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1. Introducción a matrices
Propiedades y tipos
Una matriz es un arreglo de números de forma rectangular, ordenados en m filas y n
columnas.
Por ejemplo tenemos la matriz A , 𝑚 × 𝑛
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𝑚 1
𝑚 2
13
23
𝑚 3
1 𝑛
2 𝑛
𝑚𝑛
Los elementos de una matriz están ubicados en una posición 𝑎 𝑖𝑗
, donde el subíndice 𝑖 indica
la posición de la fila en la que está ubicado el elemento; y el subíndice 𝑗 indica la posición
de la columna en la que está ubicado el elemento.
Dimensión de una matriz
La dimensión o el tamaño de una matriz son el número de filas generalmente representado
por la letra “m” por el número de columnas que se lo representa con la letra “n”. Si una
matriz tiene m filas y n columnas, es una matriz con dimensión m × n. Por ejemplo:
Ejemplos de matrices. (Ejemplos elaborados por el autor)
Matriz de orden 2 (dimensión 2 × 2 )
Matriz de dimensión 2 × 3
Matriz de dimensión 3 × 2
Matriz cuadrada
Es aquella matriz donde el número de filas es igual al número de columnas entonces 𝑚 =
𝑛, decimos que la matriz es cuadrada de orden n.
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Donde 𝑏
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, son elementos de la diagonal principal.
Ejemplos de matrices cuadradas. (Ejemplos elaborados por el autor)
Matriz de orden 2 (dimensión 2 × 2 )
m=
n=
Donde 𝑎
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= 5 , son elementos de la diagonal principal.
Matriz de orden 3 (dimensión 3 × 3 )
Donde 𝑏
11
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= 4 , son elementos de la diagonal principal.
Diagonal secundaria: La constituyen los elementos 𝑎
𝑖𝑗
que cumplen con la condición 𝑖 +
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23
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Diagonal secundaria: 𝑎 13
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Ejemplo
Matriz de orden 3 (dimensión 3 × 3 ). (Ejemplo elaborado por el autor)
Diagonal principal: 2 , 7 , 6
Diagonal secundaria: 8,7,
Matriz escalar
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos sobre y bajo la diagonal principal
iguales a cero, y los elementos de la diagonal principal iguales entre sí.
Entonces podemos decir que 𝑎
𝑖𝑗
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Ejemplo
Matriz de orden 3 (dimensión 3 × 3 ). (Ejemplo elaborado por el autor)
Diagonal principal: 2 , 2 , 2
2 𝑥 2
Matriz nula 3x2. (Ejemplo elaborado por el autor)
3 𝑥 2
Matriz triangular superior
Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos bajo la diagonal principal iguales a
cero.
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Ejemplo
Matriz de orden 3 (dimensión 3 × 3 ). (Ejemplo elaborado por el autor)
Matriz triangular inferior
Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos sobre la diagonal principal iguales a
cero.
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Ejemplo
Matriz de orden 3 (dimensión 3 × 3 ). (Ejemplo elaborado por el autor)
Matriz identidad
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos iguales a cero, excepto los de la
diagonal principal que son iguales a 1 y se denota 𝐼 𝑛𝑥𝑛
. Note que existe una matriz identidad
por cada tamaño n x n y este tipo de matriz es un caso particular del conjunto de matrices
escalares.
Ejemplo. (Ejemplo elaborado por el autor)
Matriz de orden 2 (dimensión 2 × 2 )
2 𝑥 2
Matriz de orden 3 (dimensión 3 × 3 )
3 𝑥 3
Operaciones con matrices
Suma de matrices:
Dadas dos matrices 𝐴 𝑚𝑥𝑛
y 𝐵
𝑚𝑥𝑛
de misma dimensión, se define la suma de matrices como
una nueva matriz 𝐶
𝑚𝑥𝑛
del mismo orden, 𝐶 = 𝐴 + 𝐵.
Es decir 𝑐
𝑖𝑗
𝑖𝑗+
𝑖𝑗
𝑚𝑥𝑛
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) y 𝐵
𝑚𝑥𝑛
11
12
21
22
𝑚𝑥𝑛
11
12
21
22
11
12
21
22
𝑚𝑥𝑛
11
11
12
12
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21
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Ejemplos. (Ejemplos elaborados por el autor)
a) Suma de dos matrices A+B de orden 2
) y 𝐵 = (
2 𝑥 2
2 𝑥 2
a) Resta de dos matrices A-B de orden 2
) y 𝐵 = (
2 𝑥 2
Multiplicación entre matrices
Dadas dos matrices 𝐴
𝑚𝑥𝑛
y 𝐵
𝑛𝑥𝑝
, se define la multiplicación entre matrices como una
nueva matriz 𝐶 𝑚𝑥𝑝
Observación : Tener en cuenta que el producto de dos matrices está definido cuando el
número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz.
