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Universidad de Jaén Departamento de Matemáticas Profesora: Paqui Molina Alba
Tema: Diagonalización de matrices cuadradas
En qué consiste diagonalizar una matriz cuadrada
El hecho de poder diagonalizar una matriz permite poder expresarla en términos de una matriz diagonal. Pero, ¿qué ventajas tienen las matrices diagonales en los modelos matriciales?
Para poder calcular potencias de una matriz A, ésta ha de ser cuadrada. Pero ¿cuáles son las matri- ces más fáciles de calcular potencias? Sin duda, las matrices diagonales porque para calcular una potencia basta con elevar todos los elementos de la diagonal principal a dicha potencia. Por ejemplo
dada A =
î A^45 =
0 0 0 H- 3 L^45
Esta facilidad para calcular potencias sólo es posible con matrices diagonales. ¿qué podemos hacer con el resto de matrices cuadradas? Intentaremos escribirla en términos de matrices diagonales.
Si una matriz cuadrada , A es diagonalizable entonces podemos expresarla en términos de una matriz diagonal D , de la forma
A = P D P -^1
donde P es una matriz regular , que se denomina matriz de paso.
En este caso, calcular
An^ = I P D P -^1 M n^ = P D P -^1 P D P -^1 ... ....P D P -^1 = P Dn^ P -^1.
Es decir, para obtener An , basta calcular las matrices D ( es inmediato Dn^ ) , P, la inversa de P y realizar el producto de éstas en el orden adecuado. Cuando queremos diagonalizar una matriz cuadrada , A , necesitamos construir dos matrices: una que sea diagonal, D , y otra que sea regular, P. Ambas deben permitir expresar A = P D P -^1. Es decir, debe cumplirse que AP = P D. ° Para formar la matriz D necesitamos números reales que formen su diagonal principal. Estos números se denominan valores propios de A. ° Para formar la matriz P necesitamos vectores que formen sus columnas y, ( para asegurarnos que sea inversible) éstos deben ser linealmente independientes. Estos vectores se denominan vectores propios de A.
¿Qué son? ¿Cómo se definen?
Valor propio de A. Un número real , Λ, es un valor propio de A ( una matriz de orden n ) si existe un vector u no nulo de R n que cumple A u = Λ u.
¿Qué son? ¿Cómo se definen?
Valor propio de A. Un número real , Λ, es un valor propio de A ( una matriz de orden n ) si existe un vector u no nulo de R n que cumple A u = Λ u.
Vector propio de A****. Un vector no nulo u de R n^ que cumple que A u = Λ u , para algún Λ Œ R.
¿Cómo calcular los valores y vectores propios?
Ë A partir de la definición de valor propio: Sea A una matriz cuadrada de orden n , u Œ R n^ no nulo, entonces un número real Λ es un valor propio de A ï A u = Λ u î A u - Λ u = 0 î ( A - Λ Id ) u = 0 que es la expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo con matriz de coeficientes A - Λ Id. Dicho sistema ha de ser compatible indeterminado lo que obliga a que » A - Λ Id » = 0. Entonces los valores de Λ que anulen este determinante son los valores propios de A. Por tanto, los valores propios de A son las raíces de la ecuación característica » A - Λ Id » = 0. EJEMPLO.
Dada A =
sus valores propios son las raíces de la ecuación algebraica » A - Λ Id » = 0.
= 16 + 4 Λ - 4 Λ^2 - Λ^3 = 0
El cálculo de esta ecuación característica y, su posterior resolución se puede hacer con el programa Mathematica siguiendo el mismo proceso que se hace manualmente
A =
ecuación = Det@A - Λ*IdentityMatrix@ 3 DD ä 0 16 + 4 Λ - 4 Λ^2 - Λ^3 ä 0 Reduce@ecuación, ΛD Λ ä - 4 »» Λ ä - 2 »» Λ ä 2 de donde, los valores propios de A son -4, -2 y 2. También se puede utilizar una orden específica del programa Mathematica que proporciona todos los valores propios de A: Eigenvalues[ matriz ] Eigenvalues@AD 8 - 4, - 2, 2< Ë A partir de la definición de vector propio de una matriz A. Un vector u Œ R n^ no nulo es vector propio de A asociado al valor propio Λ ï A u = Λ u î ( A - Λ Id ) u =
- Es decir, cada solución de este sistema compatible indeterminado es un vector propio de A asociado al valor propio Λ. Este conjunto de soluciones del sistema tiene estructura de subespacio vectorial. Pero, ¿ con cuáles de estos vectores nos quedamos? Nos interesará quedarnos con una base de dicho subespacio vectorial.
2 Diagonalización Resumen.nb
Notaremos por d a la matriz diagonal, ya que el símbolo D está protegido por el programa.
d =
Eigenvectors@AD 88 - 1, - 2, 3<, 8 - 1, - 2, 1<, 8 2, 1, 0<< Para formar la matriz P hay que tener en cuenta la disposición que se ha realizado de los valores propios en D. En la 1ª columna de D está el valor propio -4 , entonces en la 1ª columna de P debe aparecer un vector propio de A asociado a Λ = -4. De forma análoga se hace con el resto de las columnas.
