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290 SOLUCIONARIO
© Grupo Editorial Bruño, S.L.
Cálculo
de derivadas
■ Piensa y calcula
Calcula mentalmente sobre la primera gráfica del margen: a) la pendiente de la recta secante, r, que pasa por A y B b) la pendiente de la recta tangente, t, en el punto A
Solución: a) 1 b) 1/
1. La derivada 1. Calcula la tasa de variación media de las siguientes fun- ciones en el intervalo que se indica: a) f(x) = 2 – 3x en [1, 2] b) f(x) = x 2 – 4 en [2, 3] c) f(x) = en [2, 4]
d) f(x) = en [–1, 2] Solución: a) –3 b) 5 c) –1/15 d) 1/
2. Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de las siguientes funciones en los valores que se indican: a) f(x) = 5 en x = 2 b) f(x) = x en x = 5 c) f(x) = 3x + 2 en x = 4 d) f(x) = 2x 2 en x = – Solución: a) 0 b) 1 c) 3 d) – 3. Aplica la definición de derivada y calcula: a) la derivada de f(x) = x 2 – 4x en x = 1 b) la ecuación de la recta tangente en el punto de abs- cisa x = 1 Representa la gráfica de f(x) y la recta tangente para x = 1 Solución: a) – b) y + 3 = –2(x – 1) ò y = –2x – 1
c)
4. Aplica la definición de derivada y calcula: a) la derivada de f(x) = en x = 4 b) la ecuación de la recta tangente en el punto de abs- cisa x = 4 Representa la gráfica de f(x) y la recta tangente para x = 4 Solución: a) 1/ b) y – 2 = (x – 4) ò y = x + 1 c) 5. La recta tangente a la gráfica de la función f(x) en el punto A(2, 1) pasa por el punto B(6, –1). Calcula el va- lor de f(2) y f'(2) Solución: f(2) = 1 f'(2) = –1 – 16 – 2 = –2 4 = –^12
Y
X
√x
Y
X
√x + 2
x + 1
● Aplica la teoría
Y
X
B A
r
t
2x – 15 y = —x – 6
TEMA 10. CÁLCULO DE DERIVADAS 291
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■ Piensa y calcula
a) Observando la función del margen, f(x) = |x^2 /2 – 2|, calcula las pendientes de las rec- tas tangentes r y s b) ¿Se puede dibujar una única recta tangente a la gráfica de la función f(x) en x = 2?
Solución: a) La pendiente de r es 2 La pendiente de s es – b) No, hay dos.
2. Continuidad y derivabilidad 6. Aplica la definición de derivada y calcula la función de- rivada de las siguientes funciones: a) f(x) = 7 b) f(x) = x – 2
c) f(x) = x 2 – x d) f(x) =
Solución: a) f'(x) = 0 b) f'(x) = 1 c) f'(x) = 2x – 1 d) f'(x) = –
7. Dada la gráfica de la función f(x) = , analiza si la función es derivable en x = 1
Solución: La función solo admitiría derivada por la derecha, puesto que la función no está definida para x < 1. La derivada por la derecha no existe porque, como se ve gráfica- mente, la tangente sería una recta vertical de ecuación x = 1. La pendiente de la recta sería +@. Luego no exis- te la derivada en x = 1
8. Dadas las gráficas de las funciones siguientes, analiza si dichas funciones son derivables en los puntos que se indican: a) f(x) = |x + 2| en x = –
b) g(x) = en x = 1
Solución: a) La función f(x) no es derivable en x = –2, ya que tiene un pico en ese valor. Las derivadas laterales son dis- tintas. f'(–2–) = –1 y f'(–2+) = 1 Por lo tanto, no es derivable. b) La función g(x) no es derivable en x = 1, ya que es discontinua en ese valor.
X
Y
X
Y
f(x) = |x + 2| g(x) = —x – 1^1
x – 1
X
Y
√x – 1
x^2
x
● Aplica la teoría
X
f(x) = (^) — – 2x 2 2
Y r s
TEMA 10. CÁLCULO DE DERIVADAS 293
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■ Piensa y calcula
Escribe la función valor absoluto f(x) = |x| como una función definida a trozos y represéntala. Solución:
f(x) = –xx si xsi x^ <Ó^00
4. Problemas de derivadas 38. Halla la función derivada de la función siguiente:
f(x) =
Solución:
f'(x) =
39. Dada la función f(x) =
justifica si f(x) es derivable en x = 3. ¿Cuál es el signifi- cado geométrico del resultado obtenido? Solución: a) La continuidad de la función f(3) = 4
ò f(x) = f(3) = 4
La función es continua en x = 3 b) La derivabilidad calculando las derivadas laterales
f'(x) =
f'(3 – )? f'(3 +) ò La función no es derivable en x = 3 La función es continua y no es derivable en x = 3; la función tiene en el punto de abscisa x = 3 un pico, y en ese punto se pueden dibujar dos tangentes.
