada de f en a. Si f es derivable en a, entonces f es continua en a. El rec´ıproco no es cierto: hay funciones continuas en un punto no derivables en ese punto. Geom´etricamente, la derivabilidad de f en a significa la existencia de la recta tangente a la gr´afica de la funci´on f en el punto (a, f (a)); en este caso, la ecuaci´on de la recta tangente es y = f (a) + f ′(a)(x − a).
As´ı pues, f ′(a) es la pendiente de la recta tangente a la gr´afica de f en el punto (a, f (a)). La funci´on correspondiente a la tangente x 7 → f (a)+f ′(a)(x−a) es una funci´on polin´omica de primer grado que aproxima la funci´on f cerca del punto a. Las siguientes propiedades expresan el comportamiento de la derivaci´on respecto a las operaciones.
Si f y g son derivables en a, entonces f + g es derivable en a y
(f ± g)′(a) = f ′(a) ± g′(a).
Si f y g son derivables en a, entonces f g es derivable en a y
(f g)′(a) = f ′(a)g(a) + f (a)g′(a).
Si f y g son derivables en a y g(a) 6 = 0, entonces
(f /g)′(a) = (f ′(a)g(a) − f (a)g′(a))/g(a)^2.
(Regla de la cadena) Si f es derivable en a y g es derivable en f (a), entonces g ◦ f es derivable en a y (g ◦ f )′(a) = g′(f (a))f ′(a).
Sea f una funci´on de dominio D y sea D′^ el conjunto de puntos de D en los que la funci´on f es derivable. La funci´on f ′^ : D′^ → R que hace corresponder a cada punto x ∈ D′^ el valor f ′(x) de la derivada de f en x se denomina funci´on derivada o derivada de f. Si f ′ es tambi´en una funci´on derivable, su derivada se denota por f ′′^ y se denomina segunda derivada de f. Recurrentemente, la n-´esima derivada de f , denotada f (n), es la derivada de la funci´on f (n−1).
(^1) Extracto del libro “C´alculo para Ingenier´ıa inform´atica”, por Jos´e A. Lubary y Josep M. Brunat, Edicions UPC Temes Clau 08, 2008
Tabla de derivadas
Para facilitar consultas, incluimos una tabla con las derivadas de las funciones elementales. En ella, f (x) es de la forma f (x) = g(u(x)) para ciertas funciones u y g. Impl´ıcitamente, se suponen las condiciones de existencia y derivabilidad de las funciones involucradas.
f f ′
k 0 (k ∈ R)
uk^ kuk−^1 u′^ (0 6 = k ∈ R)
loga u u′/(u ln a) (a > 0)
au^ u′au^ ln a (a > 0)
sen u u′^ cos u
cos u −u′^ sen u
tan u u′/ cos^2 u
arc sen u u′/
1 − u^2
f f ′
arc cos u −u′/
1 − u^2
arctan u u′/(1 + u^2 )
senh u u′^ cosh u
cosh u u′^ senh u
tanh u u′/ cosh^2 u
arg senh u u′/
u^2 + 1
arg cosh u u′/
u^2 − 1
arg tanh u u′/(1 − u^2 )
Funciones potenciales-exponenciales
Las funciones del tipo f (x) = u(x)v(x), donde u y v son funciones, se denominan potenciales-exponenciales. Para calcular la derivada de f (x) = u(x)v(x)^ se utiliza la llamada derivaci´on logar´ıtmica. Supongamos que u y v son funciones derivables y que f (x) = u(x)v(x)^ toma valores positivos. Tomando logaritmos, obtenemos ln f (x) = v(x) ln u(x). Derivando ambos miembros de la igualdad, se obtiene
f ′(x) f (x)
= v′(x) ln u(x) + v(x)
u′(x) u(x)
de donde f ′(x) = u(x)v(x)v′(x) ln u(x) + v(x)u(x)v(x)−^1 u′(x).
Una regla mnemot´ecnica para recordar la f´ormula anterior consiste en derivar f (x) = u(x)v(x)^ primero como si u(x) fuera constante, lo que da el primer sumando, y despu´es como si v(x) fuera constante, lo que da el segundo sumando.
Monoton´ıa
Sea f una funci´on e I un intervalo (de cualquier tipo) contenido en el dominio de f.
La funci´on f es creciente (resp. estrictamente creciente) en I si, para todo x 1 , x 2 ∈ I, x 1 < x 2 implica f (x 1 ) ≤ f (x 2 ) (resp. f (x 1 ) < f (x 2 )). La funci´on f es decreciente (resp. estrictamente decreciente) en I si, para todo x 1 , x 2 ∈ I, x 1 < x 2 implica f (x 1 ) ≥ f (x 2 ) (resp. f (x 1 ) > f (x 2 )). Se dice que la funci´on f es mon´otona en I si es creciente o decreciente en I, y estrictamente mon´otona si es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en I.
