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Ejercicios y problemas resueltos
Página 79
1. Cálculo de un determinante de orden 4
Hazlo tú. Calcula el valor de este determinante en función del parámetro a :
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
2 2 2 2 a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a
=^4
Sumamos las filas 2.ª, 3.ª^ y 4.ª^ a la 1.ª:
a a
(1.ª) (2.ª) – (1.ª) (3.ª) – (1.ª) (4.ª) – (1.ª)
= 5 a a
El valor del último determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal, por corres- ponder a una matriz triangular.
2. Propiedades de los determinantes
Hazlo tú. Si
a p x
b q y
c r z
= 7, calcula el valor de estos determinantes sin desarrollarlos:
a)
a x p x p
b y q y q
c z r z r
b)
b q y
c b r q z y
a p x
a)
a x p x p
b y q y q
c z r z r
(1.ª) (2.ª) (3.ª) – (2.ª)
a x p x
b y q y
c z r z
a x p x
b y q y
c z r z
(2.ª) (3.ª)
a p x
b q y
c r z
b)
b q y
c b r q z y
a p x
b q y
c b r q z y
a p x
b q y
c b r q z y
a p x
b q y
c r z
a p x
a p x
b q y
c r z
() 2.ª^ columna – 1.ª. (*) Permutamos la 3.ª^ columna por la 2.ª^ y luego, la 2.ª^ columna por la 1.ª.
3. Resolver una ecuación
Hazlo tú. Comprueba, sin calcular el valor del determinante, que la siguiente ecuación tiene tres soluciones:
x x x
2 3
Esta ecuación es de grado 3, tiene como máximo 3 soluciones y tiene un número impar de soluciones reales.
x x x
2 3
columnas (1.ª) (2.ª) – (1.ª) (3.ª) – (1.ª) (4.ª) – (1.ª)
x x x
x x x
x x x
x x x
2 3
2 3
2 3
2 3
= (2 – x )(4 – x )
x x x
x x x
x x x
x x x
2 3 2
2 3 2
columnas (1.ª) (2.ª) (3.ª) (4.ª) – (2.ª)
= (2 – x )(4 – x )
x x x
x x x
x x x x
2 3 2
2 3
Esta ecuación tiene al menos dos soluciones, por tanto tiene tres soluciones.
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4. Demostrar una igualdad
Hazlo tú. Demuestra que existe una matriz cuadrada A , de orden 2, simétrica y con | A | = –7 que verifica:
A
e o (^) = e o
A =
a b
b e (^) c o
a b
b c
e o e o (^) =e o
a b b c
a b b c
f p =e o
8 l^ , l^ , l
a b b c a^ b^ c
= =^ =^
3 +^ =
| A | = l^47 l l^21 7 8 l 3 8 A
- (^) – c + (^) m^2 = – = =e– o
7. Cálculo de la matriz inversa
Hazlo tú. Dada esta matriz:
A = (^) a a
f p
a) Halla los valores de a para los cuales A es regular.
b) Para a = 2, halla la matriz inversa de A****.
a) | A | = a a
= – a^2 + 4 a – 3
- a^2 + 4 a – 3 = 0 → a = 3, a = 1 A es regular para a ≠ 3 y a ≠ 1.
b) a = 2:
| A | = 1
A = 8 8 8 A
f p f^ p^ f^ p^ f –^ p= –^1
Ejercicios y problemas guiados
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1. Propiedades de los determinantes
Si c 1 , c 2 y c 3 son las columnas 1.ª, 2.ª^ y 3.ª^ de una matriz cuadrada de orden 3 tal que |c 1 c 2 c 3 | = 7, calcular:
a) |c 3 c 1 c 2 | b) |3c 1 c 2 + c 1 – c 3 | c) |c 1 + 2c 3 c 2 2c 3 – c 1 |
a) | c 3 c 1 c 2 | = (–1)^2 | c 1 c 2 c 3 | = 7
b) | 3 c 1 c 2 + c 1 – c 3 | = 3(–1) | c 1 c 2 + c 1 c 3 | = –3 | c 1 c 2 c 3 | = –
c) | c 1 + 2 c 3 c 2 2 c 3 – c 1 | = | c 1 c 2 + c 1 4 c 3 | = 4 | c 1 c 2 + c 1 c 3 | = 28
2. Resolver una ecuación con un determinante
Estudiar, según los valores de a, el número de soluciones reales que tiene la siguiente ecuación: x a a a
a x a a
a a x a
a a a x
2 2 2 2
x a x a x a x a
a x a a
a a x a
a a a x
2 2 2 2
2 2 2
= → ( x^2 + 3 a )
a x a a
a a x a
a a a x
2 2 2
= → ( x^2 + 3 a )
a x a
a
x a
a
x a
2 2 2
( x^2 + 3 a )( x^2 – a )^3 = 0
- Si a = 0 → x^8 = 0 → x = 0
- Si a > 0 → ( x^2 + 3 a ) = 0, no tiene solución → ( x^2 – a )^3 = 0 → x = – a , x = a
- Si a < 0 → ( x^2 – a )^3 = 0, no tiene solución → ( x^2 + 3 a ) = 0 → x = – – 3 a , x = – 3 a
3. Determinar los elementos de una matriz
Dadas las siguientes matrices:
A =
e o (^) B = b
a c
e o
determinar los valores de a, b y c de modo que |B | = 8 y AB = BA.