40. Dada la función f(x) =
determina el valor de k para que la función sea deri- vable en x = 1 Solución: a) La continuidad de la función
ò 1 + k = 7 ò
ò k = 6 b) La derivabilidad calculando las derivadas laterales
f'(x) =
Para k = 6, la función es continua y las derivadas late- rales son iguales; luego la función es derivable en x = 1
41. Estudia la derivabilidad de la función f(x) = |x – 2| en x = 2 Solución:
f(x) =
f'(x) =
f'(2–)? f'(2+) ò f(x) no es derivable en x = 2
lím f'(x) = lím (–1) = – x 8 2 –^ x 8 2 – lím f'(x) = lím 1 = 1 x 8 2 +^ x 8 2 +
–1 si x < 2 1 si x > 2
–x + 2 si x Ì 2 x – 2 si x > 2
lím f'(x) = lím 2 = 2 x 8 1 –^ x 8 1 – lím f'(x) = lím 2x = 2 x 8 1 +^ x 8 1 +
2 si x < 1 2x si x > 1
lím f(x) = lím (2x + 5) = 7 x 8 1 –^ x 8 1 – lím f(x) = lím (x 2 + k) = 1 + k x 8 1 +^ x 8 1 +
2x + 5 si x Ì 1 x^2 + k si x > 1
f'(3 – ) = lím 0 = 0 si –3 < x < 3 x 8 3 – f'(3 +) = lím (–1) = –1 si 3 < x < 7 x 8 3 +
0 si –3 < x < 3 –1 si 3 < x < 7
x^ lím 8 3
lím f(x) = 4 x 8 3 – lím f(x) = 4 x 8 3 +
4 si –3 Ì x Ì 3 7 – x si 3 < x < 7
2 si x < 2 —^1 si x > 2 x
2x – 3 si x Ì 2 L x si x > 2
● Aplica la teoría
X
Y
294 SOLUCIONARIO
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Ejercicios y problemas
Preguntas tipo test
PA U
Calcula la tasa de variación media de la función: f(x) = sen (x) en el intervalo [0, π/2] 1 π/ 2/π 0 Halla la recta tangente a la función: f(x) = en el punto x = –1/ y = 4x + 4 y = 4x – 4 y = –4x – 4 y = –4x + 4 Halla la derivada de la función: y = e cos x y' = sen x e cos x y' = –cos x e cos x y' = sen x e sen x y' = –sen x e cos x Halla la derivada de la función: y = x x y' = x x(1 + L x) y' = x x(1 – L x) y' = x x(–1 + L x) y' = x x(–1 – L x) Halla los puntos de la curva de ecuación: y = x 3 – 2x 2 + 1 donde la recta tangente es paralela a la recta: y + x – 2 = 0 A(1, 0), B(1/3, 22/27) A(–1, 0), B(3, 22) A(0, 1), B(1, 3) A(–1, 0), B(–1/3, 5) Dada la función: f(x) = 9x + 6x 2 – x 4 halla los puntos en los que la recta tangente a la grá- fica de f(x) tiene pendiente 1 A(1, 4), B(–2, –26) A(–1, 4), B(–2, 26) A(–1, –4), B(2, 26) A(–1, 4), B(2, –26)
Dadas las funciones: f(x) = x 3 , g(x) = sen x calcula la derivada de (f ° g)(x) (f ° g)(x) = sen 3 x, (f ° g)'(x) = 3 cos x (f ° g)(x) = sen 3 x, (f ° g)'(x) = 3 sen 2 x cos x (f ° g)(x) = sen 3 x, (f ° g)'(x) = 3 cos 2 x cos x (f ° g)(x) = sen 3 x, (f ° g)'(x) = 3 cos 2 x sen x
Dada la función:
f(x) =
¿Es f(x) continua en x = –^? ¿Es f(x) derivable en x = –^? es continua y no derivable. es continua y derivable. no es continua ni derivable. no es continua y sí es derivable.