P =
Comprobación : A ä P.d.Inverse@PD True correcto. NOTA: Se pueden formar diferentes matrices de paso P, que corresponderían a diferentes matrices diago- nales d.
Cuándo es diagonalizable una matriz
Para estudiar cuándo una matriz es diagonalizable utilizaremos sus valores propios y vectores propios. Veamos algunos resultados:
Multiplicidad algebraica del valor propio Λ es el número de veces que aparece como raiz de la ecuación característica.
Multiplicidad geométrica del valor propio Λ es la dimensión del subespacio vectorial de vectores propios de A asociados al valor propio Λ.
Teorema 1: " Una matriz A de orden n es diagonalizable si y sólo si A tiene n -vectores propios linealmente independi- entes"
Teorema 2: “Si v 1 , v 2 , ..., vk son vectores propios de A correspondientes a valores propios distintos Λ 1 , Λ 2 , ..., Λ k , entonces el conjunto { v 1 , v 2 , ..., vk } es un conjunto de vectores linealmente independiente”.
Teorema 3: "Si una matriz A de orden n tienen n valores propios reales y distintos, entonces A es una matriz diagonaliz- able"
Teorema 4: "Sea A una matriz de orden n. Si para cada valor propio de A coincide su multiplicidad algebraica con su multiplicidad geométrica, entonces A es una matriz diagonalizable."
4 Diagonalización Resumen.nb
Teorema 3: "Si una matriz A de orden n tienen n valores propios reales y distintos, entonces A es una matriz diagonaliz- able"
Teorema 4: "Sea A una matriz de orden n. Si para cada valor propio de A coincide su multiplicidad algebraica con su multiplicidad geométrica, entonces A es una matriz diagonalizable." En la práctica, cuando queramos estudiar si una matriz es diagonalizable, comenzamos por calcular sus valores propios. Si éstos son reales y distintos aplicamos el Teorema 3. Si algún valor propio tiene multiplicidad algebraica mayor que uno, hay que aplicar el Teorema 4. EJEMPLO.
La matriz A =
tiene 3 valores propios -4, -2, 2 reales y distintos î ( Teorema 3 ) A
si es diagonalizable.
EJEMPLO.
Estudiar si la matriz A =
es diagonalizable.
Solución: La matriz A tiene 2 valores propios, pero Λ = 1 presenta multiplicidad algebraica dos. Por tanto NO pode- mos aplicar el Teorema 3. Tenemos que estudiar su multiplicidad geométrica. El subespacio vectorial formado por vectores propios de A asociados al valor propio Λ = 1 será S Λ = 1 = { u = ( x , y, z ) Œ R^3 / A u = 1 u } Sea u = H x, y, z L un vector cualquiera de R^3. Será vector propio de A si cumple A u = 1 u. Con el programa Mathematica
A =
u = 8 x, y, z<; A.u == 1 *u 8 5 x + 4 y + 2 z, 4 x + 5 y + 2 z, 2 x + 2 y + 2 z< ä 8 x, y, z< [email protected] == 1 *u, 8 x, y, z<D z ä -2 x - 2 y Tomamos x = Α, y = Β con Α, Β Œ R. Entonces la solución general de este sistema será de la forma ( Α, Β, -2Α-2Β ) que se expresa en términos de 2 parámetros , lo que implica que la dimensión del subespa- cio vectorial de vectores propios de A asociados al valor propio Λ = 1 es dos. Es decir, la multiplicidad geométrica de Λ = 1 es dos igual que su multiplicidad algebraica. Apli- cando el Teorema 4 podemos afirmar que la matriz A si es diagonalizable.
Matrices simétricas
Las matrices simétricas son importantes en los problemas de optimización. Estas matrices presentan propiedades especiales.
Propiedad: Si A es una matriz cuadrada simétrica, entonces todas las raíces de su polinomio característico son reales.
Teorema 4. Para toda matriz A cuadrada simétrica existe una matriz P cuadrada regular tal que D = P -^1 A P siendo D una matriz diagonal formada por vectores propios de A.
Diagonalización Resumen.nb 5
Eigenvalues@AD
8 - 1, - 1, 1<
Eigenvectors@AD
1 0 1
construimos la matriz regular P
P =
obtenemos la matriz diagonal d, tomando los valores propios en la diagonal
d =
calculamos la potencia de A
P.
H- 1 L^35 0
0 H- 1 L^35
.Inverse@PD
( 3 ) Un lugar de veraneo en la montaña cuenta con dos hoteles que compiten entre sí. La cámara de comercio de la ciudad ha realizado un estudio sobre el comportamiento de los turistas que repiten año tras año su veraneo en este lugar. El 92% de los que van al hotel A un año repiten el siguiente, el resto cambian al otro hotel; sin embargo, de los que van al hotel B repiten el 95% y el resto cambian al otro hotel. Este verano el hotel A tiene 160 turistas y el hotel B tienen 90 turistas.
