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La Derivada
LA DERIVADA
A muchos de los análisis económicos conciernen
las medidas de cambios. La aplicación de cálculo a
las relaciones económicas permite una medida pre-
cisa de los ritmos de cambios en las variables eco-
nómicas. Por medio del entendimiento de los ritmos
de cambio es posible aplicar reglas de decisiones
para optimizar los diversos fenómenos
económicos,entre otras: maximización de ganancias
y minimización de costos.
La derivada de una función en un punto dado repre-
senta la razón de cambio de la función en ese punto.
La derivada puede interpretarse geométricamente
como la pendiente de la recta tangente a la curva de
la función que se está derivando.
M.C. Escher.
Nudos. Grabado en madera.
Matemática I
PLAN DEL CAPÍTULO
1. DIFERENCIACIÓN
2. REGLAS DE DERIVACIÓN
3. APLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS
4. PRÁCTICA DE APLICACIÓN
5. RESPUESTAS
6. PROBLEMAS RESUELTOS
OBJETIVOS GENERALES
- Repasar el concepto de derivada y los métodos de
derivación de funciones aplicables al campo de la
administración pública.
- Aplicar la derivada a problemas económicos de
maximización de utilidades, producción e ingresos y
minimización de costos y desutilidades.
Matemática I
deriva de ella. El cociente (^) dx
dy es una función común-
mente llamada primera derivada y se escribe ƒ '(x).
Una derivada es el límite del cociente (^) dx
dy y por lo tanto
debe ser una medida del ritmo de cambio, o, dicho más específicamente, un ritmo de cambio instantáneo. Mien- tras Δx → 0, Δy→ al valor que es la pendiente de la curva en la figura 1.
El dilema expuesto por la medida de dx
dy cuando x es
Figura 1. Incremento de una función.
un punto discreto, Δx = 0 es evitado considerando solo algunos cambios infinitesimales en x que induce a algu- nos cambios en y. Por lo tanto es común hablar de cam- bios relativos en y cuando Δx se aproxima a cero. Si Δx se acerca o alcanza a cero, y Δy es algun número arbi-
trario, la ración (^) dx
dy se aproximaría al infinito.
Como esto sería un problema para medir la pendiente de la función de la curva en algún punto, esto se resolvería mejor considerando solo casos en donde Δx se aproxi- me pero no alcance cero. Estos casos conllevan a lími- tes de funciones que pueden ser derivadas usando cier- tas reglas especiales.
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2. REGLAS DE DERIVACIÓN
El procedimiento para derivar consiste en determinar primero en que casos la función total que va a ser derivada es una suma o una diferencia de funciones; un producto o un cociente de funciones; una función logarítmica, exponencial, o una función trigonométrica (las cuales no se estudian en este módulo por su escasa aplicabilidad a las ciencias económicas y administrativas); una potencia de una función; una función compuesta o alguna combinación de estas. Luego utilizando la regla apropiada para la función total y las reglas apropiadas para las diferentes partes de la función.
2.1 Regla de función exponencial
Para la función y^ =^ xn , =^ nxn −^1 dx
dy
. Véase el ejemplo 1.
a) Regla constante. Si la regla anterior es aplicada a la función
y = a, entonces =^0 dx
dy . La primera derivada de esta función es cero porque y = a también se puede escribir y = ax^0. Como x^0 = 1, y = a*1. Entonces, la primera derivada de y = a x0^ es 0ax 0-1, o cero.
b) Función de exponente generalizado. Para la función y =
y = axn^ , = naxn −^1 dx
dy .
2.2 Regla de Suma - Diferencia
La derivada de la suma o de la diferencia de dos o más funciones es la suma o la diferencia de sus derivadas individuales, ó
[ ( ) ( ) ( )] (^) f ( ) x g ( ) x h ( ) x dx
d f x ± gx ± hx = ' ± ' ± ' .
Véase el ejemplo 2.
2.3 Regla de producto
La derivada del producto de dos funciones es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda función, más el producto de la derivada de la primera función por la segunda función, ó
Véase ejemplo 3.
EJEMPLO 1 DERIVADA DE LA EXPONEN- CIAL
a. Si y = x 2 ,
b. Si y = 15 + 5x - 4x^2 + 0.5x^3 ,
dx
dy (^) =5 - 8x + 1.5x 2
c. Si y = 2x^3 , (^) dxdy^ =^6 x^2.
