3. Determinants
1. L’objectiu d’aquest tema ´es definir el determinant de qualsevol matriu Aquadra-
da n×n, que escriurem detAo|A|. Tenim ja definit aquest concepte per a
n= 1,2,3. Recordem-ho:
(i) Si A= (a), detA=a.
(ii) Si A=µa b
c d ¶, detA= ad-bc.
(iii) (Sarrus) Si A=
a b c
d e f
g h i
, detA=aei +bfg +cdh −ahf −bdi −ceg.
No sembla f`acil estendre aquestes definicions de determinant d’una matriu com
a suma de productes dels seus coeficients a matrius de tamany m´es gran. Tot i
aix`o, ´es possible trobar una f´ormula v`alida per a qualsevol mida n, per`o ´es molt
complicada i poc ´util per al c`alcul efectiu.
El que farem ser`a definir el determinant de forma recurrent. Ja tenim definit
el determinant d’una matriu 3 ×3. A partir d’aquest definirem el determinant
d’una matriu 4 ×4, a partir d’aquest el de matrius 5 ×5 i aix´ı successivament.
Necessitem unes definicions pr`evies.
2. Donada una matriu Aqualsevol m×n, un menor d’ordre p de A´es una matriu
p×pformada pels elements de Asituats en pfiles i pcolumnes prefixades.
3. Donada Auna matriu quadrada n×n, denotarem per Aij el menor d’ordre n−1
de Aobtingut eliminant la fila ii la columna jde A.
4. (F´ormula per al c`alcul recurrent d’un determinant) Triem una fila iqualsevol de
A. Desenvolupant per la fila i,
detA= (−1)i+1ai1|Ai1|+ (−1)i+2 ai2|Ai2|+· · · + (−1)i+nain|Ain |.
An`alogament, es pot donar una f´ormula per al c`alcul del determinant fent servir
la columna jde la forma seg¨uent:
detA= (−1)1+ja1j|A1j|+ (−1)2+ja2j|A2j|+· · · + (−1)n+janj |Anj |.
1