Encuentra el valor de k para el cual la función:
f(x) =
es continua. Estudia si su derivada es una función continua. k = –1/2 y la derivada es continua. k = 1 y la derivada es continua. k = –2 y la derivada es continua. k = 1/2 y la derivada no es continua.
La función dada por:
f(x) =
Encuentra los valores a, b y g que hacen que f(x) sea continua y admita primera y segunda derivada en el punto x = 1 a = 1, b = –1, g = 0 a = –1, b = 1, g = 2 a = 0, b = 1, g = 1 a = 2, b = 0, g = –
✘
(ax^2 + bx + g)e–x + 1^ si x > 1 sen (x – 1) si x Ì 1
10
✘
6 – —^ x , x < 2 2 x^2 + kx, x Ó 2
9
✘
0 si x Ì – √
— 2 –x^2 + 2 si x > – √
— 2
8
✘
7
✘
6
✘
5
✘
4
✘
3
✘
x
2
✘
1
Contesta en tu cuaderno:
296 SOLUCIONARIO
© Grupo Editorial Bruño, S.L.
Ejercicios y problemas
- Dada la gráfica de la función f(x) =
analiza si dicha función es derivable en x = – Solución: No es derivable en x = –2 porque la función es disconti- nua en ese valor.
- Dada la gráfica de la función f(x) =
analiza si dicha función es derivable en x = 2 Solución: La función tiene un pico en x = 2. No es derivable. Tiene una tangente vertical de ecuación x = 2
- Dada la gráfica de la función f(x) = x 3
analiza si dicha función es derivable en x = 0 Solución: Sí es derivable en x = 0. La tangente es la recta y = 0
- Dada la gráfica de la función f(x) =
analiza si dicha función es derivable en x = 0 Solución: No es derivable porque es discontinua en x = 0
3. Reglas de derivación.
Tablas de derivadas
Halla la derivada de la función:
- y = (x 2 – 3)e x Solución: y' = (x 2 + 2x – 3)e x
- y = x sen x Solución: y' = sen x – x cos x
- y = 7 tg 3x Solución: y' = 21 sec 2 3x
- y = (2x + 3) 2 Solución: y' = 4(2x + 3)
- y = Solución: y' =
- y = e x^2 + 3 Solución: y' = 2xex^2 + 3
- y = 3x + sec x Solución: y' = 3 + sec x tg x
cos x 2 √sen x
√sen x
X
Y
4 – x 2 si x Ì 0 x^2 – 4 si x > 0
X
Y
X
Y
(^3) √(x – 2) 2
X
Y
x + 2
TEMA 10. CÁLCULO DE DERIVADAS 297
© Grupo Editorial Bruño, S.L.
- y = 2x + Solución: y' = 2 +
- y = 5 arc sen 4x Solución: y' =
- y = L (3x – 2) Solución: y' =
- y = x 3x Solución: L y = 3x L x y' = 3x 3x^ (L x + 1)
- y = tg (x 3 + 1) Solución: y' = 3x 2 sec 2 (x 3 + 1)
- y = 2 7x Solución: y' = 7 · 2 7x^ L 2
- y = arc tg 3x 2 Solución: y' =
- y = Solución: y' =
- y = cos 5x 2 Solución: y' = –10x sen 5x 2
- y =
Solución: y' = –
- y = (sen x) x Solución: L y = x L sen x y' = (sen x) x(L sen x + x cotg x)
- y = arc cos x 2 Solución: y' = –
- y =
Solución: y' = –
- y = L Solución: y' = ·
- y = L sen x Solución: y' = cotg x
- y = cosec (5x + 2) Solución: y' = –5 cosec (5x + 2) cotg (5x + 2)
- y = log x 2 Solución: y' =
- y =
Solución: y' = x sec^
(^2) x – tg x x 2
tg x x
x
3x 2 + 5 x 3 + 5x – 7
(^4) √x (^3) + 5x – 7
2x (x 2 – 1) 2
x^2 x^2 – 1
2x √1 – x 4
(x – 1) 2
2x x – 1
2x
3 3 √(x 2 + 1) 2
(^3) √x (^2) + 1
6x 1 + 9x 4
3x – 2
√1 – 16x 2
2 √x + 1
√x + 1
TEMA 10. CÁLCULO DE DERIVADAS 299
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- Asocia cada gráfica de la función f(x) con su función derivada f'(x)
Solución: (^) f(x) (^) 1 2 3 4
f '(x) (^) b c d a
X
Y
X
Y
X
Y
f(x) f(x) f(x)
1 2 3 4
a b c d
f(x)
f'(x) f'(x) f'(x) f'(x)
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
- Dada la gráfica de la función f(x) =
analiza si dicha función es derivable en x = 0 Solución: No es derivable en x = 0 porque tiene una tangente verti- cal de ecuación x = 0
- Dada la gráfica de la función
f(x) =
analiza si dicha función es derivable en x = 1 Solución: No es derivable en x = 1 porque la función no es continua en ese valor.