EJEMPLO 2 DERIVADA DE UNA SUMA
Si Y = 24x^2 , (^) dx =48x
dy
. Pero si y = ƒ(x) = 6x^2 y Y = g(x) = 18x^2 , entonces ƒ '(x) = 12x y g'(x) = 36x y ƒ '(x) + g'(x) = 48x.
[ ( ) ( )] (^) f ( ) x g ( ) x f ( ) x g ( ) x dx
d f x ⋅ g x = ⋅ ' + ' ⋅
La Derivada
2.6 Regla de función inversa
Si la función y = ƒ(x) es monótona, ƒ(x) tendrá una función
inversa x=ƒ -1(y). Sin embargo, ƒ-1^ no es lo mismo que (^) f
Una función está aumentando monótonamente si altos valo-
res sucesivos de x producen sucesivamente altos valores de (y). Si altos valores de x están sucesivamente produciendo pe- queños valores de y, entonces la función está disminuyendo monótonamente. Entonces la derivada de y con relación a x es
dx
dy (^) , y si la función es monótona, x = ƒ -1(y) y dy dydx
dx (^) = 1
. Véase
ejemplo 6.
EJEMPLO 6 REGLA DE FUNCIÓN INVERSA APLICADO A LA ELASTICIDAD DE LA DEMANDA
Elasticidad de la demanda. Hay algunos bienes cuya demanda es muy sensible al precio, pequeñas variaciones en su precio provocan grandes variaciones en la cantidad demandada. Se dice de ellos que tienen demanda elástica. Los bienes que, por el contrario, son poco sensibles al precio son los de demanda inelástica o rígida. En éstos pueden producirse grandes variaciones en los precios sin que los consumidores varíen las cantidades que demandan. El caso intermedio se llama de elasticidad unitaria. La elasticidad de la demanda se mide calculando el porcentaje en que varía la cantidad demandada de un bien cuando su precio varía en un uno por ciento. Si el resultado de la operación es mayor que uno, la demanda de ese bien es elástica; si el resultado está entre cero y uno, su demanda es inelástica.Supongamos que la función de demanda es presentada en una gráfica y es definida p = 10 - 2 q. La primera derivada es
=− 2 dq
dp , pero para el economista es de mayor interés la derivada inversa. ¿Por qué? Recordemos que la elasticidad de la demanda es igual al % de cambio en la cantidad demandada dividido por el % de cambio
en el precio, o sea, (^) dp
dq q
p Ep
Eq p
dp
q
dq
x
x (^) = = ⋅ 2
1 , que puede ser simplificado así (^) dp
dq q
p Ep
Eq (^) = ⋅
. Así que la
función de demanda anterior también puede ser escrita como q = 5 - 0.5 p y (^) dp =−^0.^5
dq , la cual es la
inversa de (^) dq =−^2
dp
. Por lo tanto, un punto particular en la curva de demanda ( p 0 , q 0 ) tiene un punto de
elasticidad de demanda de = ⋅(^ −^0.^5 ) o
o o
o q
p Ep
Eq .
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2.7 Regla de Función Logarítmica
Los logaritmos son una herramienta importante para analizar los ritmos exponenciales de crecimiento. Una función como y = ax^ es lo mismo que loga y = x. Ya que manejar logaritmos base a puede parecer poco manejable, frecuentemente es más conveniente usar logaritmos naturales (ln), o logaritmos base e, en donde e es el número irracional 2.71828 y ln 1 = 0. Entonces, y = e x^ o ln y = x ln (e), y ln y = x ya que ln (e) = 1. Sí y= ln x, x = e y^ , la derivada de la función logarítmica y =
ƒ(x) = ln x es (^) x^1. Véase ejemplo 7.
2.8 Regla de Función Exponencial
Si (^) y = au , donde u=ƒ(x) entonces dx
du a a dx
dy (^) u = ln. Para el
caso especial en que a=e, entonces y = eu, (^) dx
du e dx
dy (^) u = (^).
Véase ejemplo 8.
EJEMPLO 7 FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Un ejemplo común de una función de demanda con elasticidad a través de todo es la hipérbola rectangular q = a/ p , en donde a es una constante positi- va. La derivada de esta función expresa el ritmo de cambio en q con relación a un cambio de unidad en p , como tam- bién la elasticidad de precio de la de- manda. La derivada puede ser encontrada en dos reglas distintas: Primero, la función puede ser expuesta como una función de potencia:
q = ap −^1 y,^ =^ −^1 ⋅ ap −^2 dq
dp y
p^2
a dq
dp (^) = −− .
