Cálculo de Varias Variables: Derivada Direccional y Gradiente, Apuntes de Cálculo Avanzado

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Cálculo de Varias

Variables

FACULTAD DE INGENIERÍA

Cómo el conocimiento de la derivada direccional y el

gradiente llevó a Ana a ser una líder en la IA

• Había una vez una joven llamada Ana, que desde temprana edad mostró gran interés por las matemáticas. Con el tiempo, Ana se especializó en el campo de la ingeniería y decidió estudiar en una de las mejores universidades del mundo.
• Durante sus estudios, Ana descubrió el concepto de gradiente y derivada direccional, herramientas matemáticas que le permitieron comprender la forma en que los objetos cambian con respecto al tiempo y a diferentes direcciones. Ana quedó fascinada por la forma en que el gradiente y la derivada direccional permitían a los ingenieros predecir y optimizar el comportamiento de los objetos y sistemas en una variedad de campos.
• Con el tiempo, Ana se especializó en el campo de la inteligencia artificial y descubrió que el conocimiento del gradiente y la derivada direccional era fundamental para el desarrollo de algoritmos de aprendizaje automático. Ana y su equipo utilizaron el gradiente y la derivada direccional para entrenar redes neuronales y algoritmos de aprendizaje profundo, mejorando significativamente su eficiencia y precisión.
• Pero no siempre fue fácil. Ana enfrentó muchos desafíos y obstáculos en su camino hacia el éxito. Tuvo que trabajar duro y superar la adversidad, incluyendo una vez cuando su equipo luchaba para hacer que una red neuronal funcionara correctamente.
• Pero Ana no se rindió. Con determinación y perseverancia, finalmente descubrió que el problema era un cálculo incorrecto de la derivada direccional. Después de corregir el error, la red neuronal comenzó a funcionar a la perfección.
• Con su experiencia en la ingeniería y la inteligencia artificial, Ana se convirtió en una líder en su campo, y su trabajo tuvo un impacto significativo en el mundo. Con la ayuda del gradiente y la derivada direccional, Ana y su equipo desarrollaron nuevas aplicaciones de IA que mejoraron la atención médica, la movilidad urbana y la seguridad en las ciudades. Gracias a su pasión y conocimiento, Ana pudo utilizar estas herramientas matemáticas para crear tecnologías que transformaron la forma en que vivimos y trabajamos.

DIRECCIÓN DE ESTUDIOS GENERALES En cada caso calcule la derivada direccional de 𝑓 en el punto 𝑃 dado y en la dirección del vector 𝑣Ԧ indicada. a) 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥²𝑦 + 𝑥

𝑦², en 𝑃( 1 ; − 2 ), 𝑣Ԧ = (− 3 ; 6 ). b) 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥

• 𝑦

, en 𝑃( 1 ; 1 ) hacia el punto 0 ; 0. c) 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥

− 𝑥𝑒

3 , en 𝑃(− 1 ; 0 ) , 𝑣Ԧ forma un ángulo de

radianes con el semieje positivo 𝑋. Solución

Propiedades del gradiente de una función de varias variables Derivada direccional de una función de dos variables CONTENIDOS

Propiedades del gradiente Sabemos que para una función diferenciable 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ 𝑛 → ℝ se cumple: 𝑫𝒖𝒇 𝒙𝟎 = 𝛁𝒇 𝒙𝟎 ∙ 𝒖 𝜽 𝛁𝒇 𝒙𝟎 𝒖

Si 𝜃 es el ángulo que forman los vectores 𝛻𝑓(𝑥 0 ) y 𝑢 entonces:

𝛻𝑓 𝑥 0 ⋅ 𝑢 = 𝛻𝑓 𝑥 0 𝑢 cos 𝜃

de donde

Geométricamente: 𝜽

Propiedades del gradiente Así tenemos que el gradiente determina dos regiones: 𝜽 𝛁𝒇 𝒙𝟎 𝒖 (^) Vector dirección Vector gradiente Región donde 𝑓 tiende a crecer 𝑫𝒖𝒇 > 0 Región donde 𝑓 tiende a decrecer 𝑫𝒖𝒇 < 0

Propiedades del gradiente Sea 𝑓 una función diferenciable en el punto (𝑥; 𝑦)

1. Si 𝛻𝑓 𝑥; 𝑦 = 0 entonces 𝐷𝒖𝑓(𝑥; 𝑦) = 0 para todo 𝒖 ∈ ℝ 2 .
2. La dirección de máxima tasa de cambio de crecimiento de 𝑓 está dada por 𝛻𝑓 𝑥; 𝑦 y el valor máximo de 𝐷𝒖𝑓(𝑥; 𝑦) es 𝛻𝑓(𝑥; 𝑦).
3. La dirección de máxima tasa de cambio de decrecimiento de 𝑓 está dada por − 𝛻𝑓 𝑥; 𝑦 y el valor mínimo de 𝐷𝒖𝑓(𝑥; 𝑦) es − 𝛻𝑓(𝑥; 𝑦).
4. El vector gradiente 𝛻𝑓 𝑥; 𝑦 es perpendicular a la curva de nivel que pasa por el punto 𝑥; 𝑦.