- Dada la gráfica de la función
f(x) =
analiza si dicha función es derivable en x = 2 Solución: No es derivable en x = 2 porque la función tiene un pico. La gráfica en ese valor tiene dos tangentes distintas.
X
Y
2 x – 1^ si x Ì 2 —^4 si x > 2 x
° § ¢ § £ X
Y
x^2 – 2x si x > 1 x^3 – 3x 2 + 3x si x Ì 1
X
Y
(^5) √x 2
Para ampliar
300 SOLUCIONARIO
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Ejercicios y problemas
Halla las derivadas de las funciones siguientes:
- y = (x 2 +1)2x
Solución: y' = 2x · 2 x^ + (x 2 + 1) 2 x^ L 2
- y = sen x
Solución: y' = + cos x
- y =
Solución: y' = –
- y =
Solución: y' =
- y = x cos x
Solución: y' = cos x – x sen x
- y = (x + 2)ex
Solución: y' = (x + 3) e x
- y =
Solución: y' = –
- y = x – tg x
Solución: y' = – sec 2 x
- y =
Solución: y' =
- y = (sen x) cos x Solución: L y = cos x L sen x y' = (sen x) cos x^ (–sen x L sen x + cos x cotg x)
- y =
Solución: y' = –
- y = arc cos x 2 Solución: y' = –
- y =
Solución: y' =
- y = Solución: y' =
- y =
Solución: y' = –
- y = sen x tg x Solución: y' = cos x tg x + tg x sec x = tg x (cos x + sec x)
- y = x L x Solución: L y = L x L x ò L y = (L x) 2 y' = 2x Lx
- y = L (cos x) 2 Solución: y' = –2 tg x
L x x
18x (x 2 – 3) 2
x^2 – 3
1 + cos x 2 √x + sen x
√x + sen x
x sec x tg x – sec x x^2
sec x x
2x √1 – x 4
(x – 2) 2
x + 3 x – 2
2 cos x (1 – sen x) 2
1 + sen x 1 – sen x
x √1 – x 2
√1 – x 2
2x sen x – x 2 cos x sen 2 x
x 2 sen x
4x (x 2 – 1) 2
x^2 – 1
sen x √x 2 √x
√x
302 SOLUCIONARIO
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Ejercicios y problemas
- y = x 2 ex^ + 2x
Solución: y' = e x^ (x 2 + 2x) + 2
- y = (arc sen x)x
Solución: L y = x L arc sen x
y' = (arc sen x) x^ L arc sen x +
- y = +
Solución: y' = +
- y = 5x cos x
Solución: y' = 5(cos x – x sen x)
- y = (x + 1) tg x
Solución: y' = tg x + (x + 1) sec 2 x
- y = 2 x^ L x
Solución: y' = 2 x^ L 2 L x +
- y =
Solución: y =
y' =
- y =
Solución: y' =
- y = x arc sen x
Solución: y' = arc sen x +
- y =
Solución: y' =
- y =
Solución: y' = –
- y = arc cos e x Solución: y' = –
- y = Solución: y' = –
- y = L 2 (sen x) Solución: y' = 2 L(sen x) cotg x
- y = arc tg L x Solución: y' =
- y = arc tg L
Solución: y = arc tg (L 1 – L x) = arc tg (–L x)
y' = –
- y = e sec x Solución: y' = e sec x^ sec x tg x
x(1 + L 2 x)
x
x(1 + L 2 x)
cosec 2 x 2 √cotg x
√cotg x
ex √1 – e 2x
arc sen x + arc cos x √1 – x 2 (arc sen x) 2
arc cos x arc sen x
(cos x – sen x) 2
sen x + cos x cos x – sen x
x √1 – x 2
x(2 L x – 1) L^2 x
x^2 L x
cos 2 x + 2 sen 2 x cos 3 x
sen x cos 2 x
tg x cos x
)
( x
3 3 √x^2
2 √x
√x^3 √x
)
x ( √1 – x 2 arc sen x
TEMA 10. CÁLCULO DE DERIVADAS 303
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- y = L cos
Solución:
y' = = tg
- Halla la derivada de la siguiente función implícita: 3x – 2y = 4 Solución: 3 – 2yy' = 0
y' =