Si f es derivable en I, la relaci´on entre f ′^ y la monoton´ıa de f en I se deduce del teorema del valor medio y es la siguiente:
Si f ′(x) > 0 para todo x ∈ I, entonces f es estrictamente creciente en I.
Si f ′(x) < 0 para todo x ∈ I, entonces f es estrictamente decreciente en I.
Si f es creciente en I, entonces f ′(x) ≥ 0 para todo x ∈ I.
Si f es decreciente en I, entonces f ′(x) ≤ 0 para todo x ∈ I.
Extremos relativos
Sea f una funci´on y a un punto de su dominio. La funci´on f tiene un m´aximo relativo en a si existe un entorno U de a tal que f (x) ≤ f (a) para todo x ∈ U. La funci´on f tiene un m´ınimo relativo en a si existe un entorno U de a tal que f (a) ≤ f (x) para todo x ∈ U. Un extremo relativo es un m´aximo o un m´ınimo relativo.
Ciertas condiciones de derivabilidad sobre f dan unas condiciones necesarias y otras suficientes de existencia de extremos relativos.
Si f tiene un extremo relativo en a y existe f ′(a), entonces f ′(a) = 0.
Si f ′(a) = 0 y f ′′(a) > 0, entonces f tiene un m´ınimo relativo en a.
Si f ′(a) = 0 y f ′′(a) < 0, entonces f tiene un m´aximo relativo en a.
Si f ′(a) = 0 y existe δ > 0 tal que para todo x con a−δ < x < a se cumple f ′(x) < 0 y para todo x con a < x < a + δ se cumple f ′(x) > 0, entonces f tiene un m´ınimo relativo en a.
Si f ′(a) = 0 y existe δ > 0 tal que para todo x con a−δ < x < a se cumple f ′(x) > 0 y para todo x con a < x < a + δ se cumple f ′(x) < 0, entonces f tiene un m´aximo relativo en a.
Convexidad
Sea I un intervalo contenido en el dominio de una funci´on f. La funci´on f es convexa^2 en I si, para todo a, x, b ∈ I, con a < x < b, se cumple
f (x) − f (a) x − a
f (b) − f (a) b − a
An´alogamente, la funci´on f es c´oncava en I si, para todo a, x, b ∈ I, con a < x < b, se cumple f (x) − f (a) x − a
f (b) − f (a) b − a
Las condiciones (1) y (2) pueden escribirse equivalentemente:
f (x) < f (a) +
f (b) − f (a) b − a
(x − a), f (x) > f (a) +
f (b) − f (a) b − a
(x − a).
En ambas desigualdades, el t´ermino de la derecha corresponde a una funci´on cuya gr´afica es la recta que pasa por los dos puntos (a, f (a)) y (b, f (b)). As´ı pues, geom´etricamente, la funci´on f es convexa o c´oncava en I, seg´un que la gr´afica de la funci´on en cada intervalo [a, b] ⊆ I quede por debajo o por encima del segmento de extremos (a, f (a)) y (b, f (b)). En el caso de funciones derivables, la convexidad o concavidad se relacionan con las derivadas como sigue. Sea f una funci´on derivable en un intervalo I. Entonces:
Si f es convexa en I, se cumple f (x) > f (a) + f ′(a)(x − a) para todo a, x ∈ I, x 6 = a.
Si f es c´oncava en I, se cumple f (x) < f (a) + f ′(a)(x − a) para todo a, x ∈ I, x 6 = a.
Geom´etricamente, las condiciones anteriores aseguran que si f es convexa (resp. c´oncava), la tangente en todo punto de la gr´afica queda por debajo (resp. por encima) de la funci´on.
El criterio m´as usual de convexidad o concavidad es el siguiente. Sea f una funci´on tal que existe f ′′^ en un intervalo I.
Si f ′′(x) > 0 para todo x ∈ I, entonces f es convexa en I.
Si f ′′(x) < 0 para todo x ∈ I, entonces f es c´oncava en I.
Sean f una funci´on y a un punto de su dominio tal que existe un entorno (a − δ, a + δ) de a contenido en el dominio de f. Si f es convexa en (a − δ, a) y c´oncava en (a, a + δ), o bien c´oncava en (a − δ, a) y convexa en (a, a + δ), se dice que a es un punto de inflexi´on de la funci´on. Tenemos la condici´on necesaria siguiente:
Si a es un punto de inflexi´on de f y en un entorno de a existe f ′′^ y es continua, entonces f ′′(a) = 0. (^2) En algunos libros, se denomina funci´on c´oncava a la que aqu´ı definimos como convexa y viceversa. La definici´on que hemos adoptado se corresponde con sus generalizaciones en m´ultiples contextos matem´aticos.
