6. Diagonalitzaci´o
1. En tot el cap´ıtol estudiarem endomorfismes, ´es a dir, aplicacions lineals f:E→E
d’un espai vectorial Een ell mateix. En aquests casos, la matriu de fes troba en
la mateixa base de sortida i arribada.
Donada una base qualsevol {e1, . . . , en}de E, l’endomorfisme ft´e una matriu Aen
aquesta base. L’objectiu ´es trobar una base de Een la qual la matriu de fsigui el
m´es senzilla possible: una matriu diagonal.
Recordem que si {u1, . . . , un}´es una altra base de Ei diem Ba la matriu de fen
aquesta nova base, aleshores tenim:
B=C−1AC,
on C´es la matriu de canvi de base de {u1, . . . , un}a{e1, . . . , en}.
2. Sigui A∈Mn×n(R). Direm que A´es diagonalitzable si existeix una matriu C
invertible tal que C−1AC =D, on D´es una matriu diagonal.
Siguin Eun espai vectorial, f:E→Eun endomorfisme. Direm que f´es diago-
nalitzable si existeix una base de Een la qual la matriu de f´es diagonal.
3. Observem que si {e1, . . . , en}´es una base de Een la qual la matriu de f´es diagonal,
f↔D=
λ10. . . 0
0λ2. . . 0
.
.
..
.
.....
.
.
0 0 . . . λn
,
aleshores tenim que f(e1) = λ1e1,f(e2) = λ2e2, . . . , f(en) = λnen. Aix´ı podem
entendre les definicions que introduirem a continuaci´o.
4. A partir d’ara designarem per fun endomorfisme de EiAuna matriu quadrada.
Direm que un vector e∈E,e6= 0, ´es un vector propi de f(o de A) si f(e) = λe,
per un cert λ∈R(Ae =λe). En aquest cas, direm que λ´es un valor propi de f
(o de A).
Obserevem que amb les definicions introdu¨ıdes, trobar una base en la qual la matriu
de fsigui diagonal equival a trobar una base de vectors propis de f. Necessitem
doncs calcular els valors propis i els vectors propis d’un endomorfisme f.
1