- Halla la derivada de la siguiente función implícita: (x – 1) 2 + (y – 2) 2 = 1 Solución: 2(x – 1) + 2(y – 2)y' = 0
y' = –
- Halla la derivada de la siguiente función implícita: x 2 y + xy 2 = 2 Solución: 2xy + x 2 y' + y 2 + 2xyy' = 0 (x 2 + 2xy)y' = –2xy – y 2
y' = –
- Halla la recta tangente a la curva x 2 + y 2 – 4xy = 1 en el punto A(1, 4) Solución: 2x + 2yy' – 4y – 4xy' = 0 x + yy' – 2y – 2xy' = 0 (y – 2x)y' = 2y – x y' =
Para el punto (1, 4) ò y' =
y – 4 = (x – 1) ò 7x – 2y + 1 = 0
- Halla las tres primeras derivadas de la función: y = x 3 + 3x Solución: y' = 3x 2 + 3 y'' = 6x y''' = 6
- Dada la función y = x 3 – 3x 2 a) halla las tres primeras derivadas. b) halla los puntos de la gráfica en los que la tangente sea horizontal. Solución: a) y' = 3x 2 – 6x y'' = 6x – 6 y''' = 6 b) Si la tangente es horizontal, la pendiente es cero. y' = 0 ò x = 0, x = 2 Si x = 0 ò y = 0 ò O(0, 0) Si x = 2 ò y = –4 ò A(2, – 4)
- Dada la función y = x 3 – 6x 2 + 9x a) halla las tres primeras derivadas. b) halla los puntos de la gráfica en los que la tangente sea horizontal. Solución: a) y' = 3x 2 – 12x + 9 y'' = 6x – 12 y''' = 6 b) Si la tangente es horizontal, la pendiente es cero. y' = 0 ò x = 1, x = 3 Si x = 1 ò y = 4 ò A(1, 4) Si x = 3 ò y = 0 ò B(3, 0)
- Halla las tres primeras derivadas de la función: y = x 3 + 3x 2 + x – 3 Solución: y' = 3x 2 + 6x + 1 y'' = 6x + 6 y''' = 6
- Halla las tres primeras derivadas de la función: y = x 3 + x 2 Solución: y' = 3x 2 + 2x y'' = 6x + 2 y''' = 6
- Dada la función y = a) halla las tres primeras derivadas de la función. b) halla los puntos en los que la recta tangente es hori- zontal.
x 2 + 1 x
2y – x y – 2x
2xy + y 2 x^2 + 2xy
(x – 1) (y – 2)
2y
x
x 2
—^1 sen —^1 x^2 x cos —^1 x
x
TEMA 10. CÁLCULO DE DERIVADAS 305
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- Dada la función y = L (x 2 + 1) a) halla las tres primeras derivadas. b) analiza si hay algún punto de la gráfica con tangente horizontal. Solución: a) y' = y'' =
y''' =
b) Si la tangente es horizontal, la pendiente es cero. y' = 0 ò x = 0 Si x = 0, y = 0 ò O(0, 0)
- Dada la función y = a) halla las tres primeras derivadas. b) analiza si hay algún punto de la gráfica con tangente horizontal. Solución: a) y' = y'' =
y''' = b) Si la tangente es horizontal, la pendiente es cero. y' = 0 ò x = e Si x = e, y = 1/e ò A(e, 1/e)
11 – 6 L x x 4
2 L x – 3 x 3
1 – L x x 2
L x x
4x(x 2 – 3) (x 2 + 1) 3
2(1 – x 2 ) (x 2 + 1) 2
2x x^2 + 1
- Halla las rectas tangentes horizontales a la gráfica de la función y = x 3 – 27x Solución: y' = 3x 2 – 27 y' = 0 ò x = –3, x = 3 Si x = –3, y = 54 ò A(–3, 54) Si x = 3, y = –54 ò A(3, –54) Recta tangente en A: y = 54 Recta tangente en B: y = –
- Determina los puntos donde la gráfica de la función f(x) = x + sen x tiene una tangente horizontal en el in- tervalo [0, 2π] Solución: y' = 1 + cos x y' = 0 ò x = π Si x = π, y = π ò A(π, π)