Segundo. La función (^) q = ap −^1 puede ser expuesta en logaritmos como
a p p
a ln q ln ⎟=ln −ln ⎠
derivando a ambos lados tenemos:
dq
d p dq
d a dq
d (ln q )= (ln )− (ln )
Î (^) dp p
dq q
Î
reemplazando el valor de q:
dp p
dq a
p 1 = − Î (^2) p
a dp
dq =−
la cual es el ritmo instantáneo de cam- bio proporcional en la función o la elas- ticidad del precio de la demanda.
EJEMPLO 8 DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
a. y = ex^ , ex dx
dy = (^). si y=5e 3x^ ==>
b. y = e5x+3, =^ e (^5 x^ +^3 )⋅^5 =^5 e (^5 x +^3 ) dx
dy .
Recuerde que La función exponencial es la recíproca de la función logaritmo natural. Los logaritmos fueron ideados como una herramienta para facilitar el uso de las potencias y las raíces.El loga- ritmo de un número en una base dada, es el exponente de aquella base que produce como potencia a dicho número. El logaritmo en base 2 de 64 es 5; Log 2 64= por que si elevo 2 5 = El logaritmo neperiano es lo mismo que el logaritmo natural, se llama neperiano en honor a su descubridor John Neper y es el logaritmo de un número en base e= 2,71828182…==> Loge X=Ln X
ex^ e^ x dx
dy (^) = 5 ⋅ (^3) ⋅ 3 = 153
Matemática I
derivada indica que la inclinación de la función incrementa al incre- mentar los valores positivos de X. Por lo tanto, la función incre- menta a un ritmo de incremento sobre todos los valores de X.
2.11 Reglas de Máxima y Mínima
Para poder encontrar los extremos relativos de una función, es necesario evaluar las primeras y segundas derivadas en los vecin- darios del dominio de la función en donde la función es caracte- rizada por cumbres y hondonadas. La importancia práctica de esta afirmación puede ser más fácilmente comprendida al anali- zar una función clásica de producción de tres etapas.
La regla para encontrar el mínimo es la misma que para encontrar el máximo, excepto que la segunda derivada sería positiva cuando la función está al mínimo.
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3. APLICACIONES DE MAXIMOS Y MINIMOS
En la práctica surgen muchas situaciones en que deseamos maximizar o minimizar cierta cantidad. A veces se piensa que la cantidad de un producto se puede incrementar indefinidamente con la única restricción de su costo, sin embargo el aumentar la producción no siempre implica aumentos en el ingreso. La Ley de Retornos Decrecientes es representada a partir de un punto de inflexión en donde incrementos adicionales en X conducen a incrementos en TPP a un ritmo decreciente en lugar de crecientes.
Un ecólogo cultiva peces en un lago. Entre más peces introduzca, habrá más competen- cia por el alimento disponible y el pez ganara peso en forma más lenta, De hecho, se sabe por experimentos previos que cuando hay n peces por unidad de área del lago, la cantidad promedio en peso que cada pez gana durante una temporada está dada por w = 600 - 30n gramos. ¿Qué valor de n conduce a la produc- ción total máxima en el peso de los peces?
Solución La ganancia en peso de cada pez es de w= 600 - 30 n. Puesto que hay n peces por unidad de área, la producción total por unidad de área, P , es igual a NW. Por consiguiente. P = n (600-30n) (^) = 600 n − 30 n^2 La gráfica de p contra n aparece en la figura 2. p es cero cuando n es cero dado que en ese momento no hay peces. A medida que n au- menta, p se incrementa hasta un valor máxi- mo, luego decrece hasta cero otra vez cuando n = 20. Si n sigue creciendo p decrece porque para valores grandes de n los peces ganaran muy poco peso y algunos de ellos morirán, de modo que la producción total será pequeña. Con el objeto de encontrar el valor de n para p máxima, derivamos y hacemos igual a cero la derivada d p / d n.
n dn
dP = 600 − 60
y d p /d n = 0 cuando 600 - 60 n = 0, esto es, la densidad de 10 peces por unidad de área es la que garantiza un peso total máximo de la pro- ducción de peces por periodo de tiempo. El valor máximo de p es P = 600 ( 10 )− 30 ( 10 )^2 = 3. 000 , es decir 3. gramos por unidad. Es obvio que a partir de la gráfica de p como una función de n que el valor n = 10 corresponde al máximo de p. Sin embargo podemos verificarlo usando la regla de la segunda derivada.