𝐴
𝑚𝑥𝑛
𝐵
𝑛𝑥𝑝
= 𝐶
𝑚𝑥𝑝
Es decir, cada elemento de la matriz producto 𝐴𝐵 es obtenido sumando los productos de
cada elemento de la fila “𝑖” de la matriz 𝐴 por el correspondiente elemento de la columna
“𝑗” de la matriz 𝐵.
Ejemplos
a) Multiplicación entre matrices. (Tomado de la pag. 51 de Larson R. & Falvo D., (2010)).
3 𝑥 2
2 𝑥 2
3 𝑥 2
3 𝑥 2
2 𝑥 2
3 𝑥 2
11
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Para hallar 𝑐 11
se multiplica los elementos correspondientes en la primera fila de A y la
primera columna de B:
3 𝑥 2
12
21
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11
Para hallar 𝑐 12
se multiplica los elementos correspondientes en la primera fila de A y la
segunda columna de B:
3 𝑥 2
21
22
31
32
IGUAL
TAMAÑO DE C
IGUAL
TAMAÑO DE C
12
Siguiendo el mismo procedimiento se procede a hallar los demás elementos de la nueva
matriz c:
21
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32
Por lo tanto, el producto entre 𝐴𝐵 = 𝐶 es:
3 𝑥 2
Entonces
2 𝑥 2
3 𝑥 2
= NO ES POSIBLE MULTIPLICAR
b) Multiplicación entre matrices. (Ejemplo elaborado por el autor)
2 𝑥 3
3 𝑥 3
2 𝑥 3
2 𝑥 3
3 𝑥 3
2 𝑥 3
11
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13
21
22
23
Para hallar 𝑐 11
se multiplica los elementos correspondientes en la primera fila de A y la
primera columna de B:
3 𝑥 2
12
13
21
22
23
11
Para hallar 𝑐
12
se multiplica los elementos correspondientes en la primera fila de A y la
segunda columna de B:
3 𝑥 2
13
21
22
23
12
IGUAL
TAMAÑO DE C
NO ES IGUAL
1. Propiedad conmutativa de la suma (𝑨 + 𝑩 = 𝑩 + 𝑨)
Ejemplo. (Ejemplo elaborado por el autor)
) y 𝑩 = (
2. Propiedad asociativa de la suma 𝐴 + (𝑩 + 𝑪) = (𝑨 + 𝑩) + 𝑪
Ejemplo. (Ejemplo elaborado por el autor)
3. Propiedad asociativa de la multiplicación (𝒄𝒅)𝑨 = 𝒄(𝑨𝒅)
Ejemplo. (Ejemplo elaborado por el autor)
- Identidad multiplicativa 𝟏𝑨 = 𝑨
Ejemplo. (Ejemplo elaborado por el autor)
5. Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma 𝒄(𝑨 + 𝑩) = 𝒄𝑨 + 𝒄𝑩
Ejemplo. (Ejemplo elaborado por el autor)
) y 𝑩 = (
Propiedades la de multiplicación entre matrices
Si A, B, C son matrices con dimensión tales que los productos estén definidos y “ c ” sea un
escalar entonces las siguientes propiedades son verdaderas:
Tabla 2. Propiedades de la multiplicación
1 𝑨(𝑩𝑪) = (𝑨𝑩)𝑪 Propiedad asociativa de la multiplicación
Propiedad distributiva de la multiplicación sobre
la suma
3 (𝑨 + 𝑩)𝑪 = 𝑨𝑪 + 𝑩𝑪 Propiedad distributiva de la multiplicación sobre
la suma
4 𝒄(𝑨𝑩) = (𝒄𝑨)𝑩 = 𝑨(𝒄𝑩) Propiedad distributiva
Fuente: Larson R. & Falvo D., (2010). Fundamentos de Álgebra Lineal
Ejemplos. (Ejemplos elaborados por el autor)
a) Multiplicación entre matrices es asociativa
(𝐴𝐵)𝐶 = [(
)] (
) [(
)]
b) Multiplicación entre matrices no es conmutativa
Por lo tanto 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴
Transpuesta de una matriz
Dada una matriz A de orden 𝑚𝑥𝑛, para obtener la matriz transpuesta, la cual se denota por
𝑇
, se deben intercambiar los elementos de las filas por las columnas. Note que la nueva
matriz 𝐴
𝑇
es de orden 𝑛𝑥𝑚.