- Encuentra el valor de k tal que la recta y = 4x – 9 sea tangente a la gráfica de la función f(x) = x 2 – kx Solución: Sea el punto A(x, y) el punto de tangencia. Se tiene: y' = 4 f'(x) = 2x – k 2x – k = 4 (1) El punto A es común a la tangente y a la curva: 4x – 9 = x 2 – kx (2) Resolviendo el sistema de (1) y (2): x = 3, k = 2 x = –3, k = –
- Estudia la derivabilidad de la función
f(x) =
en el punto x = 1 Solución: Se estudia el punto x = 1 a) La continuidad de la función f(1) = 0
ò f(x) = f(1)
La función es continua en x = 1 b) La derivabilidad calculando las derivadas laterales
f'(x) = ò
f'(1 – ) = f'(1 +) ò La función es derivable en x = 1
- Determina los valores de a y b para que la función
f(x) =
sea continua y derivable en x = 1 Solución: a) La continuidad de la función f(1) = a + b
ò a + b = 1
lím f(x) = lím (ax + b) = a + b x 8 1 –^ x 8 1 – lím f(x) = lím x 2 = 1 x 8 1 +^ x 8 1 +
ax + b si x Ì 1 x^2 si x > 1
lím f'(x) = lím 3(x – 1)^2 = 0 x 8 1 –^ x 8 1 – lím f'(x) = lím 2(x – 1) = 0 x 8 1 +^ x 8 1 +
3(x – 1) 2 si x < 1 2(x – 1) si x > 1
x^ lím^8
lím f(x) = lím (x – 1) 3 = 0 x 8 1 –^ x 8 1 – lím f(x) = lím (x – 1) 2 = 0 x 8 1 +^ x 8 1 +
(x – 1) 3 si x Ì 1 (x – 1) 2 si x > 1
Problemas
306 SOLUCIONARIO
© Grupo Editorial Bruño, S.L.
Ejercicios y problemas
b) La derivabilidad calculando las derivadas laterales
f'(x) =
a = 2
Resolviendo el sistema: a = 2, b = –
- Determina el valor de a para que la función
f(x) =
sea derivable en x = 3 Solución: a) La continuidad de la función
ò
6 + a = 3 ò a = – b) La derivabilidad calculando las derivadas laterales
f'(x) =
f'(3 – ) ≠ f'(3 +) ò La función no es derivable en x = 3 para ningún valor de a
- Estudia la derivabilidad de la función
f(x) =
en el punto x = 1 Solución: Se estudia el punto x = 1 a) La continuidad de la función f(1) = 1
ò f(x) = f(1)
La función es continua en x = 1 b) La derivabilidad calculando las derivadas laterales
f'(x) =
f'(1–)? f'(1+) ò La función no es derivable en x = 1
- Halla los valores de a y b para que la función
f(x) =
sea derivable en x = 1 Solución: a) La continuidad de la función f(1) = a + 5
ò
a + 5 = a + b ò b = 5 b) La derivabilidad calculando las derivadas laterales
f'(x) = ò
a = – b ò a = –2b Resolviendo el sistema: a = –10, b = 5
- Dada la función
f(x) =
halla los puntos en los que f(x) es derivable. Solución:
f(x) =
La función es continua y derivable por estar definida por polinomios. Los valores que hay que estudiar son x = 0, x = 1, x = 2 En una función con tantos trozos la mejor estrategia es hacer la representación gráfica:
–x 2 si x < 0 x 2 si 0 Ì x Ì 1 x si 1 < x Ì 2 4 – x si x > 2
x|x| si x Ì 1 x si 1 < x Ì 2 4 – x si x > 2
a 2
lím f'(x) = lím a = a x 8 1 –^ x 8 1 – lím f'(x) = lím a^ b^ a x 8 1 +^ x 8 1 +^ (— 2 √—x –^ —x^2 )^ =^ — 2 – b
a si x < 1 —a^ – —b (^) si x > 1 2 √—x x 2
lím f(x) = lím (ax + 5) = a + 5 x 8 1 –^ x 8 1 – lím f(x) = lím b (a√