CASO PARA QUE ANALICE EL ESTUDIANTE Suponga que una montaña tiene forma de un paraboloide elíptico 𝑧 = 1 , 2 − 𝑥 2 − 2 𝑦 2 , donde 𝑥 e 𝑦 son las coordenadas este-oeste y norte-sur, y 𝑧 es la altitud sobre el nivel del mar (𝑥, 𝑦 y 𝑧 están medidas en kilómetros). a) Calcule la rapidez de cambio de la altitud en el punto 0 , 5 ; 0 , 5 en la dirección hacía el punto A − 1 ; 1. b) Determine la dirección en la que aumenta más rápido la altitud en el punto 0 , 5 ; 0 , 5. c) Si se suelta una canica en 0 , 5 ; 0 , 5 ; 0 , 45 , ¿en qué dirección comenzará a rodar? d) Determine la máxima rapidez de aumento de la altitud en el punto 0 , 5 ; 0 , 5. Solución

CASO PARA QUE ANALICE EL ESTUDIANTE PASO 4 : Calculamos la derivada direccional: 𝐷𝑢𝑓 𝑃 = − 1 ; − 2 ⋅

Es decir, la altitud aumenta en 1 10 = 0 , 316 kilómetros por cada kilómetro que se avance en la dirección 𝑢 b) PASO 1: La dirección en la que aumenta más rápido la altitud a partir del punto ( 0 , 5 ; 0 , 5 ) es la dirección dada por el gradiente de la función que representa la altitud en el punto ( 0 , 5 ; 0 , 5 ). 𝛻𝑓 𝑃 = − 1 ; − 2 (ya calculado en el paso anterior) PASO 2 : Calculamos la dirección unitaria: 𝑢𝑚𝑎𝑥 =

= −

;

𝒖𝒎𝒂𝒙 𝑷

CASO PARA QUE ANALICE EL ESTUDIANTE c) PASO 1 : Analicemos la situación. Para que la canica comience a rodar desde el punto (0,5;0,5;0,45), ésta deberá seguir la dirección donde la altura disminuya lo más rápidamente posible, es decir la dirección de máxima tasa de cambio de decrecimiento, la cual esta dada por el negativo del gradiente en el punto 𝑃 = ( 0 , 5 ; 0 , 5 ) −𝛻𝑓 𝑃 = 1 ; 2 (ya calculado en el item a) PASO 2 : Calculamos la dirección unitaria: 𝑢𝑚𝑖𝑛 =

𝑷 𝒖𝒎𝒊𝒏 (𝟎, 𝟓; 𝟎, 𝟓; 𝟎, 𝟒𝟓)

Derivadas parciales de segundo orden

Sea la función 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥

𝑦

− sen (𝑥𝑦) Derivadas parciales de orden uno: 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 3 𝑥 2 𝑦 4 − 𝑦cos(𝑥𝑦) 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 4 𝑥 3 𝑦 3 − 𝑥cos(𝑥𝑦) Derivadas parciales de orden dos: 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 6 𝑥𝑦 4

• 𝑦 2 sen(𝑥𝑦) 𝜕 𝜕𝑦 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 12 𝑥 2 𝑦 3 − cos 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦sen(𝑥𝑦) 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 12 𝑥 2 𝑦 3 − cos 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦sen(𝑥𝑦) 𝜕 𝜕𝑦 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 12 𝑥 3 𝑦 2
• 𝑥 2 sen(𝑥𝑦) NOTACION 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑥 2 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕 2 𝑓 𝜕𝒚 𝟐 Derivadas parciales de orden dos

EJEMPLO Una función es llamada armónica cuando satisface la ecuación 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑥 2

𝜕 2 𝑓 𝜕𝑦 2 = 0 en todo su dominio. Demuestre que la función 𝑓 𝑥; 𝑦 = ln 𝑥 2

• 𝑦 2 es armónica. Solución

Teorema de Schwarz: Igualdad de las derivadas parciales mixtas Sea 𝑓: 𝑈 ⊂ ℝ 𝑛 → ℝ una función definida en el abierto 𝑈 y 𝑥 0 ∈ 𝑈. Si para todo 𝑖, 𝑗 ∈ 1 ; 2 ; … ; 𝑛 con 𝑖 ≠ 𝑗 se cumple que:

• Existen 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑥𝑗𝜕𝑥𝑖 𝑥 ; ∀ 𝑥 ∈ 𝑈.
• La función 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑥𝑗𝜕𝑥𝑖 : 𝑈 → ℝ es continua en 𝑥 0 . Entonces se cumple la igualdad: 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑖 𝑥 0 = 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑗 𝑥 0 ; ∀ 𝑖 ≠ 𝑗