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Asignatura: Matemáticas I, Profesor: , Carrera: Administración y dirección de empresas, Universidad: UJAEN
Tipo: Ejercicios
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2º Bachillerato A
s = B + m v
r = A + l u
B
d
SOCIALESSOCIALES
J Doc Doc I
Fco Javier Gonz´alez Ortiz
Tabla de Contenido Inicio Art´ıculo
© c 2004 [email protected] 11 de junio de 2004 Versin 1.
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Secci´on 1: Introducci´on 4
1.1. Tasa de variaci´on media
La siguiente tabla da el precio en euros^1 de un producto en 8 a˜nos sucesivos precio 10 18 24 28 30 30 28 24 a˜no 0 1 2 3 4 5 6 7
Si llamamos P (x) a la funci´on precio y x designa los a˜nos, podemos pre- guntar cu´al es la variaci´on o incremento del precio en el intervalo [0, 1], y ´esta ser´ıa ∆P = P (1) − P (0) = 18 − 10 = 8 euros
la variaci´on o incremento del precio en el intervalo [1, 3], y ´esta ser´ıa
∆P = P (3) − P (1) = 28 − 18 = 10 euros
Ahora bien, la tasa de variaci´on media es el incremento por unidad de tiempo.
La tasa de variaci´on media del precio en el intervalo [0, 1] es
T.V.M. =
= 8 euros/a˜no
La tasa de variaci´on media del precio en el intervalo [1, 3] es
T.V.M. =
= 5 euros/a˜no
(^1) Hemos cambiado los n´umeros para que sean m´as c´omodos de usar
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Secci´on 1: Introducci´on 5
La tasa de variaci´on media del precio en el intervalo [3, 7], es
T.V.M. =
= −1 euros/a˜no
que indica que el precio ha disminuido a raz´on de un euro por a˜no.
De esta forma definimos de la tasa de variaci´on media para una funci´on f (x) en un intervalo [x, x + h] como
Tasa de Variaci´on Media
f (x + h) − f (x) h
En el intervalo [x, x + h] la TVM representa gr´aficamente la pendiente del segmento que va desde el punto (x, f (x)) al punto (x+h, f (x+h)). En gr´afico siguiente se muestra como var´ıa gr´aficamente la TVM en distintos intervalos.
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Secci´on 1: Introducci´on 7
1.2. Tasa de variaci´on instant´anea
Como el intervalo [x, x + h] var´ıa con h, si hacemos h cada vez m´as peque˜no, es decir hacemos tender h a 0, obtenemos la TVI, Tasa de variaci´on instant´anea.
Tasa de Variaci´on instant´anea
T.V.I.(x) = lim h→ 0
f (x + h) − f (x) h
La expresi´on anterior es muy importante en matem´aticas y se relaciona con el c´alculo de la recta tangente a una funci´on, como mostraremos a con- tinuaci´on. En el ejemplo anterior de los precios la TVI significa la raz´on de cambio del precio en un instante de tiempo. Gr´aficamente indica la pendiente de la tangente a la funci´on en el punto (x, f (x)).
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Secci´on 1: Introducci´on 8
Ejemplo 1.1. Si P (x) es precio de un producto y x designa los a˜nos, siendo
P (x) = −x^2 + 9 x + 10
hallar la T V I en el a˜no x = 1 y en el a˜no x = 7
Soluci´on: El precio en el a˜no x = 1 es P (1) = 18 y la T V I es
T V I(1) = lim h→ 0
P (1 + h) − P (1) h
= lim h→ 0
−(1 + h)^2 + 9(1 + h) + 10 − 18 h = lim h→ 0
−h^2 + 7h h
= lim h→ 0
(−h + 7) = 7
es decir, en x = 1 el precio est´a aumentando a raz´on de T V I(1) = 7 euros/a˜no
T V I(7) = lim h→ 0
P (7 + h) − P (7) h = lim h→ 0
−(7 + h)^2 + 9(7 + h) + 10 − 24 h = lim h→ 0
−h^2 − 5 h h
= lim h→ 0
(−h − 5) = − 5
es decir, en x = 7 el precio est´a disminuyendo a raz´on de T V I(7) = − 5 euros/a˜no
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Secci´on 1: Introducci´on 10
Ejemplo 1.2. Hallar en x = 2 la tangente a la curva f (x) = x^2.