2 = − dn
d P
La segunda derivada es negativa (de hecho para todos los valores de n ) por lo que el valor crítico n = 10 corresponde al máximo de p.
EJEMPLO 10 CONSERVACIÓN ÓPTIMA
Figura 2. Modelo de conservación optima.
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Paso 4. Exprese la cantidad por maximizar o minimizar en términos de las otras variables. Con objeto de hacer esto, se utilizan las relaciones obtenidas en el paso 3 a fin de eliminar todas excepto una de las variables.
Recurriendo de nuevo al ejemplo 10, teníamos que p = nw y w = 600 - 3n, de modo que, eliminado w, se obtiene p en térmi- nos de n; P= n(600 - 3n). En el ejemplo 11, tenemos que p = xy y x + y = 16, por lo que eliminando y, obtenemos p = x(16 - x).
Paso 5. Una vez que se ha expresado la cantidad requerida como una función de una variable, determine sus puntos crí-
EJEMPLO 12 COSTO MÍNIMO
En una obra con aporte principal de la comunidad, se ha de construir un tanque para almacenamiento de agua para una escuela pública, con una base cuadrada hori- zontal y lados rectangulares verticales. No tendrá tapa. El tanque debe tener una capacidad de 4 metros cúbi- cos de agua. El material con que se construirá el tan- que tiene un costo de $10 por metro cuadrado. ¿Qué dimensiones del tanque minimizan el costo del mate- rial?
Solución Paso 1. Las variables en el problema son las dimensio- nes del tanque y el costo de los materiales de construc- ción. El costo depende del área total de la base y de los lados los cuales determinan la cantidad de material usa- do en la construcción. Denotemos con x la longitud de un lado de la base y con y la altura del tanque. ( véase la figura 3). La cantidad que debe minimizarse es el cos- to total de materiales, que denotamos con C. Paso 2. C es igual al área del tanque multiplicada por $10, que es el costo por unidad de área. La base es un cuadrado con lado x, de modo que tiene un área igual a x 2. Cada lado es un rectángulo con dimensiones x y y, y tiene un área xy. El área total de la base más los cuatro lados es por tanto (^) x^2 + 4 xy .En consecuencia, escribi- mos: C = ( x^2 + 4 xy ).^10
Figura 3. Paso 3. Observe que la cantidad por minimizar está expresada como una función de dos variables, de modo que necesitamos una relación entre x y y a fin de eliminar una de éstas. Esta relación se obtiene del requeri- miento establecido en el problema de que el volumen del tanque tiene 4 metros cúbicos. El volumen es igual al área de la base por la altura, esto es, (^) x^2 y , y así tenemos la con- dición (^) x^2 y = 4 Paso 4. Por el paso 3,
y = 4 / x^2 , y así C = 10 [ x^2 + 4 x ( 4 / x^2 )] = 10 [ x^2 + 16 / x ] Paso 5. Podemos derivar la ultima expresión y determinar los puntos crí- ticos de C.
= 10 ( 2 −^162 )= 0 x
x dx
dC ;
de donde: )^0
x
x
Así, (^) x − 8 / x^2 = 0 , y por tanto (^) x^3^ = 8 ; es decir, x= 2. La base del tanque debería tener en consecuencia un lado de 2 metros de longitud. La altura del tanque es ahora dada por y = 4 / x^2 = 4 /( 2 )^2 =^1. Es fácil verificar que d^2 C / dx^2 > 0 cuando x = 2, de modo que este valor de x representa un mí- å nimo local de C.
Matemática I
ticos e investigue si son máximos o mínimos locales.
3.2 Maximización de Utilidades
Una de las aplicaciones más importantes de la teoría de máximos y mínimos se da en las ope- raciones de empresas comerciales. Esto ocu- rre por una razón simple, es decir que una em- presa selecciona su estrategia y nivel de operación en tal forma que maximice su utili- dad. Así, pues si la administración de la em- presa sabe como depende la utilidad de algu- na variable que puede ajustarse, elegirán el valor de tal variable de modo que produzca la máxima utilidad posible.