| B | = (^) b
a c
- = 3 b^ – 2 a^ + 2 c^ –^ ab^ + 6 = 8
b
a c b
a c
+ =^ +
e oe o e oe o
b b
a c c b
a b c
e o = e + + + o
b a c a c b c
b
4 =
b a c a b a c ab
b a c a c a
b a c c
a b c
4 4 4 =^ =^ =
Ejercicios y problemas propuestos
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P ara practicar
Determinantes. Propiedades
1 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) a
= 0 b)
a
a
a
+ = 0 c) a
2
= 0 d)
a
a
a
a) a
= 7 – 7 a = 0 → a = 1
b)
a
a
a
- = a^2 + 2 a – 3 = 0 → a = 1, a = –
c) a
2
= 4 a^2 – 12 = 0 → a = 3 , a = – 3
d)
a
a
a
= – a^3 – a^2 + 6 a = 0 → a = –3, a = 0, a = 2
2 Halla el valor de los siguientes determinantes de orden 4:
a)
b)
a)
(1) Desarrollamos por la 3.ª^ columna.
b)
filas (1.ª) (2.ª) (3.ª) – (1.ª) (4.ª) – (1.ª)
(1) El determinante se anula, puesto que tiene dos filas iguales.
3 Calcula el valor de los siguientes determinantes:
a)
b)
c)
d)
a)
= –72 b)
c)
= 0 d)
4 Si
m p
n q = –5, ¿cuál es el valor de cada uno de los siguientes determinantes? Justifica las respues- tas:
a)
m n n
p q q
b)
p q
m n c)^
n q
m p
d)
p q
m n
2 e)^
mp
n m mq
f )
m p
m p
a)
m n n
p q q
m n
p q
( ) 2
m p
n q = –
b)
p q
m n
p m
q n
m p
n
( ) 2 ( ) 3 = = = –(–5) = 5
c)
n q
m p
n q
m p
m p
n q
( ) 4 ( ) 3 = = = 3 · (–5) = –
d)
p q
m n
p q
m n
p m
q n
m p
n q
( ) 4 ( ) 2 ( ) 3 = = = = –2 · (–5) = 10
e)
mp
n m mq m m
m p
n q
m p
n q
( ) 4 = = = –
f )
m p
m p
5 = 0, pues las dos columnas son proporcionales. (1) Si a una fila le sumamos otra multiplicada por un número, el determinante no varía. (2) El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta. (3) Si cambiamos de orden dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo. (4) Si multiplicamos una fila o una columna por un número, el determinante queda multiplicado por ese número.
b) a b c a b c a b c a b c
c)
a a a
b b b
c c c
a a a
b b b
c c c
a a
b b
c c
= · a · · · ( ) a
b b
c c
a b c a b c
8 a) Resuelve la ecuación | A | = 0 siendo A = f
a
a
a
a
a
p.
b) Para a = 3, obtén el determinante de la matriz 2 A****.
a)
a
a
a
a
a
(1.ª) (2.ª) (3.ª) + (1.ª)
a a
a
a
- 0 = a^2 ( a – 1) = 0 → a = 0, a = 1
b) a = 3 3 0 3
| 2 A | = 2^3 | A | = 8 · 9 · 2 = 144
Rango de una matriz
9 Halla el rango de estas matrices:
a) A = f
p b)^ B^ =^ f
p c)^ C^ =^ f
p d)^ D^ =^ f
– p
a) A =
f p
Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero:
0 = –5 ≠ 0^ →^ ran^ ( A^ ) ≥ 2 Las dos últimas filas son linealmente independientes.
Veamos si la 2.a^ fila depende linealmente de las dos últimas: 6 1 4
= 0 → La 2.a^ fila depende linealmente de las dos últimas.
Veamos si la 1.a^ fila depende de las dos últimas: 3 1 4
= 10 ≠ 0. Por tanto, ran ( A ) = 3.
b) B =
f p
Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero:
Las dos primeras columnas son linealmente independientes. Luego, ran ( B ) ≥ 2.