Soluci´on: El punto de la curva en x = 2 =⇒ f (2) = 2^2 = 4, A(2, 4). La pendiente de la tangente es
f ′(2) = lim h→ 0
f (2 + h) − f (2) h
= lim h→ 0
(2 + h)^2 − 4 h
= lim h→ 0
4 + 4h + h^2 − 4 h
= lim h→ 0 (4 + h) = 4
Siendo la recta tangente y − 4 = 4(x − 2)
Ejemplo 1.3. Hallar en x = 1 la tangente a la curva f (x) =
x
Soluci´on: El punto de la curva en x = 1 =⇒ f (1) =
= 1, A(1, 1). La
pendiente de la tangente es
f ′(1) = lim h→ 0
f (1 + h) − f (1) h
= lim h→ 0
1 1+h −^1 h = lim h→ 0
−h (1 + h) h = lim h→ 0
1 + h
Siendo la recta tangente y − 1 = −(x − 1)
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Secci´on 2: Derivada en un punto 11
Sea f una funci´on, definimos la derivada en x = a, f ′(a) como
h→ 0
2.1. Derivadas laterales
Definici´on 2.1 Sea f una funci´on y a ∈ Dom(f )
f ′(a−) = lim h→ 0 −
f (a + h) − f (a) h existe (3)
f ′(a+) = lim h→ 0 +
f (a + h) − f (a) h
existe (4)
Teorema 2.1. Sea f una funci´on definida en un intervalo abierto conteniendo a x, entonces f ′(x) existe si y solo si existen las derivadas laterales f ′(x−) y f ′(x+) y son iguales. En este caso
f ′(x) = f ′(x−) = f ′(x+)
Soluci´on: Se deduce de la propia definici´on de l´ımite, ya que para que un l´ımite exista deben existir los l´ımites laterales y ser iguales. J
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Secci´on 3: Reglas b´asicas 13
Teorema 3.1. Sea f una funci´on constante f (x) = c ∀x ∈ R, siendo c un n´umero real, entonces f ′(x) = 0 ∀x ∈ R
Teorema 3.2. (Regla de la potencia) Consideremos la funci´on f (x) = xn, para alg´un n´umero natural n ∈ N. Entonces
f ′(x) = nxn−^1 x ∈ R (5)
Nota al Teorema. La regla anterior se extiende y funciona cuando el ex- ponente es cualquier n´umero real.
Ejemplo 3.1. Hallar las derivadas de
f (x) = x^6 g(x) = x−^5 h(x) = x^5 /^3
Soluci´on:
f ′(x) = 6x^5 g′(x) = − 5 x−^6 h′(x) =
x^2 /^3
Ejercicio 1. Calcular las derivadas. a) f (x) = 2x^13 b) f (x) =
x^3 c) f (x) = 5
x^7
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Secci´on 4: Reglas de Derivaci´on 14
Teorema 4.1. (Derivada de la suma) Sean las funciones u = f (x) y v = g(x). Entonces [f (x) + g(x)]′^ = f ′(x) + g′(x) (6)
Ejemplo 4.1. Hallar las derivadas de
f (x) = x^3 + x^4 g(x) = x^2 − x−^3
Soluci´on: f ′(x) = 3x^2 + 4x^3 g′(x) = 2x + 3x−^4
Ejercicio 2. Calcular las derivadas.
a) f (x) = 3 x^2 − 5 x−^3 b) f (x) = x^2 − 3 , x^5
c) f (x) = x^10 + x−^10 d ) f (x) = x −
x^5
e) f (x) = x^8 + x^8 ,^003 f ) f (x) =
x^3 + 5
x
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Secci´on 4: Reglas de Derivaci´on 16
Teorema 4.3. (Derivada del cociente) Sean u = f (x) y v = g(x) [ f (x) g(x)
f ′(x)g(x) − f (x)g′(x) g(x)^2
Ejemplo 4.3. Hallar la derivada del cociente f (x) =
x^3 + x^4 x^2 − x−^3 Soluci´on:
f ′(x) =
(3x^2 + 4x^3 )(x^2 − x−^3 ) − (x^3 + x^4 )(2x + 3x−^4 ) (x^2 − x−^3 )^2
Ejercicio 4. Calcular las derivadas.
a) f (x) =
x
b) f (x) =
x^2 + 1 x
c) f (x) = x^10 + 1 1 − x
d ) f (x) = x^2 + x x + 3
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Secci´on 4: Reglas de Derivaci´on 17
Teorema 4.4. (Regla de la cadena) Sea las funciones y = f (u) y u = g(x). Supongamos que g es derivable en x y f es derivable en u, entonces la funci´on compuesta f ◦ g es derivable en x y su derivada es
′
Ejemplo 4.4. Hallar las derivadas de
f (x) = (2x + x^2 + 5)^3 g(x) = (2 − x^12 )^6
Soluci´on: f ′(x) = 3(2x + x^2 + 5)^2 (2 + 2 x) g′(x) = 6(2 − x^12 )^5 (− 12 x^11 )
Ejercicio 5. Calcular las derivadas.
a) f (x) = (1 + 2 x)^3 b) f (x) = (x + x^2 )^3
c) f (x) = (x^10 + 1)^2 d ) f (x) = (2x^3 + x)^3
e) f (x) = x^2 (2x^3 + x)^3 f ) f (x) = (1 − x^2 )^3 (5 + x)^5
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Secci´on 4: Reglas de Derivaci´on 19
e) Como no existe la derivada en x = 0, geom´etricamente significa que la funci´on en ese punto no tiene tangente. Observamos el gr´afico de la funci´on y apreciamos que por la rama de la izquierda llega con una inclinaci´on a 0 y por la rama de la derecha en 0 tiene una inclinaci´on distinta.
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Secci´on 4: Reglas de Derivaci´on 20
Ejercicio 6. Hallar a y b para que f (x) sea una funci´on derivable en x = 1
f (x) =
x^3 − 1 x ≤ 1 a x + b 1 < x
Ejercicio 7. Hallar a y b para que f (x) sea una funci´on derivable en x = 0
f (x) =
x^3 + 1 x ≤ 0 a x + b 0 < x
Ejercicio 8. Hallar a y b para que f (x) sea una funci´on derivable en x = 1
f (x) =
a x^2 + b x − 1 x ≤ 1 2 b x − 2 1 < x