— x + —) = a + b x 8 1 +^ x 8 1 +^ x
ax + 5 si x Ì 1 a√—x + —b^ si x > 1 x
lím f'(x) = lím –3(2 – x)^2 = – x 8 1 –^ x 8 1 – lím f'(x) = lím 2x = 2 x 8 1 +^ x 8 1 +
–3(2 – x) 2 si x < 1 2x si x > 1
x^ lím^8
lím f(x) = lím (2 – x) 3 = 1 x 8 1 –^ x 8 1 – lím f(x) = lím x 2 = 1 x 8 1 +^ x 8 1 +
(2 – x) 3 si x Ì 1 x^2 si x > 1
lím f'(x) = lím 2 = 2 x 8 3 –^ x 8 3 – lím f'(x) = lím (2x – 2) = 4 x 8 3 +^ x 8 3 +
2x – 2 si x > 3 2 si x < 3
lím f(x) = lím (2x + a) = 6 + a x 8 3 –^ x 8 3 – lím f(x) = lím (x 2 – 2x) = 3 x 8 3 +^ x 8 3 +
x^2 – 2x si x Ó 3 2x + a si x < 3
lím f'(x) = lím a = a x 8 1 –^ x 8 1 – lím f'(x) = lím 2x = 2 x 8 1 +^ x 8 1 +
a si x < 1 2x si x > 1
308 SOLUCIONARIO
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Ejercicios y problemas
Solución: a) La continuidad de la función f(0) = 1
ò a = 1
b) La derivabilidad calculando las derivadas laterales
f'(x) = f(x) =
ò
1 – ab = b Resolviendo el sistema: a = 1, b = 1/
- Estudia la derivabilidad de f(x) = |x^3 (x – 1)|
Solución: Se escribe la función a trozos:
f(x) =
La función queda definida por dos polinomios que son con- tinuos y derivables. Los valores que hay que estudiar son x = 0 y x = 1 En x = 0 (x 4 – x 3 ) = (–x 4 + x 3 ) = 0 = f(0) ò f(x) es continua en x = 0
f'(x) =
f'(0 – ) = f'(0 +) = 0 ò f(x) derivable en x = 0 En x = 1 (–x 4 + x 3 ) = (x 4 – x 3 ) = 0 = f(1) ò f(x) es continua en x = 1 f'(1 – ) = –1? f'(1 +) = 1 ò f(x) no es derivable en x = 1
- Estudia la derivabilidad de f(x) = x|x – 1|
Solución:
f(x) =
La función queda definida por dos polinomios que son con- tinuos y derivables. El valor que hay que estudiar es x = 1 a) La continuidad de la función f(1) = 0
ò f(x) = f(1)
f(x) es continua en x = 1 b) La derivabilidad calculando las derivadas laterales
f'(x) =
f'(1 – ) = –1? f'(1 +) = 1 ò f(x) no es derivable en x = 1
- Estudia la derivabilidad de f(x) =
Solución:
f(x) =
La función está definida por dos funciones racionales que son continuas y derivables en su dominio. El valor que hay que estudiar es x = 0 a) La continuidad de la función f(0) = 0
ò f(x) = f(0)
La función es continua en x = 0 b) La derivabilidad calculando las derivadas laterales
f'(x) =
f'(0 – ) = f'(0 +) = 1 ò f(x) es derivable en x = 1
- Se sabe que una población de 400 bacterias de un culti- vo varía según la función
f(x) = 400 x^
(^2) + x + 1 x^2 + 1
lím f'(x) = lím —^1 = 1 x 8 0 –^ x 8 0 –^ (1 – x)^2 lím f'(x) = lím —^1 = 1 x 8 0 +^ x 8 0 +^ (1 + x) 2
—^1 si x < 0 (1 – x) 2 —^1 si x > 0 (1 + x) 2
lím x^8
lím f(x) = lím —^ x = 0 x 8 0 –^ x 8 0 –^ 1 – x lím f(x) = lím —x = 0 x 8 0 +^ x 8 0 +^ 1 + x
—x (^) si x < 0 1 – x —x si x ≥ 0 1 + x
x 1 + |x|
lím f'(x) = lím (–2x + 1) = – x 8 1 –^ x 8 1 – lím f'(x) = lím (2x – 1) = 1 x 8 1 +^ x 8 1 +
–2x + 1 si x < 1 2x – 1 si x > 1
x^ lím^8
lím f(x) = lím (–x 2 + x) = 0 x 8 1 –^ x 8 1 – lím f(x) = lím (x 2 – x) = 0 x 8 1 +^ x 8 1 +