Veamos si la 3.a^ columna depende linealmente de las dos primeras: 1 4 1
= 6 = –3 ≠ 0. Por tanto, ran ( B ) = 3.
c) C =
f p
Calculamos | C |:
| C | =
filas (1.ª) (2.ª) (3.ª) (4.ª) – (1.ª)
= 2(2 – 1) = 2 ≠ 0 → ran ( C ) = 4 (1) Desarrollamos por la 1.a^ columna.
d) D =
f – p
Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero:
Las dos primeras filas son linealmente independientes.
Veamos si la 3.a^ fila depende linealmente de las dos primeras: 1 0 2
La 3.ª fila depende linealmente de las otras dos.
Por tanto, ran ( D ) = 2
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11 Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A = (^) f m m
m m
m m
2 2 2
p es menor que 3.
m ( ) m
m m
m m
m m
m m m m m m
m m m m
m m
2
2 2 2
= ( ) m ( ) ( ) m
m m m m m m
m m
( m^2 – m )^2 = 0 → m = 1, m = 0 Si m = 0 o m = 1, entonces ran ( A ) < 3
12 Estudia el rango de estas matrices según el valor del parámetro a :
a) A = f a
p b)^ B^ =^ f
1 a 2 3
p c)^ C^ =^
a 1 a a
e o (^) d) D = a a
a a a
e –^ –^ – o
a) Si | A | = 0 → a = 2
- Si a = 2 → ran ( A ) = 3
- Si a ≠ 2 → ran ( A ) = 4
b) B =
1 a 2 3
f p
- Si a = 4 → las cuatro filas son proporcionales → ran ( B ) = 1
- Si a ≠ 4 →
3 a 6 8 ≠ 0^ →^ ran^ ( B^ ) = 2
c) C = 8
a a a
a 1 a
e o (^) – = – a (^2) + 1 = 0 a a
C =
e (^) – o (^) → ran ( C ) = 1
C = 8
e o (^) = 2 ≠ 0 → ran ( C ) = 2
- Si a ≠ 1 y a ≠ –1 → ran ( C ) = 2
d) D = 8
a a
a a a
a a
a a
e –^ –^ –^ o –^ 2 1^ –^2 = a^2 – 2 a – a + 2 a^2 = 3 a^2 – 3 a = 0 a
a 1
e o → ran ( D ) = 1
e –^ –^ – o → Las dos filas no son proporcionales → ran ( D ) = 2
13 Estudia el rango de la matriz M según los valores de t****.
a) M = (^) f t t
p b)^ M^ =^ f t t
p c)^ M^ =^ f t t
1 t
0
p
a) M = (^) f t t
p
1 1 1
t ( ) t
t t
t t
t t
– –^
= = = (^) – = → ran ( M ) < 3
Tomamos un menor de orden 2:
2 = 3 ≠ 0^ →^ ran^ ( M^ ) = 2, para cualquier^ t.
b) M = (^) f t t
p
t
t
t t
t t
2 t^2 + 8 t – 24 = 0 → t = 2, t = – 6 Si t ≠ 2 y t ≠ – 6 → ran ( M ) = 3
Tomamos un menor de orden 2:
0 = –^8
Si t = 2 → ran ( M ) = 2 Si t = – 6 → ran ( M ) = 2
c) M = (^) f t t
1 t
0
p
t
t t t
2 t^2 + 2 t – 4 = 0 → t = 1, t = –
t
t t
2 t – 4 = 0 → t = 2 Como se anulan en puntos distintos, tenemos que ran ( M ) = 3, para cualquier t.
d) D = a
a a a
a a a a a
f p
Tomamos un menor de orden 2:
3 = 2 ≠ 0, luego^ ran^ ( D^ ) ≥ 2.
a
a a a a
= a^2 + 2 a = 0 → a = –2, a = 0
a
a a a a a
= –2 a^2 – 2 a + 4 = 0 → a = 1, a = –
- Si a ≠ –2 → ran ( D ) = 3
- Si a = 1 → ran ( D ) = 2
Matriz inversa
15 Halla la matriz inversa de las siguientes matrices:
a) M = e^25 – –^24 o
b) N =
e – (^) 2 o
a) | M | = 2 ≠ 0 → la matriz M tiene inversa. La calculamos:
α ij ⎯⎯→ Adj ( M ) ⎯⎯→ ( Adj ( M )) t^ ⎯⎯→ M –1^ = (^) | M^1 |( Adj ( M )) t
4 2
e (^) – o (^) ⎯→
e o (^) ⎯→ e – – 54 22 o (^) ⎯→ 2
e (^) – o (^) = M
M –1^ = /
e o (^) es la matriz inversa.
b) | N | = 6 ≠ 0 → la matriz N tiene inversa. La calculamos:
α ij ⎯⎯→ Adj ( N ) ⎯⎯→ ( Adj ( N )) t^ ⎯⎯→ N –1^ = (^) | N^1 |( Adj ( N )) t
2 0
e o (^) ⎯→
e 3 o (^) ⎯→
e 3 o (^) ⎯→
e 3 o (^) = N
N –1^ = / /
e 1 3 o es la matriz inversa.