Consideremos el caso en que la variable a ajus- tar es el nivel de producción, q (el número de unidades del producto de la empresa elabora- das por semana o por mes). Si cada unidad se vende a un precio p , el ingreso es R( q ) = pq. El costo de producir q artículos depende de q , y se denota por C( q ), la función de costo. Se sigue que la utilidad es una función de x dada por U( q ) = R( q ) - C( q ) = pq - C( q ).
Deseamos elegir el valor de q que haga a p máxima.
En primer término abordemos el caso de una pequeña empresa que vende su producto en un mercado de libre competencia. En esta si- tuación, el volumen de ventas q de esta em- presa particular no afectara el precio del mer- cado para el artículo en cuestión. Podemos suponer que el precio p es constante, inde- pendiente de q , determinado por fuerzas eco- nómicas fuera de control de nuestra pequeña empresa. Los ejemplos 13 y 14 ilustran pro- blemas de esta clase.
EJEMPLO 13 MAXIMIZACIÓN DE UTILIDADES Una pequeña empresa manufacturera puede vender todos los artículos que produce a un precio de $ 6 cada uno. El costo de producir q artículos a la semana (en dólares) es (^) C ( q )= 1. 000 + 6 q − 0. 003 q^2 + 10 −^6 q^3 ¿Que valor de q debemos seleccionar con objeto de maximizar las utilidades? Solución. El ingreso producido por la venta de q artí- culos a $6 cada uno es R( q ) = 6q dólares. Por consi- guiente, la utilidad por semana es
A fin de encontrar el valor máximo de U , buscamos los puntos críticos en la forma usual y luego investigamos su naturaleza. Derivando obtenemos U '( q )= 0. 006 q −( 3 × 10 −^6 ) q^2 y haciendo U'(q) =0, encontramos que q =0 o q = 2.000. Podemos aplicar a cada uno de estos valores el criterio de la segunda derivada,identificando según concavidad:
6
6
6
= − × = −
= − × ⋅ =
= − ×
−
−
−
U
U
U q q
de modo que U''(0) = 0.006>0 y U''(2.000) =-0.006< Así que en q = 0 hay un mínimo de U( q ), mientras que en q = 2.000 hay un máximo. Este último valor repre- senta el nivel de producción en que la utilidad es máxi- ma. Este valor en la ecuación original esta dado por: U ( 2. 000 )=− 1. 000 + 0. 003 ( 2. 000 )^2 − 10 −^6 ( 2. 000 )^3 = 3.000 o $ 3.000 por semana. Se presenta una situación distinta en el caso de una gran empresa, única proveedora de un producto parti- cular. que controla o monopoliza el mercado y puede elegir el precio de venta que desee para el producto. El volumen de ventas estará determinado por el precio a que se ofrece el producto (según la ecuación de de- manda). Si escribimos la ecuación de demanda en la forma p = ƒ( q ), se sigue que la función de ingreso es R = q ƒ ( q ). Luego, la función de utilidad es U( q ) = Ingre- so - Costo = q ƒ( q ) - C ( q ) y q debe elegirse de modo que maximice esta función.
U ( q )= 6 q −( 1. 000 + 6 q − 0. 003 q^2 + 10 −^6 q^3. ) U ( q )=− 1. 000 + 0. 003 q^2 − 10 −^6 q^3
U ( q )= R ( q )− C ( q )
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EJEMPLO 15 PUBLICIDAD Y GANANCIAS La Electrificadora de Cundinamarca obtiene una utilidad de $5 por cada kilovatio que vende. Si gasta A dólares por semana en publicidad estimulando el uso de electrodomésticos, el número de kilovatios que vende por semana está dado por
q = 2. 000 ( 1 − e − kA ), en donde K = 0.001. Determine el valor de A que maximiza la utilidad neta. Solución La utilidad neta por la venta de q kilovatios es de 5 q dólares, y de ésta restamos el costo de la publicidad. Esto nos deja una utilidad neta U= 5 q - A
U = 10. 000 ( 1 − e − kA^ )− A. Derivamos a fin de encontrar el valor máximo de P.