–x 2 + x si x < 1 x^2 – x si x Ó 1
lím x^8 1 + lím x^8 1 –
4x 3 – 3x 2 si é(–@, 0) (1, +@) –4x 3 + 3x 2 si 0 < x < 1
xlím^8 0 – x^ lím^8 0 +
x^4 – x 3 si x é(–@, 0] [1, +@) –x^4 + x 3 si 0 < x < 1
lím f'(x) = lím e–bx^ – b(x + a)e –bx^ = 1 – ab x 8 0 –^ x 8 0 – lím f'(x) = lím (2ax + b) = b x 8 0 +^ x 8 0 +
e–bx^ – b(x + a)e –bx^ si x < 0 2ax + b si x > 0
lím f(x) = lím (x + a)e –bx^ = a x 8 0 –^ x 8 0 – lím f(x) = lím (ax 2 + bx + 1) = 1 x 8 0 +^ x 8 0 +
TEMA 10. CÁLCULO DE DERIVADAS 309
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donde x se mide en minutos. ¿Qué velocidad de creci- miento instantáneo tendrá la población en t = 3 mi- nutos? Solución: El crecimiento instantáneo es la derivada de la función f'(x) = 400 f'(3) = – El signo menos indica que están disminuyendo las bacte- rias.
Para profundizar
- Halla la ecuación de la parábola y = ax^2 + bx + c, que pasa por el punto A(0, 1) y es tangente a la recta y = x – 1 en el punto B(1, 0) Solución: a) Si pasa por A(0, 1) c = 1 b) Si es tangente a la recta y = x – 1 en B(1, 0), la derivada de la parábola en x = 1 es la pendiente de la recta tan- gente. 2a + b = 1 c) Como pasa por B(1, 0) a + b + c = 0 Resolviendo el sistema de ecuaciones: a = 2, b = –3, c = 1
- Sea una función f(x) = x · g(x), donde g(x) es una fun- ción continua en x = 0 pero no derivable. ¿Cuánto vale f'(0)? Solución: Para calcular f'(0) hay que demostrar que f(x) es derivable en x = 0 y hallar su valor.
f'(0) = = =
= g(h) = g(0)
Luego f'(0) = g(0)
- Dadas f(x) = x 2 + π y g(x) = sen x + cos x, calcula la de- rivada en x = 0 de f(g(x)) y g(f(x)) Solución: f(g(x)) = g(x)^2 + π [f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x) = 2g(x) · g'(x) = = 2(sen x + cos x) · ( cos x – sen x) = 2 cos 2x
En x = 0 [f(g(0))]' = 2 cos 0 = 2 g(f(x)) = sen f(x) + cos f(x) [g(f(x))]' = g'(f(x)) · f'(x) = = f'(x) cos f(x) – f'(x) sen f(x) = = 2x cos(x 2 + π) – 2x sen (x 2 + π) = = 2x(–cos x 2 + sen x 2 ) [g(f(0))]' = 0
- La siguiente gráfica corresponde a la función derivada de la función f(x)
a) ¿Existe algún punto de tangente horizontal en la grá- fica de f(x)? b) ¿Puede ser la derivada de una función polinómica? ¿De qué grado? Solución: a) En x = 1 la derivada se hace cero y, por lo tanto, la pen- diente de la recta tangente es cero. La tangente es hori- zontal. b) Si la derivada es un polinomio de primer grado, la fun- ción es un polinomio de segundo grado.
- La siguiente gráfica corresponde a la función derivada de la función f(x)
a) ¿Existe algún punto de tangente horizontal en la grá- fica de f(x)? b) Escribe la ecuación de la gráfica de f'(x) c) Da una función cuya derivada sea la de la gráfica. Solución: a) No, porque f'(x) no corta al eje X b) f'(x) = 1/x c) f(x) = L x
X
Y
f'(x)
X
Y f'(x)
x^ lím^8
h g(h) – 0 xlím^8 0 h
f(0 + h) – f(0) xlím^8 0 h
1 – x 2 (x 2 + 1) 2