( a ) Calcular cúantos clientes habrá en cada hotel cuando pasen 2 y 3 años.
( b ) ¿Sería posible una distribución inicial de los turistas que permaneciese constante cuando pasen 3 años?
Solución: Comenzamos estableciendo notación: an = número de clientes que veranean en el hotel A en el año n , a partir del inicio de nuestro estudio. bn = número de clientes que veranean en el hotel B en el año n , a partir del inicio de nuestro estudio. Entenderemos por a 0 y b 0 el número de clientes en el año inicial de nuestro estudio en los hoteles A y B, respectivamente. Así pues, a 0 = 160 y b 0 = 90. Veamos cómo se distribuyen los clientes entre ambos hoteles desde el inicio al verano siguiente (cuando ha pasado 1 año):
a 1 = 0.92 a 0 + 0.05 b 0 b 1 = 0.08 a 0 + 0.95 b 0
Planteamos un sistema de ecuaciones lineales, donde la matriz de coeficientes es A = 0.92 0. 0.08 0.
. Este sistema en forma matricial se puede escribir
Diagonalización Resumen.nb 7
nuestro estudio. Entenderemos por a 0 y b 0 el número de clientes en el año inicial de nuestro estudio en los hoteles A y B, respectivamente. Así pues, a 0 = 160 y b 0 = 90. Veamos cómo se distribuyen los clientes entre ambos hoteles desde el inicio al verano siguiente (cuando ha pasado 1 año):
a 1 = 0.92 a 0 + 0.05 b 0 b 1 = 0.08 a 0 + 0.95 b 0
Planteamos un sistema de ecuaciones lineales, donde la matriz de coeficientes es A = 0.92 0. 0.08 0.
. Este sistema en forma matricial se puede escribir a 1 b 1
a 0 b 0
Notando X 1 = a 1 b 1 y X 0 = a 0 b 0 , obtenemos
X 1 = A X 0 Estudiando cómo se distribuyen los clientes del primer verano al segundo, obtendríamos una expresión de la forma X 2 = A X 1 = A A X 0 Así pues, si queremos expresar la relación entre los clientes del verano k-ésimo con los del verano (k+1)- ésimo tenemos Xk + 1 = A Xk Xk + 1 = A A ... ... ... .. k^ +^1 L^ A X 0 = Ak +^1 X 0
Observemos que la matriz A permanece constante de una etapa a la siguiente.
A =
Cuando pasen 2 años:
X 2 = A.A.
Respuesta: El segundo verano, desde el inicio de nuestro estudio, irán aproximadamente 144 clientes al hotel A y 105 clientes al hotel B. Cuando pasen 3 años:
X 3 = A.A.A.
ó también A.X 2
Respuesta: El tercer verano, desde el inicio de nuestro estudio irán aproximadamente 138 clientes al hotel A y 111 clientes al hotel B. ¿Cúantos clientes habrá en cada hotel cuando pasen 15 años? Solución:
8 Diagonalización Resumen.nb
Problema 1 En un modelo matricial de la forma Xn = An^ X 0 , tenemos que X 0 = ( 10, 15, 20 ) denota la situación inicial del consumo de alimentos A , B y C ( en miles de unidades ) , respectivamente. Si Xn denota la situación de este consumo cuando han transcurrido n - años desde el inicio de nuestro estudio y, la matriz
de transición es A =
( a ) Calcular cuántas unidades de cada tipo de alimento se habrán consumido cuando hayan transcurrido 2 años. ( b ) ¿Cuántas unidades de cada tipo de alimento se habrán consumido cuando hayan transcurrido 20 años?
Problema 2 Una empresa de alquiler de coches tiene oficinas en tres ciudades. Cada mes la mitad de los coches que alquila en cada oficina vuelve a la misma, la otra mitad se reparte por igual entre las otras dos. Si al inicio hay 200, 400 y 300 coches, respectivamente
( a ) ¿Cuántos coches habrá en cada ciudad cuando transcurran dos años? ( b ) ¿Cómo acabarán distribuidos los coches cuando pase una década?
Problema 3 Al realizar un estudio de mercado, los directivos de una empresa llegan a la conclusión de que cuando transcurre cada año el 70% de sus clientes siguen siendo fieles, el 30% de sus clientes se pasan a la compe- tencia, el 35% de los clientes de la competencia se pasan a su empresa, el 65% de los que no son clientes permanecen en la competencia. Si la empresa tiene 2123 clientes y la competencia 10302, calcular la cantidad de clientes de la empresa y la competencia tras 17 años. ( Plantear el modelo matricial pertinente y diagonalizar para resolver .)
Bibliografía.
ANTON, HOWARD. “Introdución al Álgebra Lineal”. Ed. Limusa Noriega.
10 Diagonalización Resumen.nb