𝑚𝑥𝑛
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𝑚 1
𝑚 2
13
23
𝑚 3
1 𝑛
2 𝑛
𝑚𝑛
Entonces la transpuesta denotada por 𝐴
𝑇
es la matriz 𝑛𝑥𝑚
𝑛𝑥𝑚
𝑇
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𝑛 1
𝑛 2
31
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𝑛 3
1 𝑚
2 𝑚
𝑚𝑛
Ejemplos. (Ejemplos elaborados por el autor)
a) Transpuesta de una matriz de orden 2x
𝑇
b) Transpuesta de una matriz de orden 3x
𝑇
Determinante de una matriz de 2x
Sea 𝐴 2 𝑥 2
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) un matriz de dimensión 2x2 su determinante está dada por:
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En donde el determinante se halla mediante la diferencia de su diagonal principal y su
diagonal secundaria teniendo muy en cuenta el orden.
Ejemplos. (Ejemplos elaborados por el autor)
1. Determinante de una matriz de 2x
Sea 𝐴
2 𝑥 2
) un matriz de dimensión 2x2 su determinante está dada por:
2. Determinante de una matriz de 2x
3. Determinante de una matriz de 2x
Determinante de una matriz de 3x
Una determinante de una matriz A de orden 3x3 se calcula mediante:
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33
11
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23
32
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33
13
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Ejemplos. (Ejemplos elaborados por el autor)
1. Determinante de una matriz de 3x
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = 4 [( 3 )(− 3 ) − ( 2 )(− 4 )] + 1 [( 3 )(− 3 ) − ( 6 )(− 4 )] + 5 [( 3 )( 2 ) − ( 6 )( 3 )]
2. Determinante de una matriz de 3x
[(
]
[(
]
[(
]
3. Determinante de una matriz de 3x
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = 0 − 1 [( 4 )( 4 ) − (− 1 )(− 1 )] + 2 [( 4 )( 2 ) − (− 1 )( 3 )]
3. Determinante de una matriz triangular inferior
Condiciones que generan un determinante cero
Si A es una matriz cuadrada y una de las siguientes condiciones es cierta entonces
- Una fila o columna consta completamente de 0.
- Dos filas o columnas son iguales.
- Una fila o columna es múltiplo en otra fila o columna.
Ejemplos. (Ejemplos elaborados por el autor)
1. Una fila o columna consta completamente de 0.
𝐴 = (
0 0 0
1 − 3 2
2 4 1
)
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = 0 |
− 3 2
4 1
|
− ( 0 ) |
1 2
2 1
|
1 − 3
2 4
|
𝑑𝑒𝑡
( 𝐴
) = 0 − 0 + 0 = 0
2. Dos filas o columnas son iguales.
𝐴 = (
4 4 − 1
− 2 − 2 1
3 3 2
)
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = 4 |
− 2 1
3 2
| − ( 4 ) |
− 2 1
3 2
| + (− 1 ) |
− 2 − 2
3 3
|
𝑑𝑒𝑡
( 𝐴
) = 4
[( − 2
)( 2
) − ( 3 )( 1 )
] − 4
[( − 2
)( 2
) −
( 3
)( 1
)]
[( − 2
)( 3
) − ( 3 )(− 2 )
]
𝑑𝑒𝑡
( 𝐴
) = − 28 + 28 + 0 = 0
3. Una fila o columna es múltiplo en otra fila o columna.
𝐴 = (
1 2 2
2 3 4
4 − 1 8
)
𝑑𝑒𝑡
( 𝐴
) = 1 |
3 4
− 1 8
| − ( 2 ) |
2 4
4 8
| + 2 |
2 3
4 − 1
|
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = 1
[ ( 3 )( 8 ) − (− 1 )( 4 )
] − 2
[ ( 2 )( 8 ) − ( 4 )( 4 )
]
[ ( 2 )(− 1 ) − ( 4 )( 3 )
]
𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = 1 ( 28 ) − 2 ( 0 ) + 2 (− 14 ) = 0
Propiedades de los determinantes
Determinante de una matriz producto
Si A y B son matrices de orden n , entonces se cumple que:
Ejemplos. (Ejemplos elaborados por el autor)