= 10. 000 ( ke −^ ka^ )− 1 = 10 e − kA − 1 dA
dU dado que K = 0.001. Haciendo esto igual a cero, obtenemos
10 e −^ KA = 1 o bien^ eKA =^10 y tomando logaritmos naturales, resulta que kA = (^1) n 10 = 2. con tres cifras significativas. En consecuencia
- 300
- 001
= 2.^30 =^2.^30 =
k
A
La cantidad optima que debe gastarse en publicidad es en consecuencia de $2.300 por semana. La utilidad máxima se encuentra sustituyendo este valor A en la ecuación de utilidad U. Dado que
e − KA = , se sigue que la utilidad semanal máxima es U (^) max = 10. 000 ( 1 − 101 )− 2. 300 = 6. 700 dólares
3.3 Optimización del gasto en publicidad
En un mercado de libre competencia en que muchas empre- sas elaboran productos similares a casi el mismo precio, el volumen de ventas puede incrementarse mediante la publici- dad. Sin embargo, si se gasta demasiado dinero en publici- dad, el gasto excederá la ganancia en el ingreso por el incre- mento de las ventas. De nuevo el criterio que debe usarse para decidir cuanto emplear en publicidad es que la ganancia debería ser máxima. Véase el ejemplo 15.
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EJEMPLO 16 MÁXIMA UTILIDAD E IMPUESTO SOBRE LA RENTA
Las funciones de costo y de demanda de una Empresa Industrial y Comercial del Estado EICE son: C (q) = 5q yp= 25 - 2q, respectivamente. a) Encuentre el nivel de producción que maximizará las utilidades de la EICE. ¿Cuál es la máxima utilidad? b) Si se impone impuesto de t por cada unidad y la EICE lo carga en su costo, encuentre el nivel de producción que maximiza las utilidades de la empresa. ¿Cuál es la máxima utilidad? C) Determine la tasa de impuesto por unidad t que debe imponerse para obte- ner un máximo impuesto sobre la renta.
Solución Tenemos : Ingreso = Precio x Cantidad ó R pq q ( 25 2 q ) 25 q 2 q^2 a) Si p denota la función de utilidad entonces U R C 25 q 2 q^2 5 q 20 q 2 q^2
q dq
dU (^) 20 4
Para encontrar la utilidad máxima, dU/dq = 0, o 20 -4q = 0 oq = 5. Tam- bién, dp/dq = -4 < 0. Así que las utilidades son máximas en el nivel de producción deq= 5 unidades. p max = 25 - 2 (5) = 15. b) Si se impone un impuesto t por cada unidad, la nueva función de costo será C (^) N 5 q tq y las ganancias estarían dadas por U R CN 25 q 2 q^2 ( 5 q tq )( 20 t ) q 2 q^2. Derivando la utilidad tenemos
t q dq
dU (^) 20 4 , la igualamos a cero para obtener el punto máximo.
4 q 20 t , de donde q 5 0 , 25 t. Su reto ahora será resolver el literal C.
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EJEMPLO 18 ADMINISTRACIÓN DEL TRANSPORTE PÚBLICO La empresa Metro de Medellín ha aprobado la estructura de tarifas que rige el sistemas de automóviles públicos de la ciudad. Se abandonó la estructura de tarifas por zona en la cual la tarifa depende del número de zonas por las cuales cruza el pasajero. El nuevo sistema tiene tarifas fijas: el pasajero puede viajar por el mismo precio entre dos puntos de la ciudad. Las autoridades de tránsito han contratado una encues- ta a ciudadanos con el Centro Nacional de Consultoría a fin de determinar en número de personas que utilizarían el sistema metro si la tarifa fija admitiera diferentes impor- tes. Basándose en los resultados de la encuesta, los ana- listas de sistemas han determinado una función aproxi- mada de la demanda, la cual expresa el número diario de pasajeros en función de la tarifa. En concreto, la función de demanda es q = 10.000 - 125 p donde q representa el número de pasajeros por día y p la tarifa en centavos de dolar. a) Determine la tarifa que se cobraría con objeto de maximizar el ingreso diario por la tarifa de los au- tobuses. b) ¿Cuál es el ingreso máximo esperado? ¿Cuántos pasajeros por día se esperaban con esta tarifa? Solución a) El primer paso es determinar una función que ex- prese el ingreso diario según la tarifa p. Se escoge p como variable independiente porque se quería determinar la tarifa que produciría el ingreso máxi- mo total. Por otra parte, la tarifa es una variable de decisión, aquella cuyo valor puede fijar la admi- nistración de las autoridades de tránsito. La