Propiedades de Inversas, Diapositivas de Álgebra Lineal

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Inversa de una matriz

Filánder Sequeira

Chavarría

Última actualización: 30 de enero de 2019 Filánder A. Sequeira MAT005 Álgebra Lineal, UNA

Organización de la presentación

(^1) Matrices invertibles

2 Método de Gauss-Jordan

Filánder A. Sequeira MAT005 Álgebra Lineal, UNA

Ejemplo

Sea A :=

( (^) a b c d

un matriz de orden 2 cualquiera, pero invertible. Encuentre una fórmula para A−^1.

Solución.

A−^1 =

ad − bc

d −b −c a

|A|

d −b −c a

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Observaciones

Si A ∈ Rn×n^ es invertible, entonces se tiene por definición que: AA−^1 = A−^1 A = In.

En particular, In es invertible y su inversa es In.

Si |A| 6 = 0, es posible observar que |A−^1 | =

|A|

La inversa de una matriz no siempre existe, y en caso de existir es solo para matrices cuadradas.

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Matriz invertible

Teorema La matriz A ∈ Rn×n^ es invertible, si y solo, si |A| 6 = 0. Además, su inversa es única.

Una matriz cuadrada que no es invertible se le denomina singu- lar, mientras que si es invertible se llama no singular.

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Propiedades de la inversa

Teorema Sean A, B ∈ Rn×n^ dos matrices invertibles. Entonces: ( A−^1

= A

(AB)−^1 = B−^1 A−^1

At

A−^1

)t

(αA)−^1 =

α

A−^1 , para α 6 = 0

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Método de Gauss-Jordan

A continuación se describe un algoritmo que permite hallar la inversa de una matriz invertible. La idea es efectuar operaciones elementales sobre filas para deducir la inversa.

Con el fin de ilustrar los pasos de este algoritmo, se aplica el método a la matriz invertible:

A :=

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Paso 1

Se considera la matriz aumentada, la cual es la matriz A ex- tendida, del lado derecho, por la matriz identidad.

Así, para la matriz dada se obtiene la matriz aumentada: 



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a)

 b)

 c)

3. Matriz inversa

3.1. Para cada uno de los siguientes pares de matrices, verifique que una es inversa de la otra.

a)

10

2 5 − (^10115)

b)

c)

7 2

5 2 −^

1 2 − 52 − (^3212)

d)

a b c 0 a b 0 0 a

1 a

−b a^2

b^2 −ac a^3 (^0 1) a^ −a 2 b (^0 0 1) a

3.2. Determine los valores de a y b para que A sea la inversa de B, donde:

A :=

a 14 b 1 8

1 8 −^

1 8

 y^ B^ :=

3.3. ¿Para qu´e valores de α, la matriz

( (^) −α α− 1 α+ 1 2 3 2 −α α+3 α+

no tiene inversa?

3.4. Encuentre, si existen, los valores de α ∈ R para los cuales las siguientes matrices poseen inversa.

a)

α 1 1 1 α 1 1 1 α

 (^) b)

0 α 4 − α 0 α −α

 (^) c)

3 4 −α 2 6 − 2 α 1 3 1 + α

3.5. Sea θ un n´umero real. Muestre que la matriz

( (^) cos θ sen θ − sen θ cos θ

es invertible y halle su inversa.

3.6. Calcule, si existe, la inversa de las siguientes matrices.

a)

b)

c)

d)

e)

f )

3.7. Sean A, B, C y X matrices tales que A y B son invertibles. Adem´as, satisface la igualdad:

(AXB)t^ + C = I.

a) Utilice las propiedades de las operaciones con matrices para hallar la matriz X en t´erminos de las matrices A, B y C indicando la condici´on que debe cumplirse para ello.