16 a) Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices:
A =f
p B^ =^ f
p
b) Resuelve las ecuaciones AX = B y XB = A siendo A y B las matrices del apartado anterior.
a) | A | =
= 1 ≠ 0 → Existe A –
α ij ⎯⎯→ Adj ( A ) ⎯⎯→ ( Adj ( A )) t^ ⎯⎯→ A –^1 = (^) | A^1 |( Adj ( A )) t
f – p ⎯→
f p ⎯→
f p ⎯→
f p =^ A^ –
| B | =
= 2 ≠ 0 → Existe B –
α ij ⎯⎯→ Adj ( B ) ⎯⎯→ ( Adj ( B )) t^ ⎯⎯→ | |
B
B
f p ⎯→
f p ⎯→
f – p ⎯→
f – p =^ B^ –
b) AX = B → A –1^ AX = A –1 B → X = A –1 B
X = A –1 B =
f p (^) f p =f p
XB = A → XBB –1^ = AB –1^ → X = AB –
X = AB –1^ =
1 /^ /^ /^ /
f p f p =f – p
17 Calcula la inversa de esta matriz:
A = (^) f
p
8 8 8 8 A
f (^) p f p f p f p –^1 =f p
Calculamos A –1^ para t = 1:
A =
f p →^ |^ A^ | = –
α ij ⎯⎯→ Adj ( A ) ⎯⎯→ ( Adj ( A )) t^ ⎯⎯→ | |
A
A
8 8 8 A
– –^
f p f p f p f –^ p= –^1
b) | B | = 1 – t^2 = 0 t
t 1
B no es invertible para t = 1 ni para t = –1. Calculamos B –1^ para t = 2:
B =
f p →^ |^ B^ | = –
α ij ⎯⎯→ Adj ( B ) ⎯⎯→ ( Adj ( B )) t^ ⎯⎯→ B –^1 = (^) | | B^1 ( Adj ( B )) t
8 8 8 B
f p f p f p f p= –^1
Ecuaciones matriciales
21 Dada A =
e (^) 2 o , halla X tal que AXA =
e (^) 3 o.
AXA = 8 X A A
e o (^) = –^1 e o –^1
Calculamos A –1: 2 1
2 =^1
e o e o e o e – o = A –
X =
e oe oe o (^) =e o
22 Dadas las matrices A =
e – o y B =
e o , encuentra la matriz X tal que AXB = 1 0
e o.
AXB =
e o (^) → X = A –1^1 0
e o (^) B –
Calculamos A –1: 1 1
8 8 8 A
e o e o e o e o=
Calculamos B –1: 2 1
0 =–^1
8 8 8 8 B
e o e o e o e o e o= –^1
X =
e oe oe o e o
23 Resuelve la ecuación AXB = C siendo:
A = e^34^23 o B = e^21^32 o C = e^11^11 o
AXB = C → A –1^ · A · X · B · B –1^ = A –1^ · C · B –1^ → X = A –1^ · C · B – Calculamos A –1^ y B –1^ (| A | = 1 y | B | = 1 → existen A –1^ y B –1):
α ij ⎯⎯→ Adj ( A ) ⎯⎯→ ( Adj ( A )) t^ ⎯⎯→ A –^1 = (^) | A^1 |( Adj ( A )) t
8 8 8 A
f p f p e o e o=
α ij ⎯⎯→ Adj ( B ) ⎯⎯→ ( Adj ( B )) t^ ⎯⎯→ B –^1 = (^) | | B^1 ( Adj ( B )) t
8 8 8 B
e o e o e o e o=
Por tanto:
X = A –1^ · C · B –1^ =
e o e o e o (^) = e o e o (^) =e o
24 Dadas las matrices:
A =
e (^) – o (^) B =
e – o C =
e (^) – 1 o (^) D =
f p
halla la matriz X que verifica ( AB t^ + C ) X = D****. ( AB t^ + C ) X = D → ( AB t^ + C )–1^ ( AB t^ + C ) X = ( AB t^ + C )–1 D → X = ( AB t^ + C )–1 D
e o (^) f p e o e o e o e o
- Calculamos E –1^ (| E | = 6 ≠ 0 → existe E –1):
α ij ⎯⎯→ Adj ( E ) ⎯⎯→ ( Adj ( E )) t^ ⎯⎯→ E –1^ = (^) | E^1 |( Adj ( E )) t
8 8 8 E
e o e o e o e o= –^1
X = ( AB t^ + C )–1 D = E –1 D =
e o e (^) – o (^) = e o (^) =f p