expresión general del ingreso total, es como se señaló antes, R = pq Pero en esta forma R se expresa en función de dos varia- bles: p y q. En este momento no podemos tratar de la optimización de funciones con más de una variable in- dependiente. Sin embargo, la función de demanda esta- blece una relación entre las variables p y q que permiten transformar dicha función en una en que R se expresa en función de la variable independiente p. El miembro derecho de la función de demanda es una expresión for- mulada en términos de p que equivale a q. Si con esta expresión se sustituye q en la función de ingreso, se ob- tiene
R= ƒ ( p ) R= p (10.000 - 125 p ) o bien La primera derivada es f ´( p ) 10. 000 − 250 p Si la derivada se hace igual a 0,
- 000 - 250 p = 0
- 000 = 250 p y un valor crítico ocurre cuando 40= p La segunda derivada se obtiene y evalúa cuando p = 40 para determinar la naturaleza del punto crítico: ƒ'' (p) = - ƒ'' (40) = -250 < 0 Así pues, ocurre un máximo relativo para ƒ cuando p =
- La interpretación de este resultado es que el ingreso diario se maximizará cuando se cobre una tarifa fija de $ 0.40 (40 centavos de dólar) b) = 400.000 - 200.000 =200. Dado que la tarifa se expresa en centavos, el máximo in- greso diario esperado será de 200.000 centavos o sea $2.000. El número de pasajeros que se espera diariamente con esta tarifa se calcula sustituyendo la tarifa en la función de demanda, es decir, q = 10.000 - 125 (40) q = 10.000 - 5. 5.000 pasajeros por día La figura 5. contiene una gráfica de la función de ingreso diario.
Figura 5. Gráfica de la función cuadrática del ingreso
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3.4 Aplicaciones a los costos
Los costos representan salidas de efectivo para la organización. La mayor parte de las empresas bus- can el modo de reducirlas al mínimo. En la presente sección se dan aplicaciones que se refieren a la mi- nimización de alguna medida de costo.
Un problema común de las organizaciones es determinar que cantidad de un artículo deberá conservarse en almacén. Para los minoristas, el problema se relaciona a veces con el núme- ro de unidades de cada producto que ha de mantenerse en inventario. Para los producto- res consiste en decidir que cantidad de mate- ria prima debe estar disponible. Este problema se identifica con un área o especialidad deno- minada control o administración de inventa- rio. Por lo que respecta a la pregunta de cuán- to inventario ha de conservarse se debe tener en cuenta el hecho de tener demasiado poco o mucho inventario puede acarrear costos. Un minorista de bicicletas motorizadas ha ana- lizado los datos referentes a los costos habien- do determinado una función de costo que ex- presa el costo anual de comprar, poseer y man- tener el inventario en función del tamaño (nú- mero de unidades) de cada pedido de bicicle- tas que coloca. He aquí la función de costo:
C f ( q )^4.^860 q 15 q 750. 000
donde C es el costo anual del inventario, ex- presado en dólares yq, denota el número de bicicletas ordenadas cada vez que el minorista repone la oferta. a) Determine el tamaño de pedido que mini- mice el costo anual del inventario. b) ¿Cuál se espera que sea el costo mínimo anual del inventario? Solución a) la primera derivada es
f ´^ ( q ) 4. 860 q ^2 15 ,si ƒ' se hace igual a 0,
4. 860 q ^2 15 0 cuando 4. (^8602) 15 q La multiplicación de ambos miembros por q² y su división entre - 15 producen 2 15
- (^860) q , de donde
y un valor crítico existe en 18=q La naturaleza del punto critico se comprueba al obtener ƒ":
f "( q ) 9. 720 q ^397203 q
Al evaluar el valor crítico se obtiene
( 18 )^3
f "( 18 )^9.^720
=1.667> Los costos anuales del inventario se minimiza- rán cuando se pidan 18 bicicletas cada vez que el minorista reponga las existencias. b) Los costos anuales mínimos del inventario se determinan calculando f(18), o sea
15 ( 18 ) 750. 000 18
f ( 18 )^4.^860
=270+270+750.000=$750.
Ejemplo 19 Administración de Inventario
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Figura 6. Gráfica de la función de costo de inventario.